淺談不可壓冪律流體流動的人工壓縮改進SPH方法模擬

王星馳 蔣濤

摘 ? 要：采用弱可壓光滑粒子動力學（SPH）方法模擬不可壓廣義牛頓流體流動問題時，易出現壓力偽震蕩和精度低的問題。為此，本文引入人工壓縮法將連續性方程轉化為關于壓力微分方程以準確得到壓力分布，基于Taylor展開以提高SPH離散公式中一階核導數的計算精度，給出一種能夠準確求解壓力，穩定模擬不可壓冪律模型流動問題的基于人工壓縮改進SPH（AC-CSPH）方法。

關鍵詞：光滑粒子流體動力學 ?人工壓縮 ?冪律流體

中圖分類號：O357.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）02（b）-0098-02

1 ?光滑粒子流體動力學方法的提出

在計算流體力學（CFD）中，為了求解和研究不同的流體流動問題，發展了許多基于網格的數值方法，包括有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）等。雖然這些方法在許多問題的模擬中表現出了一定的能力，但在解決自由曲面或大變形邊界等問題時可能會產生網格畸變現象，導致高維流動問題編程計算模擬十分困難。此時無網格方法[1-2]的發展正好解決了這些問題。光滑粒子流體動力學方法（SPH）[3]作為無網格法的一種，首次被Lucy[4]等提出用于天體物理學中，并成功地用于許多科學領域建模中，特別是復雜自由面流動問題的模擬。但是將SPH方法推廣到不可壓縮廣義牛頓自由面流動問題模擬時，壓力準確的求解和數值精度的提高上有待進一步的探索研究。

2 ?SPH方法的優缺點分析

在自由面流動問題模擬中，SPH方法相較于基于網格的方法有如下優點：（1）不需要網格剖分，不涉及對流項求解，降低了編程計算復雜度;（2）無需表面追蹤技術能自動準確地追蹤自由界面。

SPH方法也常被用來解決不可壓縮流問題，通常采用弱可壓縮SPH（WCSPH）方法和不可壓縮SPH（ISPH）方法[5-6]，但都存在一些不足：（1）WCSPH方法使用大聲速意味著計算時CFL條件非常嚴格，不可壓縮性條件的近似執行會導致密度和壓力場產生虛假振蕩;（2）ISPH方法實現中涉及全局大型矩陣的求解，導致計算量增大且易在流動區域附近產生矩陣奇異導致計算失穩，粒子物理量分布中可能存在較大的各向異性。

另外一些改進SPH方法[7-8]也存在不足：（1）MSPH方法[9]和SSPH方法中的矩陣奇異現象可能引起數值不穩定;（2）隨著模擬時間的延長，仍會產生較嚴重的壓力震蕩。

3 ?改進方案

4 ?結語

針對弱可壓SPH方法模擬不可壓廣義牛頓流體流動問題時易出現壓力偽震蕩和精度低的問題，本文首先引入人工壓縮法以得到較準確壓力分布;其次基于Taylor展開以提高導數計算精度;從而給出一種能夠準確快速模擬不可壓縮冪律模型流體流動的人工壓縮改進SPH（AC-CSPH）方法。AC-CSPH法將較WCSPH法和ISPH法具有自身優勢。

參考文獻

[1] R. A. Gingold，J. J. Monaghan， Smoothed particle hydrodynamics： theory and application to non-spherical[J].Mon Not R Astron Soc ，1977，181 （3）： 375-389.

[2] 劉謀斌，常建忠.光滑粒子流動力學方法中粒子分布于數值穩定性分析[J].物理學報，2010（59）：3654-3662.

[3] G.R.Liu， M.B.Liu.Smoothed Particle Hydrodynamics： A Mesh-Free Particle Method[M].Computational Mechanics， 2004.

[4] L.B. Lucy， A numerical approach to the testing of fission hypothesis， Astrophys. J.1977（82）：1013-1020.

[5] M.S Shadloo， A. Zainali， M. Yildiz and A. Suleman， A robust weakly compressible SPH method and its comparison with an incompressible SPH， Int. J. Numer. Meth. Engng.2012（89）：939–956.

[6] S. Shao， E.Y.M. Lo， Incompressible SPH method for simulating Newtonian and non- Newtonian flows with a free surface， Adv. Wat. Res.2003（26）：787–800.

[7] J.K. Chen， J.E. Beraun， A generalized smoothed particle hydrodynamics method for nonlinear dynamic problems[J]，ScienceDirect，2000（190）：225-239.

[8] M.B. Liu.，G.R. Liu， Restoring particle consistency in smoothed particle hydrodynamics[J]，Applied Numerical Mathematics，2006（56）：19-36.

[9] Zhang G M，Batra R C Analysis of adiabatic shear bands in elasto-thermo-viscoplastic materials by modified smoothed-particle hydrodynamics （MSPH） method[J] Journal of Computational Physics 2004（201）：172-190.

[10]Rouzbahani F ， Hejranfar K . A truly incompressible smoothed particle hydrodynamics based on artificial compressibility method[J]. Computer Physics Communications， 2016（210）：10-28.