多類重力場(chǎng)模型的精度分析

郭春喜，張盼盼,馬艷鴿

(1.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西 西安 710064;2.國(guó)家測(cè)繪地理信息局大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理中心，陜西 西安 710054)

高分辨率、高精度的地球重力場(chǎng)模型在物理大地測(cè)量中發(fā)揮著重要的作用[1-2]。隨著衛(wèi)星重力計(jì)劃的實(shí)施，使得重力場(chǎng)模型的精度和分辨率得到改善，CHAMP、GRACE、GOCE等重力衛(wèi)星使得全球重力場(chǎng)模型的中低階的精度提高兩個(gè)量級(jí)或者更高[3-4]。章傳銀等[5]利用大陸的GPS水準(zhǔn)實(shí)測(cè)高程和空間異常數(shù)據(jù)，對(duì)EGM2008重力場(chǎng)模型進(jìn)行外部檢核。Gilardoni[6]等利用GOCE重力衛(wèi)星數(shù)據(jù)和EGM2008構(gòu)建GECO超高階重力場(chǎng)模型。GKostelecky等[7]利用GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)對(duì)EIGEN-6C4重力場(chǎng)模型進(jìn)行外符合精度的檢核。鄭增記等[8]從重力場(chǎng)模型的大地水準(zhǔn)面起伏誤差階方差及位系數(shù)差階方差兩個(gè)方面對(duì)GOCE衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)建立的重力場(chǎng)模型進(jìn)行分析，得出相較于GRACE衛(wèi)星，GOCE衛(wèi)星所獲得的重力場(chǎng)信息更加精確、更加豐富的結(jié)論。趙德軍等[9]從大地水準(zhǔn)面累計(jì)誤差、幾何水準(zhǔn)面與重力水準(zhǔn)面之差和不同重力場(chǎng)模型之間進(jìn)行譜組合3個(gè)方面評(píng)估GOCE重力場(chǎng)模型的精度，得出GOCE數(shù)據(jù)能夠提高重力場(chǎng)中頻、甚至高頻信號(hào)的結(jié)論。但是以上文獻(xiàn)對(duì)EGM2008、GECO和EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型進(jìn)行整體精度評(píng)估的研究較少，另外對(duì)于不同重力場(chǎng)模型之間進(jìn)行組合有待進(jìn)一步研究。本文首先在重力場(chǎng)模型的內(nèi)部檢核及外部檢核兩個(gè)方面重點(diǎn)探討EGM2008、GECO、EIGEN-6C4、GOCO03S、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5和GO_CONS_GCF_2_TIM_R5的精度趨勢(shì)，并分析不同模型之間的差異。其次，對(duì)GOCO03S、GO_CONS_GCF_2_DIR_R5和GO_CONS_GCF_2_TIM_R5重力場(chǎng)模型選取合適的截?cái)嚯A次，進(jìn)一步聯(lián)合EGM2008、GECO或EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型進(jìn)行不同階次的組合獲得組合重力場(chǎng)模型，可望提高重力場(chǎng)模型的精度。

1 原理與方法

1.1 高程異常計(jì)算

根據(jù)重力場(chǎng)模型,計(jì)算GNSS控制點(diǎn)P的模型高程異常[3,10]：

(1)

1.2 重力場(chǎng)模型的內(nèi)符合精度檢核

重力場(chǎng)模型的內(nèi)符合精度檢核通常有兩種方法，一種是比較重力場(chǎng)模型的階方差，另一種是比較不同重力場(chǎng)模型之間位系數(shù)差的階方差，兩者都可以用大地水準(zhǔn)面高的形式表示[10-11]：

(2)

(3)

(4)

(5)

其中：n=n′。

1.3 重力場(chǎng)模型的外符合精度檢核

利用GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行重力場(chǎng)模型的外符合精度檢核，由式(1)可計(jì)算GNSS控制點(diǎn)P的模型高程異常ξp，由GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)確定高程異常的方法為

ζGNSS/水準(zhǔn)=H-h.

(6)

式中：H為大地高，h為水準(zhǔn)實(shí)測(cè)的正常高。因此可以得出殘差高程異常為

Δζ=ζGNSS/水準(zhǔn)-ζp.

