數(shù)學問題解決教學設計的新視角
——基于提高數(shù)學抽象能力

葉金鑫 張 昆

淮北師范大學數(shù)學科學學院 (235000)

問題是數(shù)學的心臟，解題教學是數(shù)學課堂教學的重要形式之一，針對數(shù)學問題的特怔，在課堂上引發(fā)師生之間，生生之間的討論與交流，充分利用相關的數(shù)學知識和思想方法，尋找解決問題的策略和方法，拓展學生的解題思路，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，是解題教學的理想追求.有些問題比較新穎，同學們從表象中難以看出玄機，這時體現(xiàn)了提高數(shù)學抽象能力的重要性.下面筆者來具體談談數(shù)學抽象能力.

1.數(shù)學抽象能力概念的界定

所謂抽象，通常是指從眾多的事物中抽取出共同的和本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)特征的思維過程.數(shù)學抽象則是指在數(shù)學活動中，抽取出一般的基本概念、本質(zhì)特征以及運算規(guī)律等數(shù)學屬性的思維過程.數(shù)學抽象是一種高級的數(shù)學思維能力，也是數(shù)學能力的核心.數(shù)學抽象能力具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)在普遍現(xiàn)象中存在差異的能力，在各類現(xiàn)象間建立聯(lián)系的能力，分離出問題的核心和實質(zhì)的能力，由特殊到一般的能力，從非本質(zhì)的細節(jié)中使自己擺脫出來的能力，把本質(zhì)的與非本質(zhì)的東西區(qū)分開來的能力，善于把具體問題抽象為數(shù)學模型的能力等等方面.在數(shù)學的學習中，數(shù)學抽象思維能力的培養(yǎng)是以數(shù)學對象或數(shù)學內(nèi)容為基礎，抽取同類事物中共同的、本質(zhì)的屬性或特征，形成新的事物的思維過程.數(shù)學抽象思維能力的基本方法類似于自然科學的思維方法，如觀察、實驗、類比、歸納，也類似于社會科學的思維方法，如反駁、猜測、想象、直覺等.

2.培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力的作用

作為數(shù)學能力的核心，數(shù)學抽象在數(shù)學核心素養(yǎng)中占據(jù)最重要地位.甚至可以說，數(shù)學抽象是數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎.一方面，數(shù)學學習過程中需要學習者具備一定的抽象能力.由于數(shù)學具有抽象性的特點，學習者只有具備一定程度的抽象能力，才能對數(shù)學對象的認知實現(xiàn)質(zhì)的飛躍.另一方面，數(shù)學的應用過程也對學習者的數(shù)學抽象素養(yǎng)有一定的要求.在數(shù)學的應用活動中，要求學習者能將所遇情境進行數(shù)學化和抽象化，并與已學數(shù)學知識相聯(lián)系，最終利用數(shù)學知識解決問題并將問題還原回實際情況.這一系列的活動都是建立在數(shù)學抽象基礎上的，所以，教師在教學活動中要特別注重對數(shù)學抽象能力的培養(yǎng).學生抽象能力越高，在學習中的遷移能力就越強，對新的知識的理解和掌握也就越快.抽象是思維最重要的特點.因為只有通過抽象才能使人的認識由感性上升到理性，從而掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律.因此抽象的水平在一定程度上反映了學生的思維水平.如果學生的數(shù)學抽象能力提高了，他們的邏輯思維水平才會真正提高.從而使學生在數(shù)學的學習過程中能迅速抓住本質(zhì)，提升學習效率，為以后的學習奠定基石.既然數(shù)學抽象能力對學生發(fā)展的作用如此之大，那么筆者從一道高考題出發(fā)，具體談談提高數(shù)學抽象能力對解題的益處，希望對老師們今后的教學有所幫助.

3.在數(shù)學解題活動中培養(yǎng)學生抽象能力

我們引入的這道高考題的例子，都是源于真實高三數(shù)學教師在復習課上所講授的解題教學內(nèi)容，只是為了行文表達的技術上需要，我們在不改變授課教師原來設計所生成的教學環(huán)節(jié)及聯(lián)結(jié)這些環(huán)節(jié)的中介的基礎上，在極少數(shù)地方作了改動.

例1 已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c，若cosα+cosβ=cosα·cosβ，求證c2-b2=2ac.

師：已知條件為acosα+bsinα=c①，acosβ+bsinβ=c②，若cosα+cosβ=cosα·cosβ③，我們該如何證明c2-b2=2ac④.

