帶有馬爾可夫競(jìng)爭(zhēng)因子的多產(chǎn)品報(bào)童模型

武 博，官雨嫻，陳 杰，陳志祥

(1.西南交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 成都 610031；2.華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510640；3.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

1 引言

在自由競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)背景下，顧客的需求數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的信息量較大，給數(shù)據(jù)的采取、處理和分析帶來(lái)極大的難度，以致許多具有重要參考價(jià)值的信息的屬性未能深入地挖掘出來(lái)，比如：需求信息所帶有的競(jìng)爭(zhēng)因子。同類產(chǎn)品間的競(jìng)爭(zhēng)性是現(xiàn)代商品所具有的基本屬性之一，若決策者在需求數(shù)據(jù)的收集過(guò)程中忽略了競(jìng)爭(zhēng)因子的存在，則其所得到的信息集不能真實(shí)反映所研究對(duì)象的屬性。顯然，在此情形下庫(kù)存系統(tǒng)的需求數(shù)據(jù)信息鏈?zhǔn)遣痪哂型陚湫缘模M(jìn)而使得隨機(jī)庫(kù)存系統(tǒng)的決策機(jī)制建立在不完備的需求信息集之上，以致在決策過(guò)程中缺乏充分的理論依據(jù)。報(bào)童模型是隨機(jī)庫(kù)存系統(tǒng)的最重要模型之一，隨機(jī)需求的密度函數(shù)是該模型的理論基礎(chǔ)。因此，將“需求帶有競(jìng)爭(zhēng)因子”的決策理念納入報(bào)童模型的理論框架，進(jìn)而導(dǎo)出隨機(jī)庫(kù)存系統(tǒng)的決策機(jī)制，對(duì)提升供應(yīng)鏈的運(yùn)作與管理水平具有一定的理論和實(shí)際意義。

報(bào)童模型作為優(yōu)化庫(kù)存訂購(gòu)決策的重要理論工具，近年來(lái)仍是理論研究的熱點(diǎn)之一。隨著學(xué)術(shù)界對(duì)供應(yīng)鏈管理中的契約協(xié)調(diào)、共享經(jīng)濟(jì)、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避、行為決策科學(xué)、帶有約束條件的優(yōu)化決策和模型的求解方法等問(wèn)題的普遍關(guān)注，極大地促進(jìn)了報(bào)童模型基本理論的發(fā)展[1-6]。孫彩虹[7]在“做和型”隨機(jī)價(jià)格需求函數(shù)的條件下，提出了Worst-case型的魯棒聯(lián)合定價(jià)和訂貨策略的報(bào)童模型，同時(shí)在既定的條件下給出了聯(lián)合決策的閉環(huán)最優(yōu)解。禹海波[8]運(yùn)用概率論中的隨機(jī)占優(yōu)和可變序考慮了需求不確定性對(duì)兩類報(bào)童問(wèn)題的影響，一類是經(jīng)典的最小化成本報(bào)童問(wèn)題，另一類是帶有二次訂貨策略的最大化利潤(rùn)報(bào)童問(wèn)題。于輝和馬云麟[9]考慮了供應(yīng)鏈中零售商為供應(yīng)商提供信用擔(dān)保，通過(guò)給定的保理回報(bào)率收取擔(dān)保費(fèi)用，以實(shí)現(xiàn)收益最大化為目標(biāo)建立了單周期報(bào)童模型，并運(yùn)用數(shù)值分析了融資模式對(duì)供應(yīng)鏈績(jī)效和效率的影響及保理回報(bào)率對(duì)訂貨決策的影響。馮艷剛和吳軍[10]在突發(fā)事件導(dǎo)致決策者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的情形下研究了風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的報(bào)童博弈模型，以條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值作為風(fēng)險(xiǎn)度量的理論工具，構(gòu)建了以零售商期望收益最大化為目標(biāo)的非合作博弈模型，證明了納什均衡的存在與唯一性。以上具有代表性的理論研究成果主要以契約協(xié)調(diào)、價(jià)格策略、預(yù)算和資金約束、需求不確定性、風(fēng)險(xiǎn)厭惡等經(jīng)典的決策理念為導(dǎo)向，進(jìn)一步完善了隨機(jī)庫(kù)存系統(tǒng)的決策機(jī)制以及豐富了運(yùn)作與管理的運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域的理論和方法，有效地拓展了報(bào)童模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用性和實(shí)效性。