(7)

則利用下式進(jìn)行重力場(chǎng)模型的外符合精度評(píng)定

(8)

式中：n為觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。

1.4 組合重力場(chǎng)模型的確定

組合重力場(chǎng)模型是對(duì)低階重力場(chǎng)模型截取可靠的階次，對(duì)超高階重力場(chǎng)模型利用低階重力場(chǎng)模型進(jìn)行不同階次的組合，得到各自對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型。具體的步驟：

1)對(duì)低階重力場(chǎng)模型選擇截?cái)嚯A數(shù)k(k=10，20，30，…，N；N為低階重力場(chǎng)模型的最大階數(shù))，組成新的重力場(chǎng)模型，新模型的0～K階由低階重力場(chǎng)模型獲取，K到2 190階由超高階重力場(chǎng)模型相應(yīng)的階補(bǔ)充得到。

2)利用新的重力場(chǎng)模型計(jì)算GNSS點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模型高程異常，由式(7)計(jì)算殘差高程異常，然后由式(8)計(jì)算模型的精度。

3)選擇精度最高的模型為最終的組合重力場(chǎng)模型，其對(duì)應(yīng)的階數(shù)k為最佳的截?cái)嚯A數(shù)。

2 算例分析

2.1 重力場(chǎng)模型內(nèi)符合精度檢核

本文選擇EGM2008、GECO、EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型及GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場(chǎng)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，由式(2)計(jì)算6個(gè)重力場(chǎng)模型的大地水準(zhǔn)面階方差，結(jié)果見圖1。由圖1可以看出：EGM2008、GECO、EIGEN-6C4及DIR_R5四個(gè)重力場(chǎng)模型的階方差均保持在mm級(jí)，而GOCO03S模型在0～191階的階方差保持在mm級(jí)，191階之后的精度達(dá)到dm級(jí)，TIM_R5模型在0～228階的階方差保持在mm級(jí)，228階之后的精度達(dá)到dm級(jí)；EGM2008、GECO及EIGEN-6C4三個(gè)超高階模型的階方差最大分別出現(xiàn)在108、215和358階，在此之后階方差逐漸變小，而GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型的階方差最大分別出現(xiàn)在248、298和279階，此時(shí)已接近其最大階數(shù)；GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型中低階位系數(shù)與EGM2008模型相比，各模型階方差分別在168、229和194階之前都小于EGM2008模型的階方差，由于3個(gè)模型中都加入GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)。GOCO03S在109階之前的階方差略小于GECO模型的階方差，由于GOCO03S模型除利用GOCE衛(wèi)星信息，還加入GRACE、CHAMP衛(wèi)星信息和激光測(cè)距的信息。TIM_R5的階方差基本都大于GECO模型的階方差，由于GECO模型除了利用GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)的信息之外，還利用了GRACE衛(wèi)星的信息。DIR_R5模型的階方差在227階之前小于GECO模型的階方差，這是由于DIR_R5模型不僅利用了GOCE數(shù)據(jù)，還利用了25a的LAGEOS激光測(cè)衛(wèi)的數(shù)據(jù)以及8a的GRACE數(shù)據(jù)。GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型的階方差大體上都大于EIGEN-6C4模型的階方差，這是由于EIGEN-6C4模型的求解過程中加入25a的LAGECO激光測(cè)距數(shù)據(jù)、k波段變率數(shù)據(jù)、(92/12)a的SST數(shù)據(jù)以及350 d的GECO數(shù)據(jù)； DIR_R5和TIM_R5模型的階方差在150階之內(nèi)基本保持一致，150階之后， TIM_R5模型的階方差明顯小于TIM_R5模型的階方差，同樣這是由于DIR_R5模型不僅利用了GOCE數(shù)據(jù)，還利用了25a的LAGEOS激光測(cè)衛(wèi)的數(shù)據(jù)以及8a的GRACE數(shù)據(jù)。GOCO03S模型階方差在130階之后明顯大于DIR_R5和TIM_R5模型的階方差，這是由于GOCO03S模型僅利用短時(shí)間的GOCE衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)；EGM2008的階方差在235階之前大于GECO模型的階方差，因?yàn)镚ECO模型的求解過程中引入了GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)來改善高頻信息，在235階之后二者的階方差相同；EIGEN-6C4模型的階方差除在251～374階之外，階方差均小于EGM2008和GECO模型的階方差，同樣是由于EIGEN-6C4模型的求解過程中加入了25a的LAGECO激光測(cè)距數(shù)據(jù)、k波段變率數(shù)據(jù)、(92/12)a的SST數(shù)據(jù)以及350 d的GECO數(shù)據(jù)。

