函數y=A sin(ωx+φ)+b 的確立及性質研究

山東省濱州市濱城區第二中學 王建波 劉金月

函數y=A sin(ωx+φ)+b 的圖像，可由函數y=sin x 的圖像通過平移、伸縮得到，把握這一變換過程，可正確理解參數A、ω、φ、b 對圖像形狀的影響。準確把握用“五點法”作函數y=sin x 圖像的關鍵點與函數y=A sin(ωx+φ)圖像上相關點之間的對應關系，可快速與準確地確定解析式中的相關參數，以便進一步研究該函數的性質。

一、ω（ω＞0）的確定

【例1】已知函數f（x）=A cos(ωx+φ)的圖像如圖所示，且有，則f（0）=（ ）

分析：借助于該函數圖像可確定它的周期，進而求得ω 的值。再根據，，結合誘導公式和兩角和差公式便可求得f（0）的值。也可借助于相關點的對應關系進行求解。

二、φ 的確定

若已知φ 的范圍，用代點法求φ 的值時，可代入最值點或零點；若不知道φ 的范圍，通常代入曲線上的最值點，若代入零點，需分清它是遞增區間，還是遞減區間的中心點，否則還需要分類討論。φ 的作用僅僅是改變了圖像的位置。

【例2】已知函數y=sin(ωx+φ)（ω＞0，-π ≤φ＜π）的圖像如圖所示，則φ=______。（答案：）

分析：由圖像易得函數的周期，當ω 確定后，可通過代入最值點確定φ 的值，也可結合它與函數y=sin x圖像上五個關鍵點的對應關系確定φ 的值。

三、A 的確立

A 是振幅，它表示做簡諧振動的物體離開平衡位置的最大距離，因此可借助它的幾何意義來確定A 的值。若已知圖像與y 軸交點的縱坐標和初相φ 的值，也可通過列方程求A 的值。不再贅述。

四、b 的確立

函數y=A sin(ωx+φ)圖像的平衡位置是x 軸。在函數y=A sin(ωx+φ)+b 中，b 改變了圖像的平衡位置，若已知函數的最大值為m，最小值為n，則。

分析：當a ≠0 時，y=1，三角函數的平衡位置，參數a 不僅決定函數的最值，還影響函數的周期，故可以此為切入點進行研究。

解析：圖像A 中，函數的最大值小于2，故0＜a＜1，此時其周期應大于2π，所以A 可作為該函數的圖像；圖像C 中的a=0，此時f（x）=1，所以C 可作為該函數的圖像；圖像B 和D 中函數的最大值均大于2，故a＞1，此時其周期應小于2π，所以B 可作為該函數的圖像，D 不能作為該函數的圖像。

綜上可知，函數y=A sin(ωx+φ)+b 的圖像是由y=sin x 的圖像經過平移與伸縮變換而得到的，它體現了由簡單到復雜、特殊到一般的化歸思想的應用。明確函數y=A sin(ωx+φ)+b 的各個參數的幾何意義，即在函數圖像上的反映，是數形結合思想的重要應用。求參數的值，列含有該參數的方程，是函數與方程思想的重要應用，總之，明確由y=sin x 到y=A sin(ωx+φ)+b 的變換過程是解答此類問題的關鍵。