水面小尺度漂浮平臺動力學響應分析

謝克峰，查冰婷，張 合，桂福坤，李豪杰

（1.湖北航天技術研究院設計所總體設計所，武漢430043；2.南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室，南京210094；3.浙江海洋大學 海洋科學與技術學院，浙江 舟山316000）

0 引言

水面小尺度平臺是指漂浮在水面上的具有一定承載能力的小尺寸平臺，能夠實時動態地獲取平臺系統的運動信息，并根據這些信息動態地調整基座的狀態[1]。水面小尺度漂浮平臺[2]依靠系統浮力漂浮在水面上，屬于多浮體系統范疇，通過穩定機構為負載系統提供穩定基座，抑制海浪引起的平臺擺動，具有體積小、易投放的特點。為了實現小尺度漂浮平臺的高精度、快速性，需對由小尺度平臺形成的多浮體系統的水動力響應進行研究。

多浮體系統問題最早由Ohkusu 提出，主要針對求解波浪與多個直立圓柱的相互作用；鄭艷娜、桂福坤等[3-4]對圓形重力式網箱浮架結構在波浪作用下的運動響應進行了研究，建立了浮架結構的數值仿真模型，分析了水動力系數的影響因素及在波浪下的運動響應。王冬嬌[5]對浮式直立圓柱體輻射問題進行研究，采用特征函數展開等方法，分析了截斷項數對計算結果的影響；李彬彬等[6]建立了時域內多立柱平臺的數值預報模型，并通過模型試驗考察了薄板對平臺水動力性能的影響；王桂波、Fang、Kashiwagi 等[7-9]也對多浮體的運動響應特性進行了一定的研究；金振逸、李珂翔等[10-11]對海上浮動平臺的受力和運動情況進行研究，分析了多體浮動平臺的水動力相互作用規律。以上工作對多浮體系統研究作出了重要的貢獻，然而在尺度和連接關系上，針對彈性連接件和小尺度多浮體平臺尚需進一步研究。

本文基于修正的莫里森公式推導了彈性連接的主平臺和浮囊的受力模型，建立了水面小尺度漂浮平臺的動力學方程，通過實驗對模型進行了驗證，同時分析了連接件剛度和浮囊直徑對主平臺幅值運動響應的影響。

1 水面小尺度漂浮平臺

水面小尺度漂浮平臺采用立柱式方案。平臺由浮囊系統（充氣浮囊，彈性連接件）、主體系統（系統電源、航行電機、配重等）、穩定機構（驅動電機、支桿機構、減速器）、負載系統（探測系統，制導系統）、位姿測量系統和姿態控制與處理單元組成。平臺組成示意圖如圖1所示。

小尺度漂浮平臺的運動屬于多浮體運動。小尺度平臺被釋放后展開浮囊系統，主平臺利用浮囊系統的浮力漂浮在水面上。在海浪的作用下，主體系統和浮囊將產生一定的搖蕩和垂蕩運動。由于主體系統和浮囊之間為柔性連接件連接，因此兩者在運動過程中會存在耦合作用，浮囊通過柔性連接件對主體系統產生一定的回復力矩，完成初級減搖穩定。主體系統通過姿態測量系統反饋傾斜角度，通過穩定機構進行調平，因此主體系統在浮囊和海浪作用下的運動響應是系統調平穩定的重要輸入，運動響應特性影響了系統的調平穩定性能。

圖1 水面小尺度漂浮平臺結構示意圖Fig.1 Structure diagram of offshore small floating platform

2 小尺度平臺受力特性分析

小尺度平臺受力主要包括重力、浮力、彈性力和波浪力。除重力為常量外，其余作用力均會隨著時間的變化而變化。針對小尺度平臺的運動特性，進行如下假設：

（1）忽略浮囊的柔性，假設為剛性體；

（2）忽略小尺度平臺對流場的影響；

（3）假設波浪正向傳播，小尺度平臺對稱布置在水域中。

基于上述假設，線性波浪條件下，小尺度平臺為軸對稱結構，主要包括三個自由度的運動，分別是縱移、升沉、縱傾。為便于分析，將小尺度平臺的運動簡化為平面的二維問題。作用在小尺度平臺上的波浪力較為復雜，為了降低計算難度，進行適當的模型簡化。