同類產(chǎn)品間的競(jìng)爭(zhēng)性作為現(xiàn)代商品的基本屬性之一，部分學(xué)者已將市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)因素納入決策機(jī)制，對(duì)報(bào)童模型進(jìn)行深入的拓展性研究，并取得豐富的研究成果。Huang Di等[11]考慮帶有缺貨懲罰和部分可替代的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)報(bào)童問(wèn)題，并證明了競(jìng)爭(zhēng)報(bào)童模型的納什均衡解的存在性，進(jìn)而通過(guò)迭代法給出模型的近似解。Yang Shilei等[12]考慮兩個(gè)零售商在同一個(gè)供應(yīng)商及市場(chǎng)環(huán)境下，以價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的研究路徑拓展了報(bào)童模型的理論框架，該研究成果表明決策模型的最優(yōu)零售價(jià)格和訂購(gòu)量關(guān)于競(jìng)爭(zhēng)激烈程度分別為單調(diào)遞減及單調(diào)遞增的函數(shù)。Chakraborty等[13]在兩個(gè)廠商的競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下考慮庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)定價(jià)和訂購(gòu)問(wèn)題，并結(jié)合斯坦伯格博弈理論構(gòu)建了帶有收益共享機(jī)制的報(bào)童模型。Aldaihani和Darwish[14]在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的環(huán)境下納入服務(wù)水平的決策理念，構(gòu)建了允許二次訂購(gòu)的報(bào)童模型，并通過(guò)數(shù)值模擬和仿真方式論證了模型的可行性和有效性。Yang Jianqun等[15]在雙渠道供應(yīng)鏈的條件下，將顧客的消費(fèi)行為具有轉(zhuǎn)移性的特征融入報(bào)童模型的理論框架，構(gòu)建了帶有競(jìng)爭(zhēng)因素的的易變質(zhì)商品庫(kù)存模型，并分別從分散決策和集中決策的視角分析了庫(kù)存系統(tǒng)的運(yùn)作與管理的績(jī)效性。Shen Yuwei等[16]在競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下建立了帶有風(fēng)險(xiǎn)厭惡的博弈報(bào)童模型，并在一定的條件下證明了該模型的納什均衡的存在性和唯一性，該研究成果表明庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)量關(guān)于初始財(cái)富和風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度分別單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)。以上研究成果充分考慮了競(jìng)爭(zhēng)因素對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的決策機(jī)制的影響，主要沿著價(jià)格策略、服務(wù)水平、產(chǎn)品質(zhì)量、需求轉(zhuǎn)移等方面的競(jìng)爭(zhēng)評(píng)估指標(biāo)，對(duì)報(bào)童模型的基礎(chǔ)理論進(jìn)行拓展性研究，進(jìn)而形成相應(yīng)的運(yùn)籌學(xué)理論工具包解決了不同競(jìng)爭(zhēng)因素下的報(bào)童問(wèn)題。

由單產(chǎn)品導(dǎo)出庫(kù)存系統(tǒng)的控制理論與方法，在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中面臨著一定的挑戰(zhàn)，其中之一就是無(wú)法解決多產(chǎn)品協(xié)同訂購(gòu)問(wèn)題。針對(duì)此問(wèn)題，Hanasusanto等[17]在多產(chǎn)品需求間具有高度關(guān)聯(lián)性的條件下，構(gòu)建了帶有風(fēng)險(xiǎn)厭惡的多產(chǎn)品報(bào)童模型，并利用二次決策規(guī)劃方法解決了模型最優(yōu)解的最佳逼近問(wèn)題。Zhou Yanju等[18]研究了帶有損失和預(yù)算約束的多產(chǎn)品報(bào)童模型，并提出了線性一致逼近法，以解決模型非線性最優(yōu)解的問(wèn)題。Wang Dan和Qin Zhongfeng[19]認(rèn)為在實(shí)際問(wèn)題中，顧客的需求具有模糊性和隨機(jī)性，為此提出了帶有混合需求的多產(chǎn)品報(bào)童模型，并通過(guò)遺傳算法給出模型的最優(yōu)解。Abdel-Aal等[20-21]分別從多產(chǎn)品選擇、服務(wù)水平、風(fēng)險(xiǎn)厭惡等視角，提出了相應(yīng)的多產(chǎn)品報(bào)童模型，該研究成果表明庫(kù)存系統(tǒng)的決策機(jī)制對(duì)多產(chǎn)品的選擇性、服務(wù)水平的高低及厭惡程度等因素具有高度的敏感性。周佳琪和張人千[22]考慮當(dāng)產(chǎn)品間存在互補(bǔ)關(guān)聯(lián)的關(guān)系時(shí)，建立了帶缺貨懲罰的單周期多產(chǎn)品帶有交叉銷售和集中決策的報(bào)童模型，并給出一階博弈均衡條件以及均衡解的唯一性條件與上下界。陳杰等[23-24]考慮具有多元馬氏需求特征的多產(chǎn)品庫(kù)存報(bào)童模型的優(yōu)化問(wèn)題，并通過(guò)需求狀態(tài)的截尾概率、雙面因子及需求間關(guān)聯(lián)性的強(qiáng)弱分析了該模型最優(yōu)解的性質(zhì)，相關(guān)結(jié)論表明最優(yōu)訂購(gòu)策略及最優(yōu)期望利潤(rùn)與截尾概率的關(guān)系為正相關(guān)，而與雙面因子的關(guān)系則正反兩面的關(guān)聯(lián)性。張永等[25]采用集成專家意見(jiàn)的在線序列預(yù)測(cè)算法研究了報(bào)童問(wèn)題，并根據(jù)弱集成算法的競(jìng)爭(zhēng)性理論提出了多產(chǎn)品多階段報(bào)童模型，同時(shí)在不同的需求類型的條件下，通過(guò)數(shù)值算例論證了在線訂購(gòu)策略優(yōu)越性。隨著供應(yīng)鏈的決策環(huán)境進(jìn)一步復(fù)雜化，庫(kù)存系統(tǒng)的決策機(jī)制也融入了決策維度多元化的基本理念。在此背景下，將單產(chǎn)品的庫(kù)存系統(tǒng)決策理論和方法向多產(chǎn)品研究途徑拓展，已成為當(dāng)今學(xué)術(shù)界對(duì)報(bào)童模型的理論深度完備化的研究必然趨勢(shì)之一。

