基于隨機動力系統的證券市場演化動態研究

趙鵬舉,張 維

(1.天津大學管理與經濟學部，天津 300072；2. 中原工學院系統與工業工程研究中心，河南 鄭州 450007；3. 中國社會計算研究中心，天津 300072)

1 引言

Alchian[1]和Friedman[2]提出了一個命題，認為市場使追求回報最大化的參與者生存下來。在其思想基礎上，Fama[3]在其論述EMH假定的一篇經典文獻中，對套利行為分析得出如下結論：由于理性交易者的套利行為，非理性交易者從長期看必定是虧損的，最終會在金融市場中消失，從而金融市場終將是有效的。

Fama等人的論證事實上預設了市場有效性的假定，從而理性交易者的套利行為才能從長期上使非理性交易者因持續虧損而退出市場。事實上，這是一個在理性預期前提下的循環論證。如果市場并非完全有效，則理性預期下的套利并非是無風險的。而理性交易者也并非是穩定市場的力量。此外，即使作為個體的非理性交易者會持續虧損，在長期趨向上終將退出市場，然而，還會有新的非理性交易者不斷地進入市場。非理性交易者作為一個總體是否會在金融市場上消失還需嚴格的定量分析。因而，如何描述這兩類交易者增減變化的動態規律，成為量化分析證券市場演化的關鍵問題。

Fama等人對市場演化的論證都是定性的，直到上世紀90年代初期, Blume和Easley[4]最先對市場選擇假說對其進行了定量分析，他們提出了一個演化模型，通過推導得出了最適者生存的結論。此后，出現了一系列研究市場演化問題的量化模型，這些文獻的結論卻是兩分的。

對市場演化大問題的研究結論大致可以分為兩類，一類認為在一定前提下，市場演化能夠達到理性均衡。Evstigneev等[5]建立離散時間模型討論了金融市場穩定進化的充分必要條件，證明了在股票價格與未來股息收益貼現值的數學期望相等時，證券市場能夠穩定進化到理想狀態。我國學者楊招軍和秦國文[6]在Evstigneev等人工作基礎上，研究了連續時間模型的金融市場進化問題。研究結果顯示采用買入資產相對股息大于相對股價的股票策略，在投資者初始財富大于零的前提下，最終將控制市場上的所有財富。龍張紅等[7]用中國股市數據對金融進化論進行了實證研究，驗證了揚招軍和秦國文等人的觀點。Akbas等[8]的研究結果認為對沖基金(智錢，Smart money)能夠糾正市場中的錯誤定價。

另一類認為在一定條件下，非理性交易者也可以生存。Blume和Easley[9]在2006年進一步討論了市場選擇假說。其研究結果證明市場選擇假說存在疑問，當市場不完備時，理性交易者也可能被淘汰。

同時，一些學者對市場淘汰非理性交易者的假定進行了研究。Bruno和Raphael[10]的研究認為，由于非理性交易者會高估或低估紅利，并且他們“固執”地相信自己的判斷，從而客觀上提高了非理性交易者的討價還價能力，使得非理性交易者可能獲得高于理性交易者的收益。基于此，Bruno和Raphael[10]分析了非理性交易者動態演化過程，并得出非理性交易者可以在證券市場中長期生存的結論。張永杰等[11]的研究也認為價格內生同時存在套利限制時，市場無法淘汰噪音交易者、反饋交易者等類型的非理性交易者。

市場演化的長期均衡問題仍然是一個未定的問題，而且也是新古典金融學與行為金融學爭論的焦點之一。以往研究在兩個方面上存在著改進的必要：一是以上研究將市場視為一個封閉系統，期間未考慮新進入者對各群體的影響。事實上，即使某類個體由于采用了不適宜的交易策略而逐漸被市場淘汰，而由于新進入者的影響，該類個體的種群可能仍然在市場中存在并對市場產生影響；二是為了簡化研究通常采用了市場價格外生的假定。而目前有大量研究結果顯示，交易者行為與市場價格存在交互作用，大量非理性交易者的存在會導致市場價格偏離理性均衡價格，從而導致理性交易者的虧損。在證券市場上，這意味著大量涌入的非理性交易者可能會破壞證券市場的效率，從而改變市場演化發展的過程。扈文秀等[12]分析了非理性交易行為對資產價格所產生的影響，說明了資產價格泡沫與非理性交易行為之間的關系。劉燕和朱宏泉[13]的實證研究也證明個人投資者的異質信念會左右市場定價。Shirokikh等[14]用基于秩相關的網絡模型研究了美國股票市場的演化問題，認為交易者的協同交易行為與市場波動存在關系。