2.1 坐標系的建立

在研究水面小尺度漂浮平臺的波浪運動響應時，將主體系統、穩定機構和負載平臺簡化為一個圓柱體主平臺，如圖2所示。建立固定坐標系O-XYZ，X 軸方向為波浪方向，Z 軸方向垂直向上，Y 軸由右手坐標系確定。分別建立與浮囊和平臺固連坐標系Of-XYZ 和Op-XYZ,其中Of-XYZ 坐標系的原點Of位于浮囊中心，Op-XYZ 坐標系的原點Op位于主平臺的重心。

小尺度平臺受力主要分為主平臺和浮囊兩個構件來考慮。主平臺受到浮力Ff1、重力Gp、彈性力F11和F12、分布式波浪力Fb1的作用；浮囊受到浮力Ff2、重力Gf、彈性力F11′和F12′、波浪力Fb2的作用。主平臺和浮囊分別有3 個方向的自由度，即縱移x、升沉z 和縱傾θ。

圖3 主平臺微元波浪力作用示意圖Fig.3 Wave force diagram of the host platform unit

2.2 主平臺波浪力分析

小尺度平臺在波浪的作用下會隨波浪一起運動，主平臺與波浪水質點的運動方向會產生一定的夾角，因此波浪作用在主平臺上的水阻力和升力隨時間在不斷變化。對于傾斜圓柱體上的波浪力的計算，采用修正的莫里森公式。小尺度桿件的波浪力分析中，沖角被定義為浪向和桿件軸線的最小夾角，其范圍為[0，pi/2]。結合本系統特點，將沖角定義為浪向的法向和主平臺軸線的夾角。如圖3所示，圖中x 正方向為波浪傳播方向，z 軸正方向垂直波浪傳播方向向上，主平臺軸線和z 軸夾角為系統的搖擺姿態角，將此角定義為上述沖角，同時定義由z 軸順時針轉動到主平臺軸線為正，反之，則為負。

在分析主平臺的波浪力時，將主平臺離散為多個微元，分別計算每個微元上的波浪力，然后沿主平臺軸線進行積分，可以得到主平臺的波浪力。圖3 是微元段在波浪作用下的受力示意圖。微元直徑為d，姿態角為θ。將波浪水質點的速度u 分解為ux和uz，加速度分解為ax和az。法向速度un和切向速度ut可以表示為：

式中：Ux和Uz分別表示微元的運動速度沿固定坐標系的分量。

單位長度微元的水阻力和升力可以表示為：

式中：An為垂直于波浪速度方向的微元的投影面積；CD1為法向水阻力系數，對于小尺寸光滑圓桿其變化幅度不大，其變化范圍大約為（1.0～1.38）；CD2為切向力系數，其中CD2=Cf·CD1，對于小尺寸光滑圓桿，Cf=0.02。

由坐標轉換關系，可得固定坐標系內的阻力fDx和fDz為：

主平臺的長度為l0，水阻力力矩為z（t），則整個主平臺的阻力矩為

同理，將加速度進行分解，根據Brebbia 關于慣性力的計算公式有：

式中：V0為微元入水體積；fMx、 fMz為x 和z 方向的慣性力分量；Ax、Az為x 和z 方向的微元的加速度分量；Cm為附加質量系數，文中由于主平臺直立于水中，慣性力系數較大，取Cm為常數1.0。

主平臺受到的慣性力矩為

則主平臺在固定坐標系內受到的合力為Fx、Fz。

則主平臺受到的完整波浪力矩為

2.3 彈性力分析

主平臺通過四根彈性連接件連接到浮囊上，連接件尺寸較小，且重量輕，忽略連接件的重力、浮力、波浪力，只考慮彈性力的作用。連接件在初始狀態時有一定的預拉力，作用在連接件的拉力大小與連接件的伸長量有關。連接件的伸長量可以根據連接點的坐標來計算，連接點分別位于浮囊和主平臺上，通過小尺度漂浮平臺的運動方程得到。