需求作為供應(yīng)鏈管理的理論體系的基礎(chǔ)，其自身帶有多元化信息的屬性，對(duì)整個(gè)決策機(jī)制的構(gòu)建具有重要的參考價(jià)值，但以上的庫(kù)存決策模型也往往忽視某個(gè)需求信息的屬性，以致其所得出的優(yōu)化決策與實(shí)際情況有所偏差。比如：上述的模型并不考慮產(chǎn)品需求間的競(jìng)爭(zhēng)屬性對(duì)整個(gè)需求數(shù)據(jù)鏈中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響，致使相關(guān)的決策未能夠充分體現(xiàn)出庫(kù)存系統(tǒng)的“噪聲”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。鑒于競(jìng)爭(zhēng)已成為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的普遍現(xiàn)象，若決策模型忽視需求間的相互轉(zhuǎn)移性，單從需求間相互獨(dú)立性的片面視角來(lái)考慮競(jìng)爭(zhēng)性多產(chǎn)品的庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題，顯然這樣的模型理論設(shè)計(jì)具有一定的局限性。為此，出于報(bào)童模型理論發(fā)展及其實(shí)踐應(yīng)用的考慮，針對(duì)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的報(bào)童問(wèn)題，本文以馬爾可夫鏈為理論導(dǎo)向，將競(jìng)爭(zhēng)因子納入報(bào)童模型的理論框架，研究構(gòu)建競(jìng)爭(zhēng)性多產(chǎn)品庫(kù)存系統(tǒng)的決策機(jī)制。

1 模型的構(gòu)建

1.1 模型描述和符號(hào)說(shuō)明

所謂競(jìng)爭(zhēng)性多產(chǎn)品需求間的相互轉(zhuǎn)移，指的是在不同的時(shí)期內(nèi)顧客的需求從某個(gè)產(chǎn)品轉(zhuǎn)移到另一個(gè)產(chǎn)品，其內(nèi)在的轉(zhuǎn)移規(guī)律性，本質(zhì)上就是相互之間的轉(zhuǎn)移概率。因此，在假設(shè)產(chǎn)品集為庫(kù)存系統(tǒng)的狀態(tài)的條件下，可利用馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣來(lái)描述需求間相互轉(zhuǎn)移的特征。本文主要以馬氏鏈為理論的導(dǎo)向，構(gòu)建庫(kù)存系統(tǒng)的需求模型以確定產(chǎn)品需求間的轉(zhuǎn)移概率，進(jìn)而結(jié)合經(jīng)典報(bào)童模型提出新的競(jìng)爭(zhēng)性多產(chǎn)品庫(kù)存決策模型。

為了方便問(wèn)題的闡述，首先作出以下模型的符號(hào)說(shuō)明及基本假設(shè)：

k=0,1,2,…,K表示庫(kù)存系統(tǒng)的周期，而n(n=1,…,N)表示第n種產(chǎn)品；

Xnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的隨機(jī)需求變量；

P=產(chǎn)品需求間相互轉(zhuǎn)移的概率矩陣；

Pnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的銷售價(jià)；

Cnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的進(jìn)貨價(jià)格；

Vnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的回收價(jià)；

Qnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的訂購(gòu)量。

這里假設(shè)顧客的需求轉(zhuǎn)移具有馬氏性，即影響顧客的需求從某個(gè)產(chǎn)品轉(zhuǎn)移到另一個(gè)產(chǎn)品只跟目前所處的狀態(tài)有關(guān)，而與歷史所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。同時(shí)，假設(shè)未滿足的顧客需求視為失去的。

1.2 馬氏需求轉(zhuǎn)移模型

馬爾可夫模型作為描述系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律的最成熟理論之一，最初是由俄國(guó)著名的數(shù)學(xué)家Markov于1906年研究而得名的，其相關(guān)的理論已廣泛應(yīng)用到信息技術(shù)、生物科學(xué)、金融工程和供應(yīng)鏈管理等領(lǐng)域。為了建立馬氏需求轉(zhuǎn)移模型，首先介紹其相關(guān)的基本概念。

