法布里-珀羅干涉儀測平板玻璃折射率的方法研究

嚴琪琪，唐 芳，沈 嶸，許懷哲，李 華

(北京航空航天大學 物理科學與核能工程學院，北京 100083)

法布里-珀羅(Fabry-Perot,F-P)干涉儀是利用分振幅的多光束干涉原理而設計的精密測量儀器，光束經該儀器所形成的干涉圖樣和雙光束干涉形成的干涉圖樣相比，干涉條紋更加清晰明銳，分辨率更高，所以它在光譜的精細結構[1]、精確測量光波波長[2-3]和激光諧振腔的研究[4]等方面都有重要的應用. 光學玻璃的折射率是保證其所在光學系統成像質量的基礎，準確測量光學玻璃的折射率在其各自研究領域都具有現實的應用意義[5].

光學玻璃折射率的測量方法主要有測角法[6-10]和干涉法[11-16]. 測角法對被測光學玻璃的形狀有較嚴格的要求，一般用來測量棱鏡折射率；而干涉法的應用相對較靈活，它主要集中在測量平板玻璃的折射率上. 目前，對平板玻璃折射率的測量方法主要有邁克耳孫干涉法[14-16]和分光儀形成的多光束干涉法[12-13],然而用分光儀測量平板玻璃的折射率時，干涉條紋的可見度很難保證，且干涉級次越高干涉條紋越暗，甚至不能從望遠鏡中觀察到.

本文根據F-P干涉儀的干涉原理，提出了原理簡單、操作簡便、測量準確的測平板透明材料折射率的多光束干涉實驗方法，并對在F-P干涉儀中插入平板玻璃前、后所產生的相鄰干涉亮紋直徑平方的差值進行了理論分析. 實驗測量結果和理論分析完全吻合；而且該理論分析結果也能夠有效地解釋邁克耳孫干涉儀測折射率時的異常現象研究[16]中觀察到的當在邁克耳孫干涉儀的1個臂上插入平板玻璃后，平板玻璃似乎會導致其所在光路光程變小的“反直觀”現象.

1 F-P干涉儀的結構及其干涉原理

1.1 F-P干涉儀的結構

F-P干涉儀的核心是由2塊內表面相互平行的平面玻璃板或石英板組成的，且在其相對的2個面上都鍍有平整度很高的高反射率的反射膜. 一般為了消除兩平板相背平面上反射光的影響，平行板的外表面會有很小的楔角，其結構如圖1所示.

圖1 F-P干涉儀的核心部件

1.2 F-P干涉儀的干涉原理及光程分析

F-P干涉儀的干涉原理如圖2所示. 自擴展光源上任一點發出的光束入射到鍍有高反射率反射膜的平面上后，光就在兩者之間多次往返反射，最后構成多束平行的透射光和多束平行的反射光. 在這2組光中，相鄰2束光之間的光程差都相等，但振幅在不斷衰減. 以其中1組透射光進行分析，這組平行光經會聚透鏡后，在其后焦面上可產生形狀為同心圓的等傾干涉條紋，傾角相同的光線對應的干涉條紋的干涉級數相同.

圖2 表面平行的介質層中光的反射和折射

設F-P干涉儀外部介質折射率為n′，內部介質折射率為n且n>n′，光線入射角為i,進入內部介質的折射角為θ，兩平行板間的間距為d，則透射光中相鄰兩光束之間的光程差ΔL為

ΔL=2ndcosθ.

(1)

由光的干涉可知，干涉為亮紋時，

2ndcosθk=(k+e)λ，

(2)

其中，λ為入射光波長，k為等傾干涉條紋最里面亮紋的整數序，e<1為中心不完整干涉亮紋的小數序.

當光線垂直入射時，θk=0，則有

2nd=(k+e)λ.

(3)

設從中心數起，第p個干涉亮紋的角半徑為θp，干涉序為kp，則有

2ndcosθp=kpλ=(k-p+1)λ.