對不同類型交易者收益率的研究也證明了理性交易者并非總能獲取高于市場的收益率。例如Cochrane[15]研究了1994- 2010年間美國全部對沖基金的平均收益率，結果顯示其收益率經常低于市場收益率，在2009年左右更是低至-40%以下。

趙鵬舉[16]建立了一個微分動力系統模型來刻畫市場演化動態，該模型吸收了生物種群動力系統中的有益成分，有很好的可擴展性，可以很方便的將新進入者的影響納入市場選擇假說的討論中來，同時還能夠通過對參數的設定，考慮價格內生等因素對市場演化短期動態和長期均衡的影響。但該模型是確定性模型，而在真實的證券市場中，任意時刻交易者的財富，證券市場收益，市場的凈進入率等變量和參數都是隨機的。因而，有必要將該模型擴展為隨機動態模型進行分析。

Lo A W[17]依據有限理性假定和生物進化理論提出適應性市場預期(AMH, Adaptive Markets Hypothesis),將金融市場看作一個生態系統，存在捕食者和被捕食者，二者相互依存，數量動態變化。本文將借鑒這個思想構建基本的模型框架，將交易者分為理性交易者和非理性交易者，建立隨機動力系統模型，刻畫證券市場演化規律。通過對模型的分析來分析的不同類型交易者財富變化的動態軌跡和市場的長期均衡。

2 演化模型

考慮有理性交易者和非理性交易者參與的市場，假定在t時刻，理性交易者的財富總額為xt，非理性交易者總額為yt，兩者的收益率分別為rx和ry，顯然，當市場全部為理性交易者的情況下，rx即為市場收益率。同理，當市場全部為非理性交易者的情況下，ry即為市場收益率。依據Alchian[1]和Friedman[2]的斷言，當市場由理性交易者和非理性交易者共同構成時，理性交易者總是能獲得高于市場平均的收益率，并逐漸將非理性交易者逐出市場，因而隨著非理性交易者減少以至到滅絕，理性交易者的收益率將遞減至市場平均收益率，即rx和ry取決與市場中兩類交易者的比例，因而可以得到描述演化動態的微分方程組；

(1)

其中θ1,θ2是參數向量。

2.1 作為封閉系統的市場演化模型

為簡化問題，首先假定市場中沒有新的進入者，即市場作為一個封閉系統進行研究。當市場是一個封閉系統時，兩類交易者財富總量變化動態的微分方程組如下：

(2)

設證券市場收益率為rm，顯然有：

xt·rx+yt·ry=(xt+yt)·rm

(3)

考慮到隨著理性交易者財富在市場中的比例逐步提升，其收益率將下降，因而rx應當具備以下性質：

(1)理性交易者收益率隨其占市場比例的增加而減少，且凸向原點。

雙曲函數具備以上典型特征，因而設rx為雙曲函數，即：

(4)

結合以上公式(3)和(4)可以得到：

(5)

rm和α是參數，從公式(5)中可以明確看出α的含義，就是理性交易者對非理性交易者的掠奪率。進一步，由(2)和(5)可以得出描述市場演化動態的微分動力系統為：

(6)

其中，xt表示理性交易者t時刻的財富總額，yt為非理性交易者t時刻的財富總額，兩者的收益率分別為rx和ry，rm為市場收益率，α代表理性交易者對非理性交易者的掠奪率。

從市場整體的視角來看，不同時間區間市場收益率和掠奪率是隨時間隨機波動的，但本文關注的重點是給定市場結構前提下兩類交易者財富的變化動態，給定一段時間區間的證券市場，必定存在一個rm和α的均值，因而這里的市場收益率和掠奪率假定為給定一段時間區間后的平均值，并作為參數處理。

2.2 開放系統市場演化動態模型

顯然，證券市場作為一個開放系統，不斷的會有新的交易者進入市場，也會有交易者退出市場，將兩者的作用簡化為一個凈進入率納入模型可以更加完整和準確的描述市場演化的動態軌跡。