定義1 設(shè)S={i0,i1,…,im,…}為系統(tǒng)的狀態(tài)空間，T={0,1,…,k,…}為系統(tǒng)的周期參數(shù)集。若對(duì)于任意ik∈S及P(Z0=i0,Z1=i1,…,Zk=ik)>0，有：

P(Zk+1=ik+1|Z0=i0,Z1=i1,…,Zk=ik)=P(Zk+1=ik+1|Zk=ik)

(1)

則稱隨機(jī)序列{Zk,k≥0}為時(shí)間離散型的馬爾可夫鏈或馬氏模型。馬氏模型{Zk,k≥0}的轉(zhuǎn)移概率可以用來(lái)描述事物的內(nèi)在向前發(fā)展的態(tài)勢(shì)，即以概率的方式揭示事物內(nèi)在的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

記pij=P(Zk+1=j|Zk=i)為顧客于第k周期從產(chǎn)品i轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品j的概率(i,j∈S)，Xk=(X1k,X2k,…,XNk)T為各產(chǎn)品在第k周期的需求量。于是，結(jié)合馬氏模型，可得出各產(chǎn)品于第k+1周期的期望需求，即：

(2)

1.3 馬氏需求轉(zhuǎn)移下競(jìng)爭(zhēng)性多產(chǎn)品報(bào)童模型

在假設(shè)φ(x)為隨機(jī)需求變量X的密度函數(shù)條件下，經(jīng)典的報(bào)童模型為[27]

(3)

其中C(s)和C(o)分別為產(chǎn)品的單位缺貨成本和單位過(guò)剩成本，Q為產(chǎn)品的訂購(gòu)量。本小節(jié)主要在經(jīng)典的報(bào)童模型的理論基礎(chǔ)上，結(jié)合上文提出的馬氏需求轉(zhuǎn)移模型，研究建立帶有馬氏競(jìng)爭(zhēng)因子的多產(chǎn)品報(bào)童模型。

由于本文只考慮庫(kù)存系統(tǒng)在下個(gè)銷售周期的優(yōu)化控制問(wèn)題，所以若{1,2,…,k}為系統(tǒng)的歷史周期，則系統(tǒng)的下個(gè)周期為T(mén)=k+1。為了求出第n產(chǎn)品的密度函數(shù)，以下先介紹多重卷積公式。

(4)

命題1 設(shè)X1k,X2k,…,XNk分別為各產(chǎn)品于第k周期連續(xù)型的隨機(jī)需求變量，顧客的需求于第k周期從產(chǎn)品i轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品j的概率為pij>0，其中i,j∈S，其聯(lián)合密度函數(shù)為f(x1k,x2k,…,xNk)，則第n產(chǎn)品于第k+1周期的密度函數(shù)為

(5)

因此，再由n重卷積公式，可得第n產(chǎn)品于第k+1周期的密度函數(shù)，即：

dyi-1dyi+1…dyN。

設(shè)EΩnk為第n產(chǎn)品于第k周期的期望成本函數(shù)，聯(lián)合式子(3)和(5)可得：

fXn(k+1)(xn(k+1))dxn(k+1)

(6)

其中

dy1…dyi-1dyi+1…dyN。

若記EΩk+1=V(Q1(k+1),Q2(k+1),…,QN(k+1))為各產(chǎn)品于第k周期的總期望成本函數(shù)，則

(7)

新的報(bào)童模型(6)是將競(jìng)爭(zhēng)因子吸收到模型的理論框架而提出的，使得需求信息得到局部的完備化，充分考慮了由市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)性而產(chǎn)生產(chǎn)品需求間的關(guān)聯(lián)性對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)總期望成本的影響。接下來(lái)研究該模型的最優(yōu)解及其性質(zhì)。

1.4 模型的最優(yōu)解

(8)

dy1…dyi-1dyi+1…dyN。

雖然本模型所得出的最優(yōu)訂購(gòu)策略的表達(dá)式較經(jīng)典多產(chǎn)品報(bào)童模型的最優(yōu)解，在表述的形式上具有一致性(詳見(jiàn)文[27])，但新模型與經(jīng)典模型的理論基礎(chǔ)具有本質(zhì)上的區(qū)別。經(jīng)典的多產(chǎn)品報(bào)童模型不考慮競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)策略的影響，鑒于此理論的局限性，新模型把需求間具有相互轉(zhuǎn)移的特征性納入到理論的框架并建立了帶有馬氏競(jìng)爭(zhēng)因子的報(bào)童模型，完善了相應(yīng)的理論體系。命題2的結(jié)論表明了庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)策略與需求變量的分布函數(shù)有關(guān)，但由于產(chǎn)品的隨機(jī)需求變量受到來(lái)自于其他產(chǎn)品的需求轉(zhuǎn)移性的影響，因此其分布函數(shù)也隨之發(fā)生變化，故產(chǎn)品間的競(jìng)爭(zhēng)因子pij對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)策略的結(jié)構(gòu)具有重要的影響。