(4)

若θp很小，則有

(5)

若用焦距為f的凸透鏡測量等傾干涉圓環的直徑Dp，則有

(6)

(7)

由折射定律，可知

(8)

由式(3)～(8)可得從中心數起，第p個干涉亮紋直徑的平方為

(9)

由式(9)可得相鄰兩干涉亮紋直徑平方的差應為

(10)

1.3 插入平板玻璃后的光程變化分析

保持1.2部分的干涉裝置不變，把厚度為t、折射率為n1的平板玻璃平行地插入到兩反射面之間，光線進入平板玻璃的折射角為θ′. 其透射光的光路如圖3所示，則透射光中相鄰兩光束之間的光程差ΔL′為

ΔL′=2n(d-t)cosθ+2n1tcosθ′.

(11)

圖3 插入平板玻璃后的相鄰2束透射光的光路圖

采用1.2部分的分析方法，可得插入平板玻璃后, 從中心數起第q個干涉亮紋直徑的平方為

(12)

由式(12)可得插入平板玻璃后相鄰兩干涉亮紋直徑的平方差應為

(13)

對比式(10)和式(13)可以看出，若F-P干涉儀放置在空氣中，即n=n′=1，則當在兩反射面間平行地插入平板玻璃(n1>1)后，相鄰兩干涉亮紋直徑的平方差將會變大. 根據插入平板玻璃前、后相鄰干涉亮紋直徑的平方差的變化即可得出該平板玻璃折射率n1的值.

2 實驗設計及數據測量處理

2.1 實驗光路的設計

由式(10)和式(13)可知，在n=n′=1、入射光波長λ、透鏡焦距f和平板玻璃厚度t已知的情況下，可以首先通過移測顯微鏡測出干涉亮紋的直徑，進而得到兩反射面之間的間距d；保持間距d不變，平行插入平板玻璃，再次通過移測顯微鏡測出此時干涉亮紋的直徑，即可得到所要測平板玻璃的折射率n1. 其測量光路如圖4所示.

圖4 干涉亮紋直徑測量光路圖

2.2 實驗數據測量及處理

實驗中所用激光波長λ=632.8 nm,透鏡焦距f=150 mm,平板玻璃厚度t=1.956 mm,空氣折射率n=n′=1.

當放置在空氣中的F-P干涉儀中間沒插入待測平板玻璃時，干涉亮紋直徑的測量數據如表1所示,其中x為移測顯微鏡示數,D為干涉圓環的直徑.

表1 無玻璃放入時，干涉亮紋直徑的測量數據

由于干涉條紋的確切序數k′無法知道，可令k′=k-i，i是為測量方便規定的干涉條紋序，則

(14)

保持F-P干涉儀d不變，中間插入待測平板玻璃時干涉亮紋直徑的測量數據如表2所示，表中，x為移測顯微鏡示數，D為干涉圓環的直徑.

表2 平板玻璃放入后，干涉亮紋直徑的測量數據

采用與未放入平板玻璃時相同的數據處理方法，可得線性相關系數r=0.999 93→1，

(15)

因t=1.956 mm,d=5.189 2 mm，由式(15)可得n1=1.494.

通過觀察實驗現象可以發現，當在置于空氣中的F-P干涉儀2個反射面中間插入平板玻璃后，相鄰2條干涉亮紋之間的間距變大了，如圖5所示，兩圖中的十字叉絲均放置在從中心向右數第6條干涉條紋所在的位置. 該實驗現象與理論分析所得插入平板玻璃后相鄰干涉條紋直徑平方的差值和所插入介質折射率之間關系的表達式(13)相吻合.

為驗證理論分析的正確性，分別對不同厚度的平板玻璃進行多次測量，均可得到n1→1.5的結果，同時可觀察到與圖5(a)和(b)對比變化趨勢相同的實驗現象. 由此可見，利用上述分析方法和實驗裝置測平板玻璃的折射率切實可行.

(a)未插入玻璃時

(b)插入玻璃后圖5 干涉圖樣

3 結束語

通過理論分析給出了適用于F-P干涉儀來實現分振幅多光束干涉的相鄰干涉條紋直徑平方的差值為一定值的普適公式. 實驗數據的測量結果和理論分析得到的普適公式相吻合，且該理論分析結果也能夠有效地解釋邁克耳孫干涉儀測折射率時的異常現象研究[16]中觀察到的所謂“異常”現象.