含空隙瀝青混凝土彈性模量預(yù)測(cè)的數(shù)值方法

王億平鄭建軍

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災(zāi)減災(zāi)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310023)

瀝青混凝土具有多尺度、多相特征，每相組分的力學(xué)特性和體積分?jǐn)?shù)以及各相組分之間的相互作用都會(huì)影響瀝青混凝土的宏觀力學(xué)性能。瀝青混凝土已廣泛應(yīng)用于道路工程，其彈性模量是路面材料設(shè)計(jì)的重要參數(shù)之一。因此，瀝青混凝土彈性模量及與各組分力學(xué)特性和體積分?jǐn)?shù)之間的定量關(guān)系是材料優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)[1-2]。

目前，確定含空隙瀝青混凝土彈性模量主要通過(guò)實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)和各種經(jīng)驗(yàn)公式。但實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)過(guò)程復(fù)雜、耗時(shí)長(zhǎng)，而每個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式又都有其特定的適用范圍，如果試驗(yàn)條件與實(shí)際使用情況有所出入，可能會(huì)引起工程設(shè)計(jì)不能接受的誤差。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從細(xì)觀力學(xué)原理出發(fā)分析瀝青混凝土彈性模量。Li等[3]提出兩層嵌入式細(xì)觀力學(xué)模型，導(dǎo)出瀝青混凝土楊氏模量的解析解，但泊松比仍近似估計(jì)。Li等[4]提出了瀝青混凝土彈性模量估算的兩步法，第1 步將細(xì)骨料模擬成球形夾雜物，填料和膠凝材料模擬成基體；第2 步將粗骨料模擬成球形夾雜物，細(xì)骨料、填料和膠凝材料模擬成基體，但沒(méi)有考慮空隙的影響。朱興一等[5]基于復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)方法，將各級(jí)粒徑骨料與空隙逐一投入，然后均勻化，獲得瀝青混凝土楊氏模量和剪切模量，但忽略了界面層的影響。在這些研究中，骨料均假設(shè)為圓形或球形，與實(shí)際骨料(如碎石)的形狀存在一定的差異，忽略了界面層，也沒(méi)有考慮空隙水飽和度的影響。在前人工作的基礎(chǔ)上，筆者將骨料模擬成多邊形，考慮界面層、空隙和空隙水飽和度的影響，應(yīng)用快速傅里葉變換提出了含空隙瀝青混凝土彈性模量預(yù)測(cè)的數(shù)值方法。

1 多邊形骨料混凝土彈性模量

1.1 多邊形骨料分布模擬

混凝土中的骨料經(jīng)常采用碎石，屬于不規(guī)則的多面體，在二維平面上可以模擬成多邊形[6]。在模擬骨料分布時(shí)，先選定一個(gè)正方形模擬單元，建立極坐標(biāo)系，確定骨料的邊數(shù)、極角和極半徑。再依次將骨料按粒徑由大到小投放到正方形區(qū)域中，要求任何兩個(gè)骨料都不能相互重疊[7]。為了消除骨料分布的邊壁效應(yīng)，在正方形單元的每條邊上引入周期性邊界條件[8]。作為算例，選定邊長(zhǎng)為200 mm的正方形，骨料粒徑為4.75～19 mm，骨料邊數(shù)為4～10，圖1為骨料面積分?jǐn)?shù)為40%時(shí)多邊形骨料分布的模擬圖，與實(shí)際混凝土截面上的骨料分布非常相近。

圖1 多邊形骨料分布圖Fig.1 Distribution of polygonal aggregates

1.2 彈性模量計(jì)算的基本原理

假設(shè)非均質(zhì)混凝土各點(diǎn)的彈性張量Cijkl(x1,x2)是坐標(biāo)(x1,x2)的函數(shù)，則各點(diǎn)的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系為

(1)

(2)

引入格林張量Γijkl(x1,x2)，式(1)的解[9]可表示成

(3)

式中“*”表示卷積，對(duì)式(3)進(jìn)行傅里葉變換有

(4)

(5)