2 模型的仿真與優(yōu)化分析

限于篇幅，本算例只考慮由3種產(chǎn)品形成競(jìng)爭(zhēng)性關(guān)系的情形。設(shè)某競(jìng)爭(zhēng)性多產(chǎn)品庫(kù)存系統(tǒng)共由A、B和C產(chǎn)品所構(gòu)成，其在第k周期(庫(kù)存系統(tǒng)的初始階段)的需求變量分別為X1k,X2k,X3k，而f(x1k,x2k,x3k)為其初始聯(lián)合密度函數(shù)。出于簡(jiǎn)化模型計(jì)算過(guò)程的考慮，不妨假設(shè)(X1k,X2k,X3k)服從多維均勻分布，即(X1k,X2k,X3k)～U(SD)，其中積分區(qū)域D={(x1k,x2k,x3k)|0≤x1k≤30;0≤x2k≤30;0≤x3k≤30}為三維空間R3中的一個(gè)有界區(qū)域，其度量為體積。因此，SD=27000，故(X1k,X2k,X3k)的初始聯(lián)合密度函數(shù)為

f(x1k,x2k,x3k)

(9)

2.1 競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下產(chǎn)品的密度函數(shù)及其分布函數(shù)

在競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境下，設(shè)A產(chǎn)品在下周期的期望需求為X1(k+1)=aX1k+bX2k+cX3k，其中0

(10)

這里假設(shè)a≤b+c具有重要的經(jīng)濟(jì)管理意義，表明了產(chǎn)品間的競(jìng)爭(zhēng)比較激烈。事實(shí)上，由馬氏需求轉(zhuǎn)移模型可知，競(jìng)爭(zhēng)因子a=p11為A產(chǎn)品需求的自轉(zhuǎn)率(回頭率)，即顧客的需求于下個(gè)周期由A產(chǎn)品轉(zhuǎn)移到A產(chǎn)品的概率；參數(shù)b=p21,c=p31稱為它轉(zhuǎn)入率，即顧客的需求于下個(gè)周期分別由B和C產(chǎn)品轉(zhuǎn)移到A產(chǎn)品的概率。因此，在開(kāi)放的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下，當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)因子a,b,c滿足a≤b+c時(shí)(自轉(zhuǎn)率小于或等于它轉(zhuǎn)入率之和)，說(shuō)明了顧客的回頭率比爭(zhēng)取新顧客率要低?？梢?jiàn)，在此情形下企業(yè)對(duì)顧客的保持能力以及顧客對(duì)企業(yè)的忠誠(chéng)度較低，從而加劇了產(chǎn)品間的需求轉(zhuǎn)移率的變化，表現(xiàn)出產(chǎn)品間相互競(jìng)爭(zhēng)的激烈程度。

fX1(k+1)(x)=

同理，可得A和B產(chǎn)品于第k+1周期的密度函數(shù)，其分別為

fX2(k+1)(x)=

fX3(k+1)(x)=

若在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境下，不考慮競(jìng)爭(zhēng)因子的影響(即當(dāng)i=j時(shí),pij=1；否則pij=0)，由邊際分布的理論知識(shí)，易得三種產(chǎn)品在下個(gè)周期的密度函數(shù)為

(11)

于是，根據(jù)以上的密度函數(shù)，可得各產(chǎn)品的需求變量的分布函數(shù)曲線圖(見(jiàn)圖1)。

圖1 帶有和非帶有競(jìng)爭(zhēng)因子下的分布函數(shù)

由圖1可知，在不考慮競(jìng)爭(zhēng)因子的情況下，各產(chǎn)品的分布圖形是一樣的，同為由兩條直線段所構(gòu)成，但在需求帶有競(jìng)爭(zhēng)因子下各產(chǎn)品的分布圖形各不相同，其形狀在競(jìng)爭(zhēng)因子的影響下于[0,30]內(nèi)演變?yōu)榍€狀，其中B產(chǎn)品的分布函數(shù)受競(jìng)爭(zhēng)因子的影響最大?？梢?jiàn)，各產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)因子直接影響著需求的分布函數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。由于報(bào)童模型的最優(yōu)訂購(gòu)策略與分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此其之間的關(guān)聯(lián)性對(duì)系統(tǒng)最優(yōu)解的取值必然施加著重要的作用。顯然，若忽略其競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)策略的影響，則在競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境下所構(gòu)建的決策機(jī)制在理論上缺乏科學(xué)性和合理性，同時(shí)也不符合對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模的基本要求。

2.2 最優(yōu)訂購(gòu)策略對(duì)成本參數(shù)的敏感性分析

注：由于Matlab中“Data Cursor”項(xiàng)所創(chuàng)建的坐標(biāo)點(diǎn)的內(nèi)生表示法為(X, Y)，因此以下圖圖中坐標(biāo)點(diǎn)的X和Y分別表示參數(shù)C和最優(yōu)訂購(gòu)策略Q。

圖2 單位過(guò)剩成本對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)策略的影響

圖3 單位缺貨成本對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)策略的影響

在需求帶有和非帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的條件下，由圖2和圖3中曲線的內(nèi)在運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以得出以下的結(jié)論：

