基于反饋矩陣的感應電機穩(wěn)定性提升策略

王譯晗，杜秀霞

(北京交通大學，北京100044)

0 引 言

近年來，無速度傳感器感應電機調(diào)速系統(tǒng)受到了越來越多的重視，其關(guān)鍵技術(shù)在于采用軟測量方法代替實際轉(zhuǎn)速傳感器實現(xiàn)轉(zhuǎn)速控制，具有安裝簡便、成本低廉、魯棒性高等優(yōu)點[1-5]。

無速度傳感器感應電機矢量控制常用的轉(zhuǎn)速觀測法有卡爾曼濾波器法[6]，MRAS法[7]及全階觀測器法[8]等。其中，全階觀測器法是目前主流的轉(zhuǎn)速觀測方法。這些方法的基本原理都是基于數(shù)學模型估計轉(zhuǎn)速，但由于感應電機具有非線性、多變量、強耦合的特點，使得估計轉(zhuǎn)速與感應電機的實際轉(zhuǎn)速之間始終存在著一定程度的誤差，這種誤差對調(diào)速系統(tǒng)的矢量控制產(chǎn)生了重要影響。

為了解決無速度傳感器感應電機在極低速發(fā)電運行時存在不穩(wěn)定的問題，提高感應電機轉(zhuǎn)速估計精度，消除矢量控制系統(tǒng)誤差，國內(nèi)外學者開展了系列研究和大量嘗試。例如，一些學者基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，推導了感應電機轉(zhuǎn)速觀測的自適應律[9-10]。有的學者利用自適應控制理論，推導出了感應電機低速發(fā)電運行不穩(wěn)定區(qū)域的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩邊界條件[11]。還有學者從雙時間角度出發(fā)，將全階觀測器分解為轉(zhuǎn)速辨識系統(tǒng)與磁鏈觀測系統(tǒng)，提出了改善全階磁鏈觀測器平滑切換的反饋矩陣設(shè)計方法[12]。

受上述研究思路啟發(fā)，本文嘗試利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論以及勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，設(shè)計建立一種能夠提高感應電機轉(zhuǎn)速估計精度的誤差反饋矩陣。同時，擬通過進一步的轉(zhuǎn)速觀測零極點分析和實驗驗證，來證明所提反饋矩陣的正確性和有效性。

1 數(shù)學模型及低速發(fā)電運行不穩(wěn)定分析

1.1 感應電機狀態(tài)方程

(1)

1.2 全階觀測器模型

根據(jù)數(shù)學模型式(1)，可設(shè)計感應電機全階觀測器：

(2)

將式(1)和式(2)做差處理，得到觀測器狀態(tài)誤差方程：

(3)

根據(jù)Popov穩(wěn)定性定律，由式(3)可得到感應電機轉(zhuǎn)速觀測自適應率：

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(4)

1.3 低速發(fā)電不穩(wěn)定性推導

不考慮反饋矩陣H，對式(3)做拉氏變換，可得：

(5)

式中:s是拉普拉斯算子。

求解式(5)，電流誤差可以表示：

(6)

式中，傳遞函數(shù)表示：

Gω(s)=-cTrs[(sI-A22)(sI-A11)-A12A21]-1

(7)

如果傳遞函數(shù)Gω(s)嚴格正實，則需要滿足：

(8)

當電機同步頻率ωe=0時，無法滿足傳遞函數(shù)正實的要求，即定子電流零頻時，轉(zhuǎn)速不可觀測。當滿足同步頻率ωe≠0時，將式(7)代入式(8)，可以得到最終的同步頻率限制條件：

(9)

2 反饋矩陣設(shè)計

2.1 轉(zhuǎn)速觀側(cè)不穩(wěn)定性

在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標系中，式(6)可以表示：

(10)

(11)

為保證轉(zhuǎn)速觀測的穩(wěn)定性，開環(huán)傳遞函數(shù)式(11)的零點位置應位于s平面的左側(cè)。在無反饋矩陣時，圖1驗證了開關(guān)傳遞函數(shù)的零極點分布。圖1(a)是在轉(zhuǎn)速為30 r/min時的低速發(fā)電區(qū)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點圖。所有的極點都在s平面的左側(cè)，而一些零點在s平面的右側(cè)。圖1(b)是在額定負載下的低速發(fā)電區(qū)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點圖，有些零點在s平面的右邊。因此在沒有反饋矩陣時，無速度傳感器感應電機系統(tǒng)在低速發(fā)電區(qū)運行時存在不穩(wěn)定。

