利用典型模型 提升核心素養(yǎng)
——剖析一道典型解析幾何題的錯(cuò)解

高中學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何過程中一定會(huì)遇到這類題：被拋物線所截長(zhǎng)為3的線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值為多少？這道題有些學(xué)生是這樣解的，過程如下(如圖所示)：

那么如何模型這類題呢？可見，這類題借助圖形和簡(jiǎn)單的平面解析幾何知識(shí)是不夠的，必須從數(shù)的角度，建立合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗蛿?shù)學(xué)運(yùn)算來解決問題。

下面從數(shù)的角度建立不同的函數(shù)與方程模型，借助函數(shù)與方程知識(shí)進(jìn)行解決：(設(shè)|AB|=a)

模型二：設(shè)中點(diǎn) C(x0，y0)，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線的傾斜角為 α

模型四：設(shè) A(t12，2t1)，B(t22，2t2)，C(x，y)

分析點(diǎn)評(píng)：

1.上述前三種模型方法的不同之處在于對(duì)弦長(zhǎng)|AB|的處理不同，模型一是最常規(guī)的弦長(zhǎng)處理方式，最后將x的最值轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)最值，模型二、三則打破常規(guī)，變向使用弦長(zhǎng)和點(diǎn)在曲線上，最后轉(zhuǎn)化為關(guān)于傾角的三角函數(shù)的最值問題。引入?yún)?shù)的方式不一樣，得到的代數(shù)形式也不一樣，但歸宿相同，這充分體現(xiàn)了代數(shù)本質(zhì)的一致性和靈活性。

2.模型四與前三種模型的思路不同，不是正面求解，而是先求中點(diǎn)的軌跡方程，再用方程限制范圍，此解法充分體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式在解析幾何中的應(yīng)用。

3.由上述模型可得出此類題的一般結(jié)論：設(shè)拋物線方程為y2=2px(p＞0)，弦長(zhǎng)|AB|=a，則AB中點(diǎn)C 到 y軸距離最小值dmin；

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)分支，其中的題目可涉及到函數(shù)、三角、不等式等各種數(shù)學(xué)知識(shí)，這就決定了一個(gè)解析幾何問題可能有多種不同的解法。解析幾何的一題多解可以提高思維的靈活性，拓展學(xué)生的思路，進(jìn)而可以提高解決數(shù)學(xué)綜合問題的能力，從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。