(2)根據(jù)各曲線的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)不難判斷出當(dāng)參數(shù)C落在區(qū)間[0,10)時(shí)，相對(duì)在區(qū)間(10,30]而言其圖形較為陡峭，其曲率隨著C值的變小而增大；當(dāng)C落在區(qū)間(10,30]時(shí)，其曲率隨著C值的增大而變小，曲線的形狀漸趨于平坦化。由此，可見(jiàn)當(dāng)參數(shù)C取值于區(qū)間[0,10)時(shí)，相對(duì)在區(qū)間(10,30]而言對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)策略的影響較大。以上曲線Q的變化規(guī)律具有重要的管理意義：企業(yè)管理者可以利用最優(yōu)訂購(gòu)策略內(nèi)在的運(yùn)動(dòng)特征來(lái)獲取商業(yè)談判的重要信息，并以此來(lái)制定雙方在利益博弈過(guò)程中的策略，通過(guò)其曲率大小來(lái)預(yù)判商業(yè)談判的艱難程度。

雙方若以C=10作為談判單位過(guò)剩成本的初始值(即-10≤ΔC≤20)，因?yàn)楫?dāng)ΔC<0時(shí)，最優(yōu)訂購(gòu)策略的曲線的形狀比ΔC>0時(shí)的陡峭，意味著其在點(diǎn)ΔC+C處的曲率比落在區(qū)間(10,30]上的任意一點(diǎn)的曲率要大，這表明由ΔC<0引起曲線的變化幅度比由ΔC>0引起的大得多，從而可知當(dāng)ΔC∈[-10,0)時(shí)所產(chǎn)生利益的邊際效應(yīng)比ΔC∈(0,20]時(shí)的高。比如：以圖2中的需求非帶有競(jìng)爭(zhēng)因子情形下各產(chǎn)品最優(yōu)訂購(gòu)策略的曲線為例，令C1=0，C2=20，則由C=10到C1和C2的增量分別為ΔC1=-10及ΔC2=10。雖然兩個(gè)行動(dòng)的變化幅度相等，但相應(yīng)的最優(yōu)訂購(gòu)策略的絕對(duì)增量卻分別為|ΔQ1|=23.077和|ΔQ2|=3.01，可見(jiàn)兩者的取值差異性比較大。因此，由上述所分析的ΔC與各方的利益關(guān)系可知，當(dāng)行動(dòng)ΔC屬于區(qū)間[-10,0)時(shí)，每個(gè)行動(dòng)ΔC取值的細(xì)微變化，都會(huì)引起雙方使用“斤斤計(jì)較”的議價(jià)策略，不輕易做出相應(yīng)的讓步，雙方的談判將進(jìn)入僵局，很難談得攏；當(dāng)行動(dòng)ΔC屬于區(qū)間(0,20]時(shí)，由于曲線的曲率相對(duì)在其他區(qū)間而言較小，曲線的形狀漸趨于平坦化，故此時(shí)當(dāng)ΔC的取值發(fā)生變化時(shí)，雙方利益的邊際效應(yīng)相對(duì)較為平穩(wěn)，因此雙方在此區(qū)間上的談判進(jìn)展情況會(huì)較為順利。

(3)記Q0為非帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的各產(chǎn)品最優(yōu)訂購(gòu)策略，Q1,Q2和Q3分別為帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的A、B和C產(chǎn)品最優(yōu)訂購(gòu)策略。由圖2可知當(dāng)C∈[0,2.082]時(shí)，有Q0≥Qn(n=1,2,3)，這表明非帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的最優(yōu)訂購(gòu)策略對(duì)單位過(guò)剩成本的敏感度比帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的高；當(dāng)C∈[4.47,30]時(shí)，其相關(guān)的結(jié)論正好相反。同理，可以通過(guò)圖3中的曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并以分區(qū)間的方式來(lái)分析單位缺貨成本對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)策略的影響。由參數(shù)C在不同區(qū)間內(nèi)的取值所產(chǎn)生的Q0與Qn之間的關(guān)系，易得出一個(gè)更為重要的管理啟示，即決策者可以根據(jù)參數(shù)C的取值選擇不同的優(yōu)化庫(kù)存系統(tǒng)的策略--單位過(guò)剩成本、缺貨成本及競(jìng)爭(zhēng)因子。事實(shí)上，因?yàn)楫?dāng)C∈[4.47,30]時(shí)，有Q0≤Qn，故決策者可以聯(lián)合三種策略來(lái)增加庫(kù)存的訂購(gòu)量，其一是利用單位過(guò)剩成本和缺貨成本這兩種策略作為杠桿來(lái)調(diào)控庫(kù)存的服務(wù)水平；其二是利用競(jìng)爭(zhēng)因子來(lái)優(yōu)化分布函數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以達(dá)到提高各產(chǎn)品的訂購(gòu)量。然而，當(dāng)參數(shù)C的取值達(dá)到一定的臨界值時(shí)，所選擇的策略也發(fā)生改變，比如：因?yàn)楫?dāng)C∈[0,2.082]時(shí)，有Q0≥Qn，所以聯(lián)合單位過(guò)剩成本、缺貨成本及競(jìng)爭(zhēng)因子等策略作為提高庫(kù)存訂購(gòu)量的手段，其效果不太理想，故選擇 “單位過(guò)剩成本和缺貨成本”的策略效果更好一些。

