利用典型模型 提升核心素養
——剖析一道典型解析幾何題的錯解

高中學生學習解析幾何過程中一定會遇到這類題：被拋物線所截長為3的線段的中點到軸的距離的最小值為多少？這道題有些學生是這樣解的，過程如下(如圖所示)：

那么如何模型這類題呢？可見，這類題借助圖形和簡單的平面解析幾何知識是不夠的，必須從數的角度，建立合適的數學模型，進行嚴謹的邏輯推理和數學運算來解決問題。

下面從數的角度建立不同的函數與方程模型，借助函數與方程知識進行解決：(設|AB|=a)

模型二：設中點 C(x0，y0)，設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線的傾斜角為 α

模型四：設 A(t12，2t1)，B(t22，2t2)，C(x，y)

分析點評：

1.上述前三種模型方法的不同之處在于對弦長|AB|的處理不同，模型一是最常規的弦長處理方式，最后將x的最值轉化為關于t的函數最值，模型二、三則打破常規，變向使用弦長和點在曲線上，最后轉化為關于傾角的三角函數的最值問題。引入參數的方式不一樣，得到的代數形式也不一樣，但歸宿相同，這充分體現了代數本質的一致性和靈活性。

2.模型四與前三種模型的思路不同，不是正面求解，而是先求中點的軌跡方程，再用方程限制范圍，此解法充分體現了函數、方程、不等式在解析幾何中的應用。

3.由上述模型可得出此類題的一般結論：設拋物線方程為y2=2px(p＞0)，弦長|AB|=a，則AB中點C 到 y軸距離最小值dmin；

解析幾何是用代數方法研究幾何問題的數學分支，其中的題目可涉及到函數、三角、不等式等各種數學知識，這就決定了一個解析幾何問題可能有多種不同的解法。解析幾何的一題多解可以提高思維的靈活性，拓展學生的思路，進而可以提高解決數學綜合問題的能力，從而提升學生的核心素養。