彈性作用力如圖4所示。Ak1、Ak2、Ak3、Ak4分別是連接件的連接點，則彈性力可以表示為：

式中：K1為連接件的剛度，x0為連接件初始長度，彈性力與主平臺軸線的夾角分別為θ1、θ2。

則作用在主平臺坐標系中的彈性力為

作用在系統固定坐標系的彈性力為

作用在主平臺的力矩為

式中：xk為連接件連接點距主平臺底部的距離。

以上分析為作用在主平臺上的彈性力，作用在浮囊上的彈性力與作用在主平臺的彈性力互為作用力與反作用力。

圖4 連接件作用力示意圖Fig.4 Force diagram of connection

圖5 浮囊微元受力示意圖Fig.5 Force diagram of the floating air bag unit

2.4 浮囊受力分析

小尺度平臺簡化到二維平面內，但是浮囊的受力分析仍需要在空間內進行，圖5 是波浪作用下的浮囊狀態示意圖，取浮囊周長方向的微元段，定義系統坐標系xyz，x 軸方向為波浪傳播方向，z 軸垂直向上；定義nτυ 為微元局部坐標系，n 為沿微元徑向法線方向，τ 為沿微元徑向的切線方向。其載荷主要包括波浪力、浮力和彈性力，彈性力已在前文描述。

將波浪水質點的速度和加速度沿固定坐標系x 軸和z 軸分解，假設水平速度分量ux在微元局部坐標系中的方向為｛θn，θτ，θυ｝，垂直速度分量uz的方向為｛φn，φτ，φυ｝。波浪水質點的速度在微元局部坐標系的方向由浮囊的傾角α 和微元的方向角β 決定。浮囊呈軸對稱，y 方向受到的波浪力分量相互抵消。分別求得水平速度和垂直速度在局部坐標系的分量｛uxn，uxτ，uxv｝和｛uzn，uzτ，uzv｝。

由上式可以得到局部坐標系的速度分量｛un，uτ，uv｝為

則作用在浮囊微元上的波浪力可以通過Morison 公式計算。波浪條件下，修正的Morison 方程為

則作用在微段上的波浪阻力為：

式中：Ci（i= n，τ，v）為i 方向的阻力系數，Ai（i= n，τ，v）為i 方向的對應的有效投影面積。

將浮囊坐標系中的微元波浪力轉換到固定坐標系中，于是有：

作用在微元上的慣性力由莫森公式知：

式中：fflx和fflz為固定坐標系x 和z 方向的慣性力分量；ax和az為波浪水質點的加速度分量；U˙x和U˙z為浮囊微元對應點的加速度分量；Cmx和Cmz為x 和z 方向的附加質量系數，si為入水橫截面積。

作用于微元上的浮力為

將微段波浪力和浮力進行積分，即可得到整個浮囊受到的波浪力矩和浮力矩。

3 水面小尺度漂浮平臺的動力學方程

以上分析分別求得了作用在主平臺和浮囊上的力和力矩。應用牛頓第二定律，小尺度平臺包括主平臺和浮囊兩部分，兩部分之間有彈性連接件連接，在波浪的作用下，兩部分的運動情況不相同，分別定義廣義自由度，可得到小尺度平臺在時域的運動方程：

式中：Mkj為6×6 階的廣義質量，Fk（t）為波浪場外力合力，ξ¨（t）為小尺度平臺的廣義加速度。k=（1，2，3）表示主平臺的橫蕩、垂蕩和縱搖，k=（4，5，6）表示浮囊的橫蕩、垂蕩和縱搖。

上述方程解析解較難求出，采用四階龍格庫塔方法求解二階動力學微分方程（22）即可得到小尺度平臺的動態響應。

4 數值分析與試驗

水面小尺度漂浮平臺在波浪下的運動響應受多個因素共同影響，本文主要對關心的連接件剛度和浮囊半徑進行了分析。平臺分析過程中采用線性波浪理論，波高1 m，波浪頻率0.785 rad/s。小尺度平臺的主要參數為：主平臺直徑0.5 m，主平臺高度7 m，平臺總質量1 400 kg，吃水深度5.5 m，浮囊初始直徑1.5 m。