結合對證券市場新進入者的實證分析，可以設某一時刻理性交易者和非理性交易者進入市場的速度與兩類交易者的存量財富之間存在線性關系，即理性交易者的在t時刻進入市場的財富為ex(xt+yt)，非理性交易者的在t時刻進入市場的財富為ey(xt+yt)，其中ex，ey分別是理性交易者和非理性交易者的凈進入率。這個假定稱為線性進入的假定，在證券市場發展的初級階段，這個假定可以描述證券市場兩類交易者進入市場的動態過程。

因而可以得到描述作為開放系統的證券市場演化動態的微分方程組；

(7)

其中rm,α,ex,ey是參數，考慮各參數的經濟含義，顯然在現實的證券市場中存在rm,α,ex,ey≥0。模型構建的詳細分析參見趙鵬舉。

2.3 開放市場隨機演化動態模型

由于兩類交易者的財富總額顯然是隨機的，因而將上述模型推廣為隨機模型。為了簡化問題便于分析，本文僅將xt，yt設置為隨機變量，同時在模型中將市場上的隨機沖擊歸結在一起，假定為白噪聲干擾，建立隨機動力系統模型來分析市場演化的短期動態和長期均衡。

將公式(7)進行一些簡單的整理，加入白噪聲干擾后的市場演化模型如下：

(8)

在公式(8)中，rm,α,ex,ey的經濟含義同公式(7)，而且為簡化問題均假定為常量。將xt，yt分別代表市場中理性交易者和非理性交易者的財富總額，設為隨機變量。σx，σy代表兩類交易者財富總額的擴散系數，Bit,i=1,2代表相互獨立的標準布朗運動。

3 模型分析

以下將對公式(8)所刻畫的市場演化動態進行分析，通過對模型的分析，希望解決的幾個問題包括：1)模型是否存在全局的和唯一的解；2)作為開放系統的市場演化的長期均衡是什么；3)非理性交易者是否會滅絕，其長期存在的條件是什么。以下將對這幾個問題進行分析。

3.1 全局正解的存在性和唯一性

定理1對于任意給定的初值x0,y0，當t≥0 時，公式(8)存在唯一解，而且xt,yt∈+,a.s.。

證明： 由于公式(8)滿足線性增長和局部Lipshitz條件，由Oksendal[18]中的定理5.2.1，定理1可直接證得。同時還可得到：

(9)

由上述證明可知，作為開放系統的市場演化模型存在全局唯一解，同時公式(9)還表明，在任意有限時間T內，系統是均方期望有限的。

3.2 系統的長期發展動態

本節將討論市場長期發展變動的邊界問題，分析當時間趨于無窮時，兩類交易者財富總額的增長趨勢。

為分析方便，定義K=rm+ex+ey，同時定義：V(X(t))=x(t)+y(t) ，使用Ito公式可得：

τk=inf{t∈+;|X(t)|≥k}

取期望，可得：

E(V(X(τk∧T)))=V(X(0))

令t→∞，由于V(X(0))>0，K:=rm+ex+ey>0 ，因此可以得到：

(10)

從而定理2得證，可知當時間趨向于無窮時，公式(8)所表示的系統中兩類交易者的財富總額趨向于無窮。

3.3 非理性交易者的長期存在性

本節分析本文探討的一個核心問題，即非理性交易者的長期存在性問題，本節將證明在一定條件下，當t→∞時，yt→∞。

定義：H=rm-α+ey，由公式(8)中的下式可得：

(11)

定義：

(12)

由于ey>0，而且xt∈+，根據隨機比較定理Ikeda和Watanabe[19],Seather等[20]可知：依概率1有yt>ηt，t≥0。

定義g(t,x)=lnx，應用Ito公式可以很容易求出：

(13)

對公式(13)進行分析可以得到以下結果：

同時由于yt>ηt，a.s.，因而定理3得證。

定理3說明如果非理性交易者的收益率加上凈進入率與其收到的擾動相比足夠大的話，則非理性交易者可以在市場中長期存在，而且其財富將保持增長直至無窮。反之，如果市場收益率，掠奪率和非理性交易者的凈進入率與非理性交易者財富變動的一半方差相比較小的話，非理性交易者也存在滅絕的可能。

3.4 隨機演化模型的仿真分析

隨機演化動態模型(公式8)的解析解不易求得，因而考慮使用仿真的方法對市場的隨機演化動態軌跡進行模擬，同時用多次仿真求樣本均值的方法對交易者財富的長期期望進行模擬和分析。下面將使用Higham[21]提出的方法對公式(8)進行仿真。