1.3 數(shù)值迭代法

對(duì)于多相混凝土，其彈性模量可由下列迭代法求解：

4) 計(jì)算各點(diǎn)的面積加權(quán)應(yīng)變和應(yīng)力，最后獲得多相混凝土彈性模量。

2 含空隙瀝青混凝土彈性模量

含空隙瀝青混凝土由瀝青砂漿、粗骨料、空隙和界面四相組成，由于粗骨料尺寸遠(yuǎn)大于空隙尺寸，要進(jìn)行分級(jí)模擬。為此，筆者提出彈性模量計(jì)算的兩步法：1) 先考慮由空隙和瀝青砂漿所組成的兩相復(fù)合材料，其中，空隙為夾雜相，瀝青砂漿為基體，通過(guò)解析法計(jì)算其彈性模量；2) 再把含空隙瀝青混凝土模擬成含空隙瀝青砂漿、界面和粗骨料所組成的三相復(fù)合材料，通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算其彈性模量。

2.1 含空隙瀝青砂漿彈性模量

設(shè)瀝青混凝土中瀝青砂漿和空隙的體積分?jǐn)?shù)分別為fam和fav，則空隙在瀝青砂漿中的體積分?jǐn)?shù)為

(6)

再設(shè)空隙水的飽和度為S，則含空隙瀝青砂漿的體積模量Kamav和剪切模量Gamav[10]可表示成

(7)

(8)

式中：Kam，Gam分別為瀝青砂漿的體積模量和剪切模量；Kw為水的體積模量，一般取2.25 GPa；系數(shù)β，η[11]分別為

(9)

(10)

這樣，就可以計(jì)算含空隙瀝青砂漿的楊氏模量Eamav和泊松比νamav分別為

(11)

(12)

2.2 含空隙瀝青混凝土彈性模量

正如上面所述，把含空隙瀝青混凝土看成是由含空隙瀝青砂漿、界面和粗骨料所組成的三相復(fù)合材料，其彈性模量通過(guò)下列步驟獲得：

1) 將正方形模擬單元?jiǎng)澐殖?M×2M個(gè)小正方形單元，M為快速傅里葉算法中像素點(diǎn)個(gè)數(shù)的指數(shù)，取每個(gè)小單元的中心為單元的像素點(diǎn)。

2) 若像素點(diǎn)位于粗骨料內(nèi)，該點(diǎn)楊氏模量取粗骨料的楊氏模量Eagg；若像素點(diǎn)位于界面層內(nèi)，該點(diǎn)楊氏模量取界面層的楊氏模量Eitz；若像素點(diǎn)位于含空隙瀝青砂漿內(nèi)，該點(diǎn)楊氏模量取Eamav。

3) 再根據(jù)1.3節(jié)所提出的多相混凝土彈性模量計(jì)算的迭代法計(jì)算含空隙瀝青混凝土楊氏模量Eacav。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)驗(yàn)證

選擇Li等[4]的試驗(yàn)結(jié)果來(lái)檢驗(yàn)筆者數(shù)值方法的精度。在他們的試驗(yàn)中，瀝青體積分?jǐn)?shù)為4.2%，當(dāng)溫度為25 ℃，油石比(瀝青與礦料的質(zhì)量比)分別為3%，4%，5%，6%時(shí)，瀝青砂漿的楊氏模量分別為2 384，1 954，1 340，1 034 MPa。粒徑位于0.15～4.75 mm的細(xì)骨料視為瀝青砂漿材料的一部分。各級(jí)粗骨料的體積分?jǐn)?shù)[5]如表1所示，楊氏模量為40 GPa，泊松比對(duì)結(jié)果影響不大，取0.2[12]。空隙率為3%，假設(shè)空隙中的水全飽和，S等于1.0。界面區(qū)楊氏模量為35 GPa，界面區(qū)厚度取20 μm[13]，泊松比取0.3。數(shù)值模擬與試驗(yàn)結(jié)果的比較如表2所示。從表2可以看出：數(shù)值模擬與試驗(yàn)結(jié)果良好吻合，當(dāng)油石比分別為3%，4%，5%，6%時(shí)，它們之間的相對(duì)誤差分別為1.41%，4.54%，1.71%，2.12%。因此，數(shù)值模擬具有較高的精度。

表1 粗骨料體積分?jǐn)?shù)Table 1 Coarse aggregate volume fractions

表2 數(shù)值模擬與試驗(yàn)結(jié)果比較

Table 2 Comparison between numerical simulations and experimental results

油石比/%3456彈性模量試驗(yàn)數(shù)據(jù)/GPa5.7604.7394.6273.870彈性模量數(shù)值模擬/GPa5.8414.9544.7063.952

