一道數學競賽訓練題證法的商榷

王 煒

陜西省綏德縣綏德中學 (718000)

《數學通訊》高中數學競賽專輯(2012版)，全國高中數學聯賽模擬訓練題(6)中加試三，下面就它的證明過程提出商榷，然后再給出正確證明方法，供參考.

上述證明過程中，cosA,cosB,cosC不一定都大于零.

下面給出正確的證明方法.

(2)若△ABC為鈍角△，令A>90°，B、C分別為銳角.∴cosA<0,cosB>0,cosC>0,

綜上所述，原不等式成立.

證法2：(1)若△ABC為Rt△或鈍角△，證明方法同證法1.

綜上所述，原不等式成立.

證法3：(1)若△ABC為Rt△或鈍角△，證明方法同證法1.

cosA+cosB+cosC+cos60°≤

證法4：(1)若△ABC為Rt△或鈍角△，原不等式證明方法同證法1.

綜上所述，原不等式成立.

又∵4R2+12R+14r2≤8R2+8Rr+6r2等價于R2-Rr-2r2≥0,(R-2r)(R+r)≥0,由Euler不等式R≥2r知上述不等式成立.

=2tanAtanBtanC.故原不等式成立.