3.4.1 隨機演化動態的樣本軌跡

首先使用Higham的方法對公式(8)進行離散化處理，得

(14)

其中ε1t,ε2t是服從標準正態分布的隨機變量。

使用公式(14)，設定參數與中國證券市場近20年(1996年1月1日至2016年12月31日)來的收益率和波動性相仿，即設定rm=0.022%，α=0.01%，ex=0.005%，ey=0.02%，ξ0=0.2，η0=0.8，σx=0.01%，σy=0.01%，設定時間周期為8000個交易日，使用Matlab仿真得到的結果如下圖1所示：

圖1 市場隨機演化動態樣本軌跡

圖中下面的曲線代表理性交易者的財富總額，上面的曲線代表非理性交易者的財富總額。從圖1中可以清晰的看到，在市場處于正常的增長過程中時，隨著時間增長，理性交易者和非理性交易者的財富都呈現出增長的態勢，而且理性交易者財富的增長更加迅速。經過8000個交易日的演化，理性交易者的財富占市場總財富的比例由20%上升到50%。

3.4.2 隨機演化動態的長期均衡

Higham[21]同時提出了隨機動態系統求期望值的方法，即對系統進行多次仿真，對仿真得出的樣本取均值來估計變量的期望值。按照該方法，對公式(14)進行100次仿真(限于計算機性能，100次仿真需運行5個小時左右，因而無法大幅增加樣本數來減少樣本均值與期望值之間的誤差)后求出ξt和ηt，隨后求出ηt所代表的非理性交易者占市場財富總額的比例，其變動軌跡如下圖所示：

圖2 非理性交易者市場份額變動軌跡

從圖2中可以看到，在財富方差變動不太大的情況下，市場演化動態中的非理性交易者在市場中所占比例隨時間遞減，但遞減的幅度逐漸減少。與確定性模型相仿，隨機模型中非理性交易者所占的比例從長期看會收斂到一個非零的長期均衡值上。

3.5 模型的擴展

目前諸多研究成果表明，市場參與者存在著不同的理性層次和行為特征，如損失厭惡、心理賬戶等等，僅用理性交易者和非理性交易者來刻畫市場參與者不足以充分地表述市場特征，因而考慮將模型擴展為多變量隨機微分方程組，通過研究上述模型，能夠更為真實細致地描述市場演化動態的軌跡和特征。

假定市場中存在著包括理性交易者在內的n種不同類型交易者，每種交易者的收益率分別為ri,i=1,2,…,n，每種交易者的凈進入率為ei,i=1,2,…,n。為簡化問題，仍然采用了各類交易者勻質分布、線性進入的假定，即任意時刻t，每一類交易者進入市場的比例均假定為市場交易者總體財富的一個固定比例。

在以上假定下，公式(8)可以擴展為如下的向量形式：

dX(t)=AijX(t)dt+σiX(t)dBi(t)

(15)

其中：

σi,i=1,2,…,n代表各類交易者財富變動的方差，Bit是互相獨立的標準布朗運動，對公式(15)進行一些基本的分析可以得到以下結果：

①由于滿足線性增長和局部Lipshitz條件，公式(15)所表示的系統存在全局唯一解。

③任意一種交易者的生存和滅絕取決于其收益率及其所受擾動的大小，只要其收益率加上其凈進入率相對于其財富波動足夠大，該類交易者就不會滅絕。

4 結語

(1)作為開放系統的隨機市場演化模型存在全局唯一的正解，而且在有限時間內，交易者財富的總額是均方期望有限的。

(2)市場中兩類交易者的財富總額的期望值呈現指數增長的趨勢，當時間趨于無窮時，兩類交易者的財富總額趨于無窮。

(3)當有新進入者存在時，即便理性交易者的收益高于非理性交易者，市場的長期演化不一定能夠消除非理性交易者，非理性交易者的長期存在性取決于其長期收益率和其財富的波動率。

在本文中，為了簡化問題，將市場收益率等設為常數參數，將所有的隨機因素歸結在一起作為白噪聲干擾納入模型中進行分析，而事實上市場演化動態受到一個顯著的主要因素的干擾和其它一些次要因素的干擾。交易者的收益率是一個顯著的主要因素，將其作為一個Markov過程納入模型，將模型擴展為有Markov沖擊的市場演化模型可能會得到更多更好的結果。