圖1 6種重力場(chǎng)模型大地水準(zhǔn)面高階方差統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)式(2)和圖1得到的重力場(chǎng)模型階方差信息，利用式(4)計(jì)算6個(gè)重力場(chǎng)模型的累計(jì)階方差如圖2所示。從圖2可以看出：6個(gè)重力場(chǎng)模型中，EIGEN-6C4模型的階方差最??； DIR_R5模型的累計(jì)階方差小于EGM2008、GOCO03S和TIM_R5模型的累計(jì)階方差。DIR_R5模型的累計(jì)階方差在257階之前小于GECO模型的累計(jì)階方差，在此之后大于GECO模型的累計(jì)階方差；GOCO03S和TIM_R5模型的累計(jì)階方差小于EGM2008模型累計(jì)階方差的階次分別為212和251，GOCO03S和TIM_R5模型的累計(jì)階方差都大于GECO和EIGEN-6C4模型的累計(jì)階方差；EGM2008、GECO和EIGEN-6C4模型的累計(jì)階方差大約分別在300、500和370階之后趨于穩(wěn)定，變化不是很明顯。

圖2 6種重力場(chǎng)模型大地水準(zhǔn)面高累計(jì)階方差統(tǒng)計(jì)圖

由于EIGEN-6C4模型的內(nèi)符合精度優(yōu)于其他5個(gè)模型，以該模型為基準(zhǔn)檢核其他5個(gè)的模型互差階方差，檢核GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場(chǎng)模型互差階方差時(shí)，EIGEN-6C4模型分別取各低階模型的最大階數(shù)進(jìn)行計(jì)算。利用式(2)和式(5)分別計(jì)算其余5個(gè)模型的互差階方差和互差累計(jì)階方差如圖3和圖4所示。

圖3 模型與EIGEN-6C4模型互差階方差

圖4 模型與EIGEN-6C4模型互差累計(jì)階方差

由圖3可以看出：對(duì)于EGM2008、GECO超高階重力場(chǎng)模型的互差階方差在高頻部分呈現(xiàn)出較大的差異，而在超高階部分兩種模型的互差階方差表現(xiàn)出很好的符合性；對(duì)GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場(chǎng)模型，150階之后，DIR_R5模型的互差階方差最小，TIM_R5模型的互差階方差次之，GOCO03S模型的互差階方差最大。

由圖4可以看出：EGM2008模型的位系數(shù)差累計(jì)階方差大約在250階之后趨于穩(wěn)定， GECO模型的位系數(shù)差累計(jì)階方差大約在350階之后趨于穩(wěn)定；GECO模型的位系數(shù)差累計(jì)階方差明顯小于EGM2008模型的累計(jì)階方差，由于GECO模型中加入GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)，其0～360階的精度得到改善。3種低階重力場(chǎng)模型的位系數(shù)差的累計(jì)階方差中，DIR_R5模型的位系數(shù)差的累計(jì)階方差最小。

2.2 重力場(chǎng)模型外符合精度檢核

本文選取長(zhǎng)江南京段控制網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行重力場(chǎng)模型的外符合精度檢核，總共有53個(gè)高精度的GNSS控制點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)位都有基于WGS-84坐標(biāo)系下的大地坐標(biāo)以及二等水準(zhǔn)高程數(shù)據(jù)。圖5為點(diǎn)位分布圖。

圖5 點(diǎn)位圖

對(duì)EGM2008、GECO、EIGEN-6C4、GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5重力場(chǎng)模型選取不同的階次，分別計(jì)算53個(gè)GNSS控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模型高程異常，并與GNSS/水準(zhǔn)實(shí)測(cè)的高程異常做比較，并且利用式(8)評(píng)價(jià)精度，結(jié)果見表1。從表1可以看出：在250、280及300階次，GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5重力場(chǎng)模型的外符合精度比EGM2008、GECO和EIGEN-6C4模型的外符合精度高，說明GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場(chǎng)模型具有精度較好的高頻信息；GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5三個(gè)低階模型，DIR_R5模型的外符合精度最高，TIM_R5的外符合精度次之，GOCO03S的外符合精度最低；EGM2008、GECO及EIGEN-6C4模型的外符合精度明顯高于GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型的外符合精度以及EGM2008、GECO及EIGEN-6C4模型在250、280及300階次的外符合精度。

2.3 重力場(chǎng)模型譜組合

本文對(duì)GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5低階重力場(chǎng)模型截取可靠的階次，對(duì)EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型利用純衛(wèi)星重力場(chǎng)模型進(jìn)行不同階次的組合，得到各自對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型(例如：GOCO03S/ EGM2008、GOCO03S/ GECO、GOCO03S/ EIGEN-6C4等，具體表示低階重力場(chǎng)模型與超高階重力場(chǎng)模型的組合重力場(chǎng)模型)。對(duì)EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階重力場(chǎng)模型對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型進(jìn)行精度分析，結(jié)果分別見圖6、圖7及圖8。

