表格法
——數學解題的好幫手

戴 飆

廣東省惠州市第一中學 (516007)

表格法就是將題中的相關條件或求解時的數量關系經過整理和總結,將其制成表格并用于解題的一種方法.在有些應用題里，各種數量間的關系比較隱蔽，不容易直接看出，而且條件繁多，變化復雜，遇到這些題目時，可以采用列表法來分析條件.表格法具有醒目、直觀、系統和有趣的優點,可以幫助學生準確、完整地理解題意，同時還能夠有效地提高學生的解題能力和技巧.本文列舉幾例巧用表格法解題的范例，權當拋磚引玉.

1.在數列問題中借用表格法

例1 已知等比數列{an}的首項為a1，公比為q(q≠1)，求所有不同乘積aiaj(1≤i,j≤n)的和.

解：由乘積作成表如下：

a1a2a3…ana1a21a1a2a1a3…a1ana2a2a1a22a2a3…a2ana3a3a1a3a2a23…a3an?????anana1ana2ana3…a2n

設所求和為S，則S為表中對角線右部(或左部)包括對角線上所有項的和，即

評注：本題借用列表，讓我們清楚地看到aiaj呈現的規律性，以便我們求所有不同乘積aiaj(1≤i,j≤n)的和.可見，表格法不僅能直觀、明了地揭示題中所包含的數量關系，而且能化繁為簡，從而幫助學生理清頭緒，掃除思維障礙.

2.在方程問題中活用表格法

例2 兩個面粉廠產面粉分別為60t和100t，供應三個糧店，甲糧店需45t，乙糧店需75t，丙糧店需40t，從第一面粉廠到三個糧店運面粉的費用分別為每噸10元，5元，6元；從第二面粉廠到三個糧店運面粉的費用分別為每噸4元，8元，15元.試求運費最省的一種運輸方案.

解：設第一面粉廠運給三個糧店的面粉分別為x11，x12，x13；第二面粉廠運給三個糧店的面粉分別為x21，x22，x23.可列出產銷平衡表如下：

發出點收點甲糧店乙糧店丙糧店發量第一面粉廠x11x12x1360第二面粉廠x21x22x23100收量457540160

發出點收點甲糧店乙糧店丙糧店第一面粉廠02040第二面粉廠45550

評注：本題中的數量關系，紛繁復雜，但活用表格法可將這些數量關系清晰的呈現出來.在解題過程中選用x11,x12來表示其它的變量，使問題變得簡潔明了.一般對于有幾個量限制的問題，通過表格法我們更容易理清各個量之間的關系，降低思維難度，讓我們能快速找到等量關系，列出方程.

3.在概率問題中采用表格法

例3 將一顆均勻的正方體骰子連續擲兩次，先后出現的點數分別為a,b，則關于x的方程x2+ax+b=0有實根的概率為.

解：因為a,b∈{1,2,…,6},所以基本事件總數為6×6=36.又方程x2+ax+b=0有實根的充要條件是Δ=a2-4b≥0,對a2、4b的值及a2-4b的符號列表如下：

4ba2 48121620241------40-----9++----16+++0--25++++++36++++++

評注：本題中a2∈{1,4,…,36}，4b∈{4,8,…,24}，a2-4b的值有多種且復雜，顯然采用列表法直觀簡捷.通過列表可以培養學生思考問題的條理性，讓思維表達更清晰.

4.在統計問題中并用表格法

例4 一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數字0，兩個面上標以數字1，一個面上標以數字2，將這個小正方體拋擲兩次，則向上的數之積的數學期望是.

第一次拋擲第二次拋擲 012012×1212×1312×16113×1213×1313×16216×1216×1316×16

于是所得向上的數之積的分布列為：

ξ0124p341919136

評注：列表格的方法是統計整理數據的基本方法，其實這就是一張統計表，通過列表格，可以培養學生的概括能力、數據處理能力、分析思維能力.特別是解一些較復雜的問題時更能體現出表格法的優點.

5.在推理問題中巧用表格法

例5 古代一位國王和他的張、王、李、趙、錢五位將軍一同外出打獵，各人的箭上都刻有自己的姓氏.打獵中，一只鹿中箭倒下，但不知是何人所射.

張將軍說：“或者是我射中的，或者是李將軍射中的.”

王將軍說：“不是錢將軍射中的.”

李將軍說：“如果不是趙將軍射中的，那么一定是王將軍射中的.”

趙將軍說：“既不是我射中的，也不是王將軍射中的.”

錢將軍說：“既不是李將軍射中的，也不是張將軍射中的.”

國王讓人把射中鹿的箭拿來，看了看，說：“五位將軍的猜測，只有兩個人的話是對的.”請據此判斷是哪位將軍射中此鹿？

解：由題意利用表格法，列表如下：

張王李趙錢張張李王非錢李王趙趙非王非趙錢非張非李

假設是張將軍射中的，則張的話對，王的話也對，趙的話也對，與只有兩個人的話是對的矛盾，所以不是張將軍射中的；假設是王將軍射中的，則李的話對，王的話也對，錢的話也對，與只有兩個人的話是對的矛盾，所以不是王將軍射中的；假設是李將軍射中的，則張的話對，王的話也對，趙的話也對，與只有兩個人的話是對的矛盾，所以不是李將軍射中的；假設是趙將軍射中的，則王的話對，李的話也對，錢的話也對，與只有兩個人的話是對的矛盾，所以不是趙將軍射中的；假設是錢將軍射中的，則只有錢將軍與趙將軍的話是對的，符合題意.

所以是錢將軍射中的.

評注：這道數學應用題中的推理關系，紛繁復雜并且含而不露.巧用表格法能使條件一目了然，其相互之間的關系也顯得十分清楚，為推理時推出矛盾或得出結論創造了時機.本題也可以假設某個人的話是對的來推理，還可以從涉及的對象最少的那句話開始，比如，王將軍說“不是錢將軍射中的”這句話如果對就有四種情況，但這句話如果錯，就只有一種情況.所以從王將軍的話是錯的開始推理最簡單.

6.在組合問題中妙用表格法

解：a,b,c要構成三角形的邊長，顯然均不為0，即a、b、c∈{1,2,…,9}.

a98765432b4,3,2,14,3,2,13,2,13,2,12,12,111

評注：本題對于第二種情況，即非等邊三角形的問題，必須弄清能構成三角形的條件，也就是b

表格法是信息的良好載體，直觀通俗，可以濃縮分析思路,是數學解題的好幫手.但使用表格法解題要注意兩點:一是表格法是教學的一種輔助方法,而不是主要方法；二是設計的表格要因教學內容而定,因題而用,決不能牽強附會.