4.1 模型驗證

為了驗證上述時域運動方程的正確性，在浙江海洋大學的拖曳水池進行了縮比模型試驗，試驗水池長度130 m，寬度6 m，深度4 m，縮比模型幾何相似比尺取為1：4，按照JTJ/T234-2001《波浪模型試驗規程》進行其余設置。模型布置如圖6所示，在距離造波機25 m 處，漂浮系統對稱布置在水池中間。試驗如圖7所示，姿態傳感器安裝在浮囊和負載系統上，數據傳輸線通過移動導軌與數據采集系統連接，移動導軌可以沿底座滑動，波浪方向沿導軌底座方向，浪高儀由于空間限制布置在漂浮平臺的右后方。

圖6 模型平面布置示意圖Fig.6 Sketch of the model configuration

圖7 模型試驗圖Fig.7 Model experiment

分別對不同波高下的平臺幅值響應進行數值仿真和試驗，每組試驗重復3 次，結果如圖8所示。圖8（a）給出了波高1.04 m、周期4 s 對應模型波高26 cm、周期2 s 的運動響應對比圖，圖8（b）給出了四組不同波高條件下幅值響應的對比圖。

圖8 不同波高下平臺運動響應的仿真和試驗對比圖Fig.8 The comparison of motion response between the simulation and the experiment under different wave height

從圖中可以看出，仿真結果與試驗結果在整體上吻合較好，其中在波高為26 cm 時，負載的實際角度與仿真基本一致，而浮囊的響應曲線與仿真有一定的差別。這主要是因為在試驗時，浮囊和主平臺之間的四邊彈性連接設置存在一定誤差，同時主平臺響應角度大于浮囊，對浮囊有一定的拉力作用，使浮囊響應偏向一邊，而在其余情況下能夠較好吻合，不同波高下，試驗和仿真結果都基本吻合。這在一定程度上驗證了所建立的數值模型的正確性。

4.2 連接件剛度對小尺度平臺運動響應的影響

連接件分別沿x 軸和y 軸對稱布置在浮囊和主平臺之間，預拉伸長度為10 mm，剛度取值從5×104N/m 到500×104N/m，其中取值在拐點處較為密集，其余地方稀疏。41 次仿真結果如圖9 和圖10所示。圖11 為連接件剛度為40×104N/m 時，浮囊和主平臺的幅值響應曲線。

圖9 幅值隨剛度變化的響應曲線Fig.9 The response curve of amplitude along with stiffness

圖10 頻率隨剛度變化的響應曲線Fig.10 The response curve of frequency along with stiffness

圖9 為主平臺幅值隨連接件剛度變化圖，從圖中可以看出，連接件剛度對主平臺幅值響應影響較大，主平臺幅值響應隨連接件剛度呈“W”變化，幅值響應最小值點分別在40×104N/m 和95×104N/m 處取得。其中連接件剛度在小于20×104N/m 時，主平臺的響應幅值大于60°，最高達到了90°，此時主平臺運動狀態劇烈，響應幅值過大，數值結果已經不能代表真實結果，僅能顯示此刻主平臺的狀態。

圖11 最優剛度時幅值響應曲線Fig.11 The response curve of amplitude at best stiffness

主平臺幅值隨剛度的變化曲線主要是因為剛度太小，彈性連接件振動頻率增加，在外力的作用下容易改變變形量，同時浮囊作用在主平臺的回復力較弱，平臺的運動響應較大；隨著剛度的增加，彈性力對主平臺運動的作用逐漸變大，具體表現為回復力，主平臺的運動響應逐漸變小，兩者的運動響應也逐漸趨于一致；剛度繼續增大，彈性連接件的變形量很小，兩者之間趨于固定連接，彈性力主要提供豎直向上的浮力，兩者的響應頻率相同，負載系統的固有頻率增加，在波浪下的幅值響應有一定程度的增加。其中“W”曲線的中間凸起部分的響應頻率與平臺的共振頻率接近，因為共振引起平臺響應的急劇變化。