在上述虛擬的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下(轉(zhuǎn)移概率矩陣為P)，對(duì)于任意C∈[0,30]有Q1>Q3>Q2，這說(shuō)明在給定單位過(guò)剩成本和缺貨成本的條件下，競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)庫(kù)存的服務(wù)水平起著正面的關(guān)鍵作用，能夠提高訂購(gòu)量，即最優(yōu)訂購(gòu)策略關(guān)于綜合競(jìng)爭(zhēng)力為單調(diào)遞增函數(shù)。事實(shí)上，由轉(zhuǎn)移概率矩陣：

可得A、B和C產(chǎn)品的綜合競(jìng)爭(zhēng)力分別為p1=p11+p21+p31=1.08，p2=p12+p22+p32=0.89及p3=p13+p23+p33=1.03，故有p1>p3>p2，說(shuō)明了A產(chǎn)品比其他產(chǎn)品更具有競(jìng)爭(zhēng)力。因此，在單位過(guò)剩成本和缺貨成本給定以及各產(chǎn)品初始需求變量(X1k,X2k,X3k)為同分布的條件下，顧客對(duì)A產(chǎn)品的需求量比其它產(chǎn)品的大，所以相應(yīng)的訂購(gòu)量也增多。

2.3 競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)最優(yōu)期望利潤(rùn)的影響及比較分析

通過(guò)以上小節(jié)的算例分析易知是否把競(jìng)爭(zhēng)因子納入模型理論框架之中，對(duì)模型的最優(yōu)解具有較大的影響。那么在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境下，競(jìng)爭(zhēng)因子到底能夠給庫(kù)存管理者帶來(lái)怎樣的決策信息？若忽略其存在性會(huì)給庫(kù)存決策者帶來(lái)什么樣的損失？這是本文要解決的核心問(wèn)題之一。

為了分析馬氏競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)模型的最優(yōu)期望利潤(rùn)的影響，并解決上述提出的問(wèn)題，接下來(lái)在模型(3)的基礎(chǔ)上，另加引入單位進(jìn)貨價(jià)Cn(k+1)、銷售價(jià)Pn(k+1)及回收價(jià)Vn(k+1)等模型的參數(shù)。于是，可得產(chǎn)品n在下個(gè)周期的期望利潤(rùn)為

(12)

由此，易得產(chǎn)品n的最優(yōu)訂購(gòu)量為

(13)

故產(chǎn)品n的最優(yōu)期望利潤(rùn)為

(14)

2.3.1 真-模型下最優(yōu)期望利潤(rùn)的敏感性分析

表1 真-模型下競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)策略及期望利潤(rùn)的影響

在考慮模型帶有競(jìng)爭(zhēng)因子(真模型)的情形下，由表1的數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得出以下的重要管理決策信息：11在競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境下，無(wú)論顧客的回頭率(自轉(zhuǎn)率)及它的轉(zhuǎn)入率發(fā)生任何的隨機(jī)波動(dòng)，只要產(chǎn)品的綜合競(jìng)爭(zhēng)力保持不變，采取穩(wěn)健的訂購(gòu)策略，相應(yīng)的庫(kù)存系統(tǒng)銷售利潤(rùn)就具有良好的魯棒性(見(jiàn)A產(chǎn)品數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果)；22產(chǎn)品的最優(yōu)訂購(gòu)策略和期望利潤(rùn)關(guān)于綜合競(jìng)爭(zhēng)因子為單調(diào)遞增的函數(shù)(見(jiàn)B產(chǎn)品和C產(chǎn)品數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果)，決策者可將綜合競(jìng)爭(zhēng)因子作為訂購(gòu)策略的杠桿，構(gòu)建科學(xué)的決策機(jī)制以獲取優(yōu)化庫(kù)存系統(tǒng)的決策信息。

2.3.2 偽-模型的訂購(gòu)策略下最優(yōu)期望利潤(rùn)的敏感性分析

表2 偽-模型訂購(gòu)策略下競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)最優(yōu)期望利潤(rùn)的影響