3.2 影響因素分析

從上面的分析可以看出：諸多因素影響瀝青混凝土的彈性模量，但下面著重分析骨料形狀、界面厚度以及空隙水飽和度等對(duì)彈性模量的影響。分析時(shí)，考慮富勒級(jí)配粗骨料[14]，楊氏模量為50 GPa，泊松比取0.2，瀝青砂漿楊氏模量為1.5 GPa，泊松比取0.3，界面楊氏模量為35 GPa，泊松比為0.3。

圖2 骨料形狀對(duì)彈性模量的影響Fig.2 Effect of aggregate shape on elastic modulus

首先分析骨料形狀的影響。設(shè)粗骨料體積分?jǐn)?shù)分別為45%，55%，65%，長(zhǎng)細(xì)比(多邊形骨料最小粒徑所對(duì)應(yīng)的外接矩形的長(zhǎng)與寬之比)分別為1，2，3，界面厚度為20 μm，空隙率φ為3%，空隙水全飽和，即S取1.0，結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出：當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)一定時(shí)，彈性模量隨長(zhǎng)細(xì)比增大而降低。這是因?yàn)殚L(zhǎng)細(xì)比越大，界面體積分?jǐn)?shù)越低[14]，而界面楊氏模量高于瀝青砂漿的楊氏模量，所以瀝青混凝土楊氏模量也越低。當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)為45%，55%，65%時(shí)，長(zhǎng)細(xì)比為3時(shí)的彈性模量比長(zhǎng)細(xì)比為1時(shí)的彈性模量分別低3.17%，5.18%，3.74%。

其次分析界面厚度的影響。設(shè)粗骨料體積分?jǐn)?shù)為35%～65%，長(zhǎng)細(xì)比為2，界面厚度分別為5，12，20 μm，空隙率φ為3%，空隙水全飽和，即S取1.0，結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出：當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)一定時(shí)，彈性模量隨界面厚度增大而增大。這是因?yàn)榻缑婧穸仍酱螅缑骟w積分?jǐn)?shù)也越大[14]。當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)為35%，45%，55%，65%時(shí)，界面厚度為20 μm時(shí)的彈性模量比界面厚度為5 μm時(shí)的彈性模量分別高3.59%，4.63%，5.50%，8.78%。

圖3 界面厚度對(duì)彈性模量的影響Fig.3 Effect of ITZ thickness on elastic modulus

最后分析空隙水飽和度的影響。設(shè)粗骨料體積分?jǐn)?shù)為35%～65%，長(zhǎng)細(xì)比為2，界面厚度為20 μm，空隙率φ為7%，空隙水飽和度S分別取0，0.5，1.0，結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出：當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)一定時(shí)，彈性模量隨著空隙水飽和度的增大而增大。這是因?yàn)榭障端柡投仍酱螅障兜捏w積模量也越大。當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)為35%，45%，55%，65%時(shí)，空隙水飽和度為1.0時(shí)的彈性模量比空隙水飽和度為0時(shí)的彈性模量分別高4.00%，6.59%，5.43%，4.88%。

圖4 空隙水飽和度對(duì)彈性模量的影響Fig.4 Effect of degree of saturation on elastic modulus

4 結(jié) 論

將解析解與數(shù)值解相結(jié)合，提出了含空隙瀝青混凝土彈性模量計(jì)算的數(shù)值方法，該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是考慮了骨料形狀、界面以及空隙水飽和度的影響。通過(guò)與試驗(yàn)結(jié)果比較，證實(shí)了該數(shù)值方法的有效性。基于3 個(gè)數(shù)值算例，討論了骨料形狀、界面厚度以及空隙水飽和度對(duì)瀝青混凝土彈性模量的影響。結(jié)果表明：當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)分別為45%，55%，65%，粗骨料長(zhǎng)細(xì)比從3減小到1時(shí)，瀝青混凝土彈性模量分別降低3.17%，5.18%，3.74%；當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)分別為35%，45%，55%，65%，界面厚度從20 μm減小到5 μm時(shí)，瀝青混凝土彈性模量分別減小3.59%，4.63%，5.50%，8.78%；當(dāng)粗骨料體積分?jǐn)?shù)為35%，45%，55%，65%，空隙水飽和度從0增大到1.0時(shí)，瀝青混凝土彈性模量分別增大4.00%，6.59%，5.43%，4.88%。因此，為了提高瀝青混凝土的彈性模量，在材料設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量增大界面厚度和采用長(zhǎng)細(xì)比接近1的粗骨料。