基于改進二階滑模控制器的六相PMSM矢量控制

劉 超，曹兆錦，常俸瑞

(1.南京理工大學 泰州科技學院，泰州 225300；2.廣東電網有限責任公司湛江供電局，湛江 524005)

0 引 言

永磁同步電機(以下簡稱PMSM)隨著日益更新的控制技術的進步與高性能永磁體的發展，逐漸代替了傳統的電勵磁同步電機，在航空航天業、新能源汽車及船舶工業等領域占據了一席之地。國外發達國家的永磁電機處于行業的領先地位，隨著“中國制造2025”的實施，國產PMSM獲得了高速發展，行業的前景較為樂觀。相較于傳統的三相PMSM控制系統，六相PMSM控制系統憑借其優越的性能、高可靠性及強大的容錯能力受到國內外諸多學者的注目，其在船舶、機械等建造行業的發展尤為迅速。

六相PMSM作為一種非線性、高耦合、多變量的復雜控制系統，需要一種高效的控制方法，實現對電機的精確控制，以達到提高電機性能的目的。高精度、高性能的控制系統要求電機的輸出響應速度快，轉矩脈動穩定，并且抗干擾能力較強，變結構滑模控制作為一種優秀的控制方法，具有速度快、響應時間短等多種優點,經過國內外學者的推廣與發展，滑模控制在伺服控制系統中取得較好的效果。

本文采用一種控制精度較高的二階滑模控制器對六相電機速度環進行控制，在MATLAB內搭建了二階滑模速度控制器模型，將其仿真波形與傳統PI速度控制器進行比較，得到以下結論：改進型二階滑模速度控制器具有比PI控制更加優秀的速度動態響應能力，可提高電機系統的魯棒性和抗干擾能力。

1 六相PMSM數學模型

六相PMSM作為一種多維度、多變量、高耦合的非線性系統，其數學模型與實際情況有許多差別，為了簡化電機的數學模型方便建模，對電機作出如下假設:忽略磁鐵的磁滯效應、渦流效應及飽和效應；電機的定子繞組均勻分布，且不計齒槽效應；不考慮磁場中空間高次諧波對系統的影響，磁勢按正弦分布。

根據以上所確立的先行條件，對六相PMSM建立經過基于矢量空間解耦(VSD)的坐標變換后的數學模型，使電機具有x,y和d,q兩個子空間。

六相PMSM空間電壓方程：

(1)

(2)

六相PMSM運動方程：

(3)

六相PMSM轉矩方程：

Te=3piq[id(Ld-Lq)+ψf]

(4)

式中：ud，uq，ux，uy為定子電壓d,q和x,y分量；id，iq，ix，iy為定子電流d,q和x,y分量；R為定子電阻；L1為漏感；p為極對數；ψf為磁鏈；ω為角速度；Te為轉矩；TL為負載轉矩(多種轉矩，如齒槽轉矩、電源波動等)；J為轉動慣量。

由式(1)、式(2)的電壓方程可以看出，六相PMSM數學模型完全解耦，則六相PMSM完全可以采用與三相PMSM的id=0相同的控制策略，即在x,y和d,q兩個子空間內使id=ix=iy=0。

基于id=ix=iy=0矢量控制的六相PMSM的速度控制系統主要分為六大模塊： 一個速度環控制器和四個電流環控制器；坐標變換模塊；六相PWM模塊；逆變器模塊；編碼器模塊；六相PMSM模塊。

2 二階滑模控制

滑模變結構控制被廣泛應用在電機智能控制的領域，而六相PMSM是一種較為復雜的非線性系統，將關于特殊的非線性控制策略的滑模控制算法引入到六相電機的復雜系統中，有利于發揮出滑模控制的算法簡便、穩定性好的優勢。在滑模研究的發展中，衍生出終端滑模、分數階滑模、變階次滑模等多種各具特色的滑模控制，其優劣并存。本文采用基于super-twisting算法的二階滑模速度控制，其能夠使傳統滑模控制系統中的抖振現象被有效抑制，并且沒有減弱其他優點，將速度環上的傳統PI控制器替代為基于super-twisting算法的改進型二階滑模控制器，在一定程度上提高了六相電機控制系統的整體性能。

2.1 super-twisting算法

super-twisting算法作為二階滑模控制算法中的一種，在相平面上的移動軌跡逐漸逼近原點，滑模面附近的控制量不斷收斂，直到系統的等效控制，從而解決了了傳統滑模的抖振問題。一般的動態控制系統描述如下：

