例談旋轉法在幾何中的應用

湖北省武漢市第二初級中學 寇 峰

【旋轉法的概念】在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫作圖形的旋轉。

【旋轉法的性質】對應線段、對應角的大小不變，對應線段的夾角等于旋轉角。特別是要注意旋轉過程中三角形與整個圖形的特殊位置。

【旋轉法的要點】旋轉時要注意旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度的大小，即三要素：中心，方向，大小。

【旋轉法的應用】揭示幾何圖形的性質或幾何量之間的內在聯系，把分散的元素通過旋轉集中起來，從而為證題創造必要的條件。旋轉方法常用于等腰直角三角形、等邊三角形及正方形等圖形中(這三種圖形在旋轉過程中分別旋轉90°、60°和90°)，多與三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質與判定等相結合。

一、正三角形

思想：在正三角形ABC 中，P 為△ABC 內一點，將△ACP 繞A點按逆時針方向旋轉60°，使得AC 與AB 重合。經過這樣旋轉變化，將圖1 中的PA、PB、PC 三條線段集中于圖2 中的一個△P'BP 中，此時△P'AP 也為正三角形。

圖1

圖2

例1 如圖1：設P 是等邊三角形ABC 內的一點，PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB 的度數是________。

簡解：將△ACP 繞A 點按逆時針方向旋轉60°，使得AC 與AB重合。經過這樣旋轉變化，將圖1 中的PA、PB、PC 三條線段集中于圖2 中的一個△P'CP 中，此時△P'AP 也為正三角形。所以有∠APP'=60°，而∠P'PB=90°，從而有∠APB=60°+90°=150°。

二、正方形

思想：在正方形ABCD 中，P 為正方形ABCD 內一點，將△PAB繞A 點按逆時針方向旋轉90°，使得AB 與AD 重合。經過旋轉變化，將圖3 中的PA、PB、PC 三條線段關系集中于圖4 中的△DEP 中，此時△AEP 為等腰直角三角形。

例2 如圖3：P 是正方形ABCD 內一點，點P 到正方形的三個頂點A、B、C 的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 的面積。

圖3

圖4

簡解：將△ABP 繞A 點按逆時針方向旋轉90°，使得AB 與AD重合。經過旋轉變化，得△APE 為等腰直角三角形；又將△CBP 繞C 點按順時針方向旋轉90°，使得CD 與CB 重合。經過旋轉變化，得△CPF 為等腰直角三角形(如圖4）。

由勾股定理的逆定理得，三角形EPF 為直角三角形，且∠FEP=90°。

三、等腰直角三角形

思想：在等腰直角三角形△ABC 中，∠ACB=90°，若P 為△ABC內一點（如圖5），將△APC 繞C 點按逆時針方向旋轉90°，使得AC 與BC 重合。經過這樣旋轉變化，在圖6 中的一個△P'CP 為等腰直角三角形。

例3 如圖5，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=AC，P 為△ABC內一點，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠ BPC 的度數。

圖5

圖6

簡解：將△APC 繞C 點按逆時針方向旋轉90°，使得AC 與BC 重合。經過這樣旋轉變化，得△P'CP 為等腰直角三角形，于是有，且°，所以∠BPC=90°+45°=135°。

四、求組合三角形面積類型

例4 （2011 全國初中數學競賽題）如圖7，正方形ABCD 的邊長為1，點P、Q 分別是其內兩點，且∠PAQ=∠PCQ=45°，求S△ABP+S△PCQ+S△QAD的值。

圖7

解：將△ADQ 繞點A 按順時針旋轉90°到△ABE 的位置，將△CDQ 繞點C 按逆時針旋轉90°到△BCF 的位置，連接EQ、FQ。

∴AE=AQ，CF=CQ，∠FBC=∠CDQ，∠ABE=∠ADQ。

∵四邊形ABCD 是正方形，

∴∠FBC+∠ABE=∠CDQ+∠ADQ=90°，

∵∠ABC=90°，∴∠FBC+∠ABE+∠ABC=180°，∴B，E，F 三點共線，∴BE=DQ=BF。

又連接EP，FP，∴S△PBF=S△PBE。

∵∠PAQ=∠PCQ=45°，∠1=∠3，∠4=∠6，

∴∠2+∠3=∠5+∠6=45°，

可證：△CFP ≌△CPQ，△AEP ≌△APQ，

∴S△AEP=S△APQ，S△CFP=S△CPQ，

S正方形ABCD=S五邊形AEFCQ，

因 為S△ABP+S△PCQ+S△QAD=×2(S△AEP+S△EBP+ S△CFP)=×2×=，所以S△ABP+S△PCQ+S△QAD=。