(a) 30 r/min工況下轉(zhuǎn)矩變化

(b) 額定負載下轉(zhuǎn)速變化

2.2 反饋矩陣設(shè)計

為了提高速度估計方案的穩(wěn)定性，引入了反饋矩陣。針對開環(huán)傳遞函數(shù)，應用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性定律，速度估計器穩(wěn)定性的充要條件可以表示:

(12)

求解式(12)，可得一組反饋矩陣的取值：

(13)

式中：k0。

根據(jù)式(2)，在全階觀測器中引入反饋矩陣式(13)，圖2(a)是在轉(zhuǎn)速30 r/min時的低速發(fā)電區(qū)的開環(huán)傳遞函數(shù)零極點圖。圖2(b)是在額定負載下的低速發(fā)電區(qū)開環(huán)傳遞函數(shù)零極點圖。與圖1相比，開關(guān)傳遞函數(shù)的零極點都位于s平面的左側(cè)，從而保證無傳感器感應電機速度觀測器的穩(wěn)定性。

(a) 30 r/min工況下轉(zhuǎn)矩變化

(b) 額定負載下轉(zhuǎn)速變化

基于全階觀測器的無傳感器感應電機系統(tǒng)的低速發(fā)電運行不穩(wěn)定區(qū)域，可以由兩條邊界線D1和D2描述。

(14)

由式(14)可知，邊界線D1和D2之間的不穩(wěn)定區(qū)域如圖3所示。隨著式(13)的反饋增益的提出，通過將邊界線D2旋轉(zhuǎn)到D1，減小不穩(wěn)定區(qū)域，從而理論上保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖3 有反饋矩陣時不穩(wěn)定區(qū)示意圖

3 實驗驗證

為了驗證本文的反饋矩陣方法的有效性，在2.2 kW的感應電機實驗平臺上進行了實驗測試。電機參數(shù)如表1所示。

表1 電機參數(shù)

為了驗證系統(tǒng)在低速發(fā)電區(qū)的穩(wěn)定性，在感應電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為60 r/min時，為了讓感應電機運行在發(fā)電區(qū)，增加與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速同方向的負載并逐漸增大負載至80%額定值，此時，同步頻率從60 r/min逐漸減小。從圖4(a)可以看出，當發(fā)電負載轉(zhuǎn)矩到額定負載的80%時，采用傳統(tǒng)方法的無傳感器感應電機轉(zhuǎn)速觀測器變得不穩(wěn)定，估計轉(zhuǎn)速不能收斂于實際值，轉(zhuǎn)矩電流波動劇烈。這是因為系統(tǒng)到達了圖3的不穩(wěn)定區(qū)域邊界D2。對比圖4(b)，在相同的實驗條件下，采用該方法的感應電機轉(zhuǎn)速觀測器保持穩(wěn)定。對比實驗表明，該方法可以提高無傳感器感應電機轉(zhuǎn)速觀測器在低速發(fā)電區(qū)的精度和穩(wěn)定性。

(b) 改進方法

如圖5所示，通過實驗驗證了該方法在低速運行和再生運行范圍內(nèi)進行轉(zhuǎn)速反轉(zhuǎn)時的性能。在80%額定負載轉(zhuǎn)矩時，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速從60 r/min變化到-60 r/min。結(jié)果表明，采用該方法的無速度傳感器感應電機轉(zhuǎn)速觀測器在電機低速發(fā)電區(qū)轉(zhuǎn)速反轉(zhuǎn)過程中具有良好的估計精度和穩(wěn)定性。

圖5 80%額定負載工況下轉(zhuǎn)速正反切換實驗

如圖6所示，無傳感器感應電機系統(tǒng)在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為零時，對所提出的反饋矩陣設(shè)計進行了測試。無速度傳感器感應電機在80%額定負載轉(zhuǎn)矩下運行，轉(zhuǎn)子速度從60 r/min到0，轉(zhuǎn)速為零保持10 s。實驗結(jié)果表明，該系統(tǒng)在零轉(zhuǎn)速下運行良好。

圖6 80%負載工況下零速實驗

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于穩(wěn)定性的反饋矩陣設(shè)計方法，通過確保估計轉(zhuǎn)速開環(huán)傳遞函數(shù)的所有零點都有負實部，保證了估計轉(zhuǎn)速在所有轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。由勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定了全階觀測器誤差反饋矩陣的取值范圍。同時，本文通過開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點分析證明所設(shè)計的誤差反饋矩陣能提升系統(tǒng)的低速發(fā)電運行性能。最后通過實驗結(jié)果驗證了所設(shè)計誤差反饋矩陣的正確性和有效性。