(5)

式中：x為狀態變量；f,g,m為未知函數；u為連續控制輸入量。

super-twisting算法的相平面的軌跡逐漸收斂逼近至原點，因其軌跡圖是螺旋式結構，被稱為超螺旋算法。其控制律可設計如下，一為滑模面函數，二是對時間的導函數：

(6)

式中：kp,ki為滑模增益。

super-twisting滑模控制器在滑模面上收斂的充要條件：

(7)

式中：AM≥|A|和BM≥B≥Bm，A和B分別是由輸出y的二階導數定義的上下限。即：

(8)

則可以根據電機模型定義A=ωψf-Riq，B=1。由此看出，定子電流iq與轉速ω有限制范圍，所以滿足super-twisting滑模控制器收斂的充要條件。

2.2 控制器設計

定義六相PMSM狀態變量：

x=ω1-ω

(9)

式中：ω1為參考轉速，其為常數；ω為實際轉速。

定義滑模面：

(10)

式中：c為大于0的設計參數，可加快滑模收斂速度。

對式(8)求導，得：

(11)

由式(1)～式(3)化簡可知：

(12)

(13)

綜合式(11)和式(12)可得：

(14)

(15)

結合式(8)和式(15)，由A和B分別是輸出的二階導數的上下限不難看出，運動系統滿足收斂性條件，所以可以通過調節滑模增益kp，ki來使系統達到控制滿足穩定性的要求。

將速度控制器的設計參數r取0.5時，控制器方程：

(16)

傳統符號函數sign(s)作為一種不連續的函數，有著諸多缺點，主要因為其運動最后不能趨近于零點。用飽和函數代替符號函數可以解決系統抖振的缺點，在此根據正弦函數的特性，提出一種邊界層可變的正弦飽和函數，其公式如下：

(17)

式中：η為邊界。邊界數值不可過大，否則開關函數的效應將減小，對電機控制系統的性能影響較大，取值0.001。綜上所述，抖振得到了較好抑制，改進后二階滑模控制器：

(18)

3 建模與仿真

圖1為六相PMSM矢量控制系統的結構圖。利用MATLAB/Simulink工具箱對六相PMSM二階滑模速度控制系統進行仿真研究。給定電機轉速60 rad/s,將傳統PI控制器的輸出波形與本文的二階滑模速度控制器進行對比，并且在0.2s時將轉速由60 rad/s降落至30 rad/s,比較兩者的優劣。

圖1 六相PMSM二階滑模速度控制系統

本文所采用的六相PMSM參數：極對數p=3，磁鏈ψf=0.68 Wb，轉動慣量J=0.015 kg·m2，電感Ld=Lq=8.8 mH，定子電阻R=1.4 Ω，阻尼系數為0。在空載下運行電機，采用Ode23tb算法，仿真時間為0.4 s。取kp=3，ki=5,c=0.1。

從圖2、圖3的對比可以看出，二階滑模控制下的電機沒有超調量，運行較PI控制更加穩定，速度響應更快，二階滑模控制下的電機轉矩波動較小，初始轉矩脈動沒有PI控制下脈動大；從圖4、圖5的詳細對比可以看出，在轉速突變過程中，二階滑模控制較PI控制的響應速度更快，魯棒性更好，轉速更平穩，并且在0.2 s時，二階滑模的轉矩脈動比PI控制更小。以上現象足夠說明二階滑模速度控制器突出的優越性。

(a) PI控制

(b) 二階滑模控制

(a) PI控制

(b) 二階滑模控制

(a) PI控制

(b) 二階滑模控制

(a) PI控制

(b) 二階滑模控制

4 結 語

本文詳細研究了基于super-twisting算法的二階滑模速度控制器，以及六相PMSM的矢量控制系統，在MATLAB/Simulink工具箱的基礎上進行仿真研究，驗證了模型的正確性。綜上所述，二階滑模速度控制系統有如下優點：二階滑模速度控制器在運行時解決了傳統滑模的抖振問題；在六相PMSM速度控制系統中，二階滑模有著響應速度快，初始轉矩脈動小，魯棒性強等優點；沒有PI控制器在剛開始運動時的超調量； 在六相PMSM中，當給定轉速突變時，二階滑模強大的穩定性、抗干擾能力得到了驗證。