生1：這道題我是這樣想的，告訴我們兩個已知條件，我準備從等式①出發(fā)，因為涉及到sinα,cosα，自然想起了三角關系式sin2α+cos2α=1，如果要湊成三角關系式，那么可能要平方，于是我想對兩邊進行平方，再利用三角公式sin2α+cos2α=1進行替換，這樣就只有一個未知數(shù)了，另一個式子也是如此，即(acosα+bsinα)2=c2，得到a2cos2α+2abcosαsinα+b2sin2α=c2，寫到這步突然發(fā)現(xiàn)2abcosαsinα不好處理，于是…

師：這位同學想到這步已經(jīng)很好了，他既然遇到2abcosαsinα不好處理，同學們能不能想一種既用到兩邊平方也不出現(xiàn)2abcosαsinα這種形式的方法.同學們可以討論一下.

生：議論紛紛.

生2：老師，我發(fā)現(xiàn)只要把acosα或bsinα其中一個調(diào)到等式的另一邊就可以了，這樣就不會出現(xiàn)2abcosαsinα這種乘積的形式了，我們首先可以把bsinα放到等式的另一邊，再兩邊平方，接著用三角公式sin2α+cos2α=1進行替換，這樣就只出現(xiàn)一個未知數(shù)了，另一個式子也如此.

師:很好，結(jié)合以上兩位同學的共同想法我來具體化一下

解：由題意得acosα-c=-bsinα,兩邊平方得(acosα-c)2=(-bsinα)2,展開得a2cos2α-2accosα+c2=b2sin2α,因為sin2α=1-cos2α,所以a2cos2α-2accosα+c2=b2(1-cos2α),整理得

(a2+b2)cos2α-2accosα+c2-b2=0⑤,同理可得(a2+b2)cos2β-2accosβ+c2-b2=0⑥.

師：接下來同學們該怎么辦呢？大家可以分小組討論一下.

課堂活動記錄：學生你一言我一語的討論著，有的還在紙上認真的演算...

生3：我們小組是這樣想的，觀察⑤⑥兩式，我們發(fā)現(xiàn)了它們的相同點，它們除了cosα,cosβ不相同外，其它的都相同，我們想可不可以用一個未知數(shù)來代替，于是把cosα,cosβ看成是方程(a2+b2)x2-2acx+c2-b2=0的兩個根，再根據(jù)方程根與系數(shù)的性質(zhì)得出兩根之和與兩根之積，又因為已知條件等式③，我們可以得出兩根之和與兩根之積是相等的，這樣就可以證明出這個問題.我來具體化一下過程，接著生2的想法，我接著寫.

由上述⑤⑥兩個式子可得cosα,cosβ是方程

其實這一題到這里算是一種比較好的解法了，首先通過自己之前的知識經(jīng)驗把不熟悉的式子轉(zhuǎn)化成具有相同形式的式子，再觀察式子的相同點，進行抽象，把⑤⑥兩個式子用⑦一個式子來表示，最后證明出結(jié)果.在解題過程中學生們初步接觸用抽象方法來解決數(shù)學問題，在日常的解題教學中老師要時刻滲透這種抽象的思想，使得知識的形成，應用更具自然，流暢.讓同學們掌握這種思想，使他們得到提升.在教學過程中又有學生提出這樣的問題.

生4：像生1生2那種思路我一下子可能想不到，老師有沒有其它簡單點的思路呢?

師：確實，我們遇到難題都希望化繁為簡，當看到復雜的解法時，往往會想如果有更簡單的方法就好了，那請同學們利用我們剛剛學的抽象方法想想看有沒有更簡單的證明方法呢？

生：一片討論聲.

生5：我通過觀察①②兩式，發(fā)現(xiàn)兩個式子的形式完全相同，利用方法一的思路，可以將①②兩式進行抽象，得出一個式子ax+by=c，這里將cosα,cosβ抽象成x，sinα,sinβ抽象成y，由此又想到把三角公式sin2α+cos2α=1，抽象成x2+y2=1，聯(lián)立兩個式子，得出和方法一相同的式子(a2+b2)x2-2acx+c2-b2=0，后面的過程和方法一就相同了.

師：說的真好，聽了生5的解題思路，現(xiàn)在我請一個同學來具體化一下思路.

這種解法相比于方法一可能更簡單，不需要經(jīng)過任何轉(zhuǎn)化，只需要根據(jù)抽象法的要求，觀察相同點，再把相同點用一個未知數(shù)來代替.這樣省去轉(zhuǎn)化中的繁瑣計算，更有利于學生對數(shù)學的學習.由這道題的兩種解法，同學們了解了在問題解決不出來的時候大家可以回過頭來想想這個問題可不可以用抽象化來解題，或許對我們解決問題會有所幫助.