表1 重力場(chǎng)模型與GNSS/水準(zhǔn)的高程異常比較結(jié)果 m

圖6 EGM2008對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度趨勢(shì)

圖7 GECO對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度趨勢(shì)

圖8 EIGEN-6C4對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度趨勢(shì)

由圖6、圖7及圖7可以看出EGM2008、GECO及EIGEN-6C4模型對(duì)應(yīng)的組合模型在150階前的精度趨勢(shì)基本一致，在150階以后各組合模型的精度趨勢(shì)表現(xiàn)出明顯差異。選擇精度最高時(shí)對(duì)應(yīng)的階次為組合模型的可靠截取階次，由圖6可以看出組合模型GOCO03S/EGM2008、DIR_R5/EGM2008及TIM_R5/EGM2008的可靠截取階階次分別為90、260及220。由圖7可以看出組合模型GOCO03S/ GECO、DIR_R5/GECO及TIM_R5/GECO的可靠截取階次分別為90、260及230。由圖8可以看出組合重力場(chǎng)模型GOCO03S/EIGEN-6C4、DIR_R5/ EIGEN-6C4及TIM_R5/EIGEN-6C4的可靠截取階次分別為90、2600及260。

組合模型以及EGM2008、GECO及EIGEN-6C4超高階模型計(jì)算實(shí)測(cè)GNSS點(diǎn)位的高程異常值，并與GNSS/水準(zhǔn)實(shí)測(cè)的高程異常值比較，結(jié)果見表2。由表2可以看出，在本實(shí)驗(yàn)區(qū)域：EGM2008模型對(duì)應(yīng)的組合模型精度最優(yōu)為0.063 m，最差為0.072 m，而EGM2008模型的精度為0.074 m，因此高程異常的精度提升15%；組合模型的精度比EGM2008的精度高；GECO模型對(duì)應(yīng)的組合模型精度最優(yōu)為0.060 m，最差為0.074 m；而GECO的精度為0.078 m，因此高程異常的精度最高提升23%；組合模型的精度比GECO的精度都要高；EIGEN-6C4模型對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度最優(yōu)為0.064 m，最差為0.077 m；而EIGEN-6C4的精度為0.078 m。因此高程異常的精度最高提升18%；組合模型的精度比EIGEN-6C4的精度都要高；3種低階重力場(chǎng)模型對(duì)超高階模型的精度提升能力從大到小依次為DIR_R5、TIM_R5及GOCO03S。

表2 超高階模型及其對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型與實(shí)測(cè)高程異常比較結(jié)果 m

3 結(jié) 語

1)EGM2008、GECO、EIGEN-6C4及DIR_R5四個(gè)模型的階方差均保持在mm級(jí)，而GOCO03S模型在191階之后的精度達(dá)到dm級(jí)，TIM_R5模型在228階之后的精度達(dá)到dm級(jí)。6個(gè)重力場(chǎng)模型中，EIGEN-6C4模型的累計(jì)階方差最小。

2)GOCO03S、DIR_R5和TIM_R5模型中低階位系數(shù)與EGM2008模型相比，各模型階方差分別為168、229和194階之前都小于EGM2008模型的階方差，說明采用GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)可以提高重力場(chǎng)模型的高頻精度。

3)EGM2008、GECO模型的互差階方差在高頻部分呈現(xiàn)出較大的差異，而在超高階部分兩種模型的互差階方差符合性好；EGM2008模型的位系數(shù)差的累計(jì)階方差大約在250階之后趨于穩(wěn)定， GECO模型的位系數(shù)差的累計(jì)階方差大約在350階之后趨于穩(wěn)定；3個(gè)低階重力場(chǎng)模型的位系數(shù)差的累計(jì)階方差中，DIR_R5模型的位系數(shù)差的累計(jì)階方差最小。

4)利用GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)檢核組合重力場(chǎng)模型表明，組合重力場(chǎng)模型能提高重力場(chǎng)模型精度。EGM2008對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度比EGM2008精度至少提高3%，最優(yōu)提高15%。GECO對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度比GECO精度至少提高5%，最優(yōu)提高23%。EIGEN-6C4對(duì)應(yīng)的組合重力場(chǎng)模型精度比EIGEN-6C4精度至少提高2%，最優(yōu)提高18%。

5)3個(gè)低階重力場(chǎng)模型對(duì)超高階模型的精度提升能力從大到小依次為DIR_R5、TIM_R5及GOCO03S。