顯然，由表2的數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可知，在偽-模型下的最優(yōu)訂購(gòu)策略，決策者在實(shí)際中獲得的利潤(rùn)隨著綜合競(jìng)爭(zhēng)力的變大而增大，但由于A產(chǎn)品的綜合競(jìng)爭(zhēng)力保持不變，故其銷售利潤(rùn)基本不受競(jìng)爭(zhēng)因子的波動(dòng)性的影響。然而，結(jié)合表1的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)M(真-最優(yōu)訂購(gòu)策略與偽-最優(yōu)訂購(gòu)策略的距離)逐漸增大時(shí)，其在實(shí)際中所獲取的利潤(rùn)也隨之變小，這說(shuō)明決策者在競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下，若按偽-模型的理論來(lái)制定訂購(gòu)策略，則當(dāng)M的取值增大時(shí)，其面臨的損失也進(jìn)一步增大。那么庫(kù)存管理者在偽-最優(yōu)訂購(gòu)策略下，其利潤(rùn)的損失與競(jìng)爭(zhēng)因子有著怎樣的關(guān)聯(lián)性?下邊的小節(jié)將以圖例的方式來(lái)刻畫(huà)這個(gè)問(wèn)題，揭示它們之間的內(nèi)在規(guī)律性。

2.3.3 基于偽-模型的訂購(gòu)決策造成的利潤(rùn)損失分析

圖4 競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下各產(chǎn)品的利潤(rùn)損失曲線

3 結(jié)語(yǔ)

報(bào)童模型是庫(kù)存系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論之一，是構(gòu)建科學(xué)決策機(jī)制的重要理論依據(jù)。本文主要根據(jù)產(chǎn)品間競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的基本屬性，并以馬氏鏈為理論的導(dǎo)向，利用需求轉(zhuǎn)移矩陣提出了競(jìng)爭(zhēng)因子和綜合競(jìng)爭(zhēng)力等概念，刻畫(huà)了產(chǎn)品間競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的本質(zhì)特征。在需求信息帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的環(huán)境下，結(jié)合概率論中的多重卷積公式和雅可比行列式，構(gòu)建了帶有馬氏競(jìng)爭(zhēng)因子的多產(chǎn)品報(bào)童模型，并給出了模型的最優(yōu)解。通過(guò)新模型的數(shù)值算例的結(jié)果，可以得出以下重要的管理啟示：

1.競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)需求的分布函數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有重要的影響，而分布函數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)則進(jìn)一步影響了庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購(gòu)策略。當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)因子的取值使得綜合競(jìng)爭(zhēng)力增大時(shí)，最優(yōu)訂購(gòu)量也隨著增大，否則反之。

2.競(jìng)爭(zhēng)因子與最優(yōu)訂購(gòu)量Q的圖形分布情況具有密切的關(guān)聯(lián)性，庫(kù)存管理者可以利用最優(yōu)訂購(gòu)策略內(nèi)在的運(yùn)動(dòng)特征來(lái)獲取商業(yè)談判的重要信息，從而制定雙方在利益博弈過(guò)程中的策略。當(dāng)曲線Q的曲率關(guān)于競(jìng)爭(zhēng)因子為單調(diào)遞增時(shí)，意味著談判雙方將進(jìn)入僵局；當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)因子的取值使得Q的曲率變小時(shí)，雙方談判過(guò)程的艱難程度則正好相反。

3.帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的報(bào)童模型具有重要的決策價(jià)值，可為構(gòu)建庫(kù)存系統(tǒng)的決策機(jī)制提供了重要的理論依據(jù)。本文正面回答了在需求信息帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的環(huán)境下，若忽略競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)庫(kù)存系統(tǒng)的影響會(huì)給庫(kù)存決策者帶來(lái)什么樣的損失以及在什么情況下這種損失會(huì)比較大等核心問(wèn)題。

基于傳統(tǒng)報(bào)童模型所得出的最優(yōu)訂購(gòu)策略只跟進(jìn)價(jià)、銷售價(jià)、商品的殘值和缺貨成本等非隨機(jī)因素有關(guān)，從忽略了競(jìng)爭(zhēng)因子對(duì)最優(yōu)解的影響。因此，在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境下，較于經(jīng)典的報(bào)童模型，帶有競(jìng)爭(zhēng)因子的多產(chǎn)品報(bào)童模型的最優(yōu)解更具有一定的優(yōu)越性和客觀實(shí)際意義，同時(shí)也克服了經(jīng)典模型中的不足之處，進(jìn)一步豐富了運(yùn)籌學(xué)研究領(lǐng)域的決策理論。作為本模型的后續(xù)拓展性研究工作，可以從如下幾方面展開(kāi)：其一、沿經(jīng)典主題方向拓展。在庫(kù)存系統(tǒng)的優(yōu)化與控制研究中，許多決策理念成為經(jīng)典的研究主題，如價(jià)格策略、缺貨、延期供貨、提前期、資金和預(yù)算約束等等因素，因此可以引入這些決策理念作為后續(xù)的研究工作。其二、突出時(shí)代需求方向拓展，如競(jìng)爭(zhēng)和合作、協(xié)調(diào)契約、綠色供應(yīng)鏈等。其三、沿決策維度的多元化方向拓展。隨著決策環(huán)境的進(jìn)一步復(fù)雜化，將多元化決策理念納入模型的框架，已成為當(dāng)今研究庫(kù)存決策問(wèn)題的主流思想之一。因此，可以將多因素、多約束、多層多級(jí)等多元決策理念作為模型的拓展性研究的方向。