4.兩種具體解法分析

由上述一道題的兩種解法，我們可以得出提高抽象能力在我們?nèi)粘＝忸}中的重要性.不管是第一種解法在解題過程中的間接抽象，還是第二種解法在題目一開始就直接抽象，都要求我們對抽象能力有一定的理解和把握.下面筆者來具體談談這兩種解法.

第一種解法：從題目本身出發(fā)，直接從已知條件入手，運用轉(zhuǎn)化思想把題目轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的形式，這就是第一步移項得出的acosα-c=-bsinα，再兩邊平方得出(acosα-c)2=(-bsinα)2，其實這步是學生1和學生2經(jīng)過多次移項的嘗試得來的，如果稍有不慎就可能陷入學生1的囧境.所以這種解法對于解題能力稍弱的同學可能是困難的.接下來要用到一個三角公式sin2α+cos2α=1，把這個式子代入，整理出一個式子(a2+b2)cos2α-2accosα+c2-b2=0，同理可得另一個式子，(a2+b2)cos2β-2accosβ+c2-b2=0，觀察這兩個式子抽象出一個方程(a2+b2)x2-2acx+c2-b2=0，最后根據(jù)方程的性質(zhì)證明出結(jié)果.這種解法相比較第二種解法多了前面的轉(zhuǎn)化過程，也間接繁瑣了計算，增加了思維的復雜程度，對于剛接觸抽象法的學生來說是有點難以接受，很容易讓他們對數(shù)學失去興趣和信心.

第二種解法：從第一步就是觀察等式①②，觀察出相同點后把相同點用一個未知數(shù)來代替即抽象成ax+by=c，再把我們所熟悉的一個公式sin2α+cos2α=1，抽象成x2+y2=1，聯(lián)立兩個公式可得出結(jié)果(a2+b2)x2-2acx+c2-b2=0，后面的解法就和解法一一樣了.這題不需要像第一題那樣的繁瑣計算，直接從已知條件出發(fā)，抽象出最一般的代表，得出結(jié)果.作為提高學生在數(shù)學問題解決中抽象能力的入門例題，這種解法能很快的讓學生感受到數(shù)學解題中的抽象思想，從中體會到具備抽象能力的優(yōu)勢和益處，激發(fā)學生學好此類方法的興趣，進而在不知不覺中形成解決問題的抽象能力.所以筆者認為要時時培養(yǎng)這種思想，在課堂教學過程中老師要潛移默化的滲透這種思想，這也是這題的精神所在.

這兩種解法的不同點在于解法一是在過程中進行抽象而解法二是在一開始就進行抽象，解法一比解法二多了開頭的轉(zhuǎn)化.但兩種解法的相同點都是要求學生掌握這種數(shù)學抽象的方法，進而提升數(shù)學抽象能力.從更有利于學生掌握這種抽象方法來說，筆者更傾向于第二種解法，因為從問題的一開始就需要學生們具有抽象化能力，直接從已知條件抽象，不需要繁瑣的轉(zhuǎn)化過程，這樣也相對減少題目的運算量，簡化了思維，更有利于學生們接受這種方法.不論哪種解法，都強調(diào)了數(shù)學抽象能力，而這種能力是很難培養(yǎng)的，需要教師在日常的解題教學中逐步去滲透這種思想.這一題的第二種解法也給我們教師一種啟示，如果學生在以前就有了這種思想的培養(yǎng)，那這題就非常容易了，也避免了像第一種解法的繁瑣計算.所以及早鍛煉學生的這種能力，為學生以后的思維發(fā)展奠定基石.這也是筆者寫這篇文章的意義所在.

5.簡要的結(jié)論

由此，我們可以得到這樣的結(jié)論：教師在進行數(shù)學教學設計時和在日常教學生的解題過程中都要時時刻刻的滲透“提高數(shù)學抽象能力”的思想.俗話說“多一點想就有可能少一點算”，這也是近些年高考命題的趨勢，因此在平時的解題訓練中，應倡導對問題進行適當?shù)臍w類，掌握相應的求解方法，來為我們解題提供方便.總之，數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)是一個長期的過程，其過程需要教師和學生大量的練習和嘗試.作為教師，應該通過多種途徑給學生提供鍛煉的機會，而作為學生，應該主動積極地思考和總結(jié)，在具體和抽象之間多做轉(zhuǎn)化，對所學內(nèi)容勤于總結(jié)，最好能用自己的語言復述和整理，有意培養(yǎng)自己的數(shù)學抽象能力，為自己今后的數(shù)學學習打下良好的基礎.