高考解析幾何化動態問題為“靜態問題”

李倩 趙臨龍

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）15-0137-01

解析幾何是高中數學的重要內容，也是高考的重要“熱”點。作為研究解析幾何的重要工具——幾何畫板，給出解決解析幾何問題的重要啟示：那就是抓住運動和變化過程中幾何對象的“基本圖形的性質”，即定義和性質。

因此，解決中學解析幾何動態問題的關鍵在于將動態問題轉化為靜態問題，本文以兩個高中數學解析幾何動態問題中所蘊含的“基本圖形的性質”——定義和性質為例，體現定義、性質在解決解析幾何動態問題中的重要性，以期引起學生和教師對幾何對象的定義與性質的重視，達到深刻理解和靈活運用。

1.高中解析幾何動態問題研究

1.1解析幾何動態問題之高考體現

解析幾何是高中數學的重要內容，動態問題以其知識點多、考查方式靈活，成為高考的重要“熱”點。高考中的解析幾何動態問題常表現為：（1）求曲線方程或動點的軌跡;（2）求參數范圍問題;（3）求值域和最值問題;（4）求直線和圓錐曲線關系問題。

1.2解析幾何動態問題的難點

解析幾何的核心思想是用代數的方法來研究幾何。最根本的做法是設法把平面圖形的幾何結構有系統的代數化和數量化。數形結合思想方法是貫穿于解析幾何全部知識的核心數學思想方法[1]。解決解析幾何動態問題的關鍵在于在“動”中找出所求的“靜”，將動態問題轉化為靜態問題。

1.3幾何畫板在解析幾何動態問題中的啟發

作為研究解析幾何的重要工具——幾何畫板，它以運動和變化過程中的“基本圖形的性質”（定義、性質）為基礎，并以軌跡和動畫的形式，形象的展示“動態幾何”的魅力和數學美的一面[2]，為學生進行探究性學習提供平臺，對發展學生的創新思維具有重要作用，在學生運用幾何畫板進行學習時，最常用的就是幾何對象的定義和性質，弄清某個對象的父對象和子對象，這一能力在分析解析幾何動態問題時顯的尤為重要。

2.例題分析

解決本題的關鍵是幾個轉化，一是，將三角形面積的取值范圍根據已知條件轉化為求圓上的動點到定直線的距離的最值;二是，將動點問題轉化為靜點問題，即將圓上的動點到定直線的距離的最值轉化為具體的過圓心與定直線垂直的垂線與圓的交點。在第二次轉化中就需要靈活的運用圓的定義。

在用代入法求點的軌跡方程時，從表面上看似乎沒有用到定義與性質，但是實際上，正是由于定義和性質：某動點在曲線上，則該點的坐標滿足它的方程，因此，我們才可以通過將所求的點的坐標轉化為該動點的坐標，從而找出所求點的坐標所滿足的方程，即動點的軌跡方程。也就是說定義和性質是代入法的根本。

3.小結

從本文的兩個例子，可見在解析幾何動態問題中，利用“基本圖形的性質”將動態問題轉化為靜態問題是解題關鍵，也就是定義和性質是解決解析幾何動態問題的根本。因此，在高中階段的學習和練習中，我們要善于抓住幾何對象的定義與性質，運用它們的幾何關系不變性將問題進行合理轉化，從而解決問題。

參考文獻：

[1]朱大紅.高中解析幾何的學習障礙分析及對策研究[D].蘇州大學，2015.

[2]湯志娜.幾何畫板中的繪圖思想探析[J].數學學習與研究，2010（01）：9+11.

[3]2018年新課標三卷[E].百度文庫.2018.6.17.

[4]2017年新課標二卷[E].百度文庫.2017.6.15.