剛度在40×104N/m 和95×104N/m 時，均能取得最優幅值響應，但是從圖10 可以看出隨剛度增加，主平臺的響應頻率有一定的升高，高頻率表示平臺運動過程中抖動的增加，對平臺內工作器件和高精度控制提出更高的要求，同時在30×104N/m 和65×104N/m 之間，主平臺均表現穩定的幅值響應，穩定性較好，因此文中選擇平臺的最優剛度值為40×104N/m。40×104N/m 剛度的小尺度平臺幅值響應曲線如圖11所示，此時的連接件剛度適中，主平臺的響應幅值大于浮囊的響應幅值，浮囊有一定程度的抖振，浮囊的回復力在主平臺響應的最大幅值處表現最為明顯。由于連接件作用力，主平臺的幅值曲線在頂點處出現一定程度的凹下，而浮囊的幅值在此刻有明顯的凸起，與實際情況一致。

4.3 浮囊直徑對小尺度平臺運動響應的影響

浮囊通過連接件與主平臺連接到一起，不同浮囊直徑，連接件的初始長度不同，保持連接件的預拉伸長度10 mm 不變，浮囊直徑取值從1 m 到7 m，20 次仿真結果如圖12所示。圖13 為浮囊直徑為2.5 m 時，浮囊和主平臺的幅值響應曲線。

圖12 幅值隨直徑變化的響應曲線Fig.12 The response curve of amplitude along with diameter

圖13 最優直徑時幅值響應曲線Fig.13 The response curve of amplitude at best diameter

圖12所示為主平臺的幅值響應隨浮囊直徑的變化曲線。從圖中可以看出，主平臺的響應幅值隨浮囊直徑的增大表現出變大的趨勢，但是變化范圍最大為51%，從最初的4.97°變化為7.52°，變化幅度較小，特別是浮囊直徑從1 m 變化到3.5 m 的過程中，主平臺的響應幅值最大變化范圍為3.8%。因此，浮囊直徑對主平臺的響應幅值影響較小。

在浮囊直徑變化過程中需要保持整體浮力不變，因此浮囊直徑越大，浮囊越細，則連接件的初始長度越長；小尺度平臺為折疊式彈開機構，在初始階段浮囊收縮在小尺度平臺內部，后經外部信號觸發，打開浮囊系統，彈性連接件初始長度越長，對內部空間的要求越嚴格，同時，打開過程需要的時間也越長，因此，彈性連接件的長度不宜過長。彈性連接件過短對加工精度和安裝要求越高，根據主平臺長度為7 m，直徑為0.5 m，文中選擇合適的浮囊直徑為2.5 m。圖13 為浮囊直徑2.5 m 時小尺度平臺的運動響應曲線，從圖中可以看出，主平臺的最大響應幅值為5°，連接件作用力對主平臺運動響應的影響較弱，沒有明顯地改變主平臺的幅值響應，但是連接件作用力明顯地改變了浮囊的幅值響應，在浮囊響應的最值處，受連接件作用力的影響，幅值響應出現明顯的凸起。

5 結論

本文針對水面小尺度漂浮平臺的特點，對小尺度平臺模型進行了適當簡化，簡化為浮囊、彈性連接件和主平臺三部分，基于修正的莫里森公式采用微元法分別推導了主平臺和浮囊的受力模型，建立了水面小尺度漂浮平臺的二階動力學方程；采用四階龍格庫塔法進行數值仿真，分別對連接件剛度和浮囊直徑進行了分析。仿真和試驗結果表明，所建立的數值模型能夠正確計算平臺的運動響應；主平臺的運動響應受連接件剛度影響較大，主平臺隨連接件剛度呈“W”變化，結合頻率變化曲線，最優的連接件剛度為40×104N/m；而主平臺的幅值響應受浮囊直徑影響小，隨浮囊直徑呈微弱的增大趨勢，結合結構設計特點，最優的浮囊直徑為2.5 m。本文結果可為進一步研究水面小尺度漂浮平臺的參數設計提供基礎。