直線與橢圓、雙曲線相切的性質(zhì)探究

龍光鵬 涂燕青

江西省南昌市第十五中學(xué) (330039)

1.源由

我們知道直線和圓相切的一條性質(zhì)是：若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑.同時(shí)，我們也知道當(dāng)橢圓的離心率e接近0時(shí)，其形狀越接近于圓.換而言之，圓可以視為一種“特殊的橢圓”.然而，有一個(gè)困惑頓時(shí)在筆者腦海里浮現(xiàn)：直線與橢圓相切時(shí)，有關(guān)距離會有哪些結(jié)論呢？

2.探究

2.1 直線與橢圓相切的性質(zhì)

我們知道，橢圓的中心到橢圓的切線的距離是變化的，當(dāng)橢圓的離心率e接近0時(shí)，即橢圓的焦點(diǎn)無限靠近橢圓中心時(shí)，橢圓趨近于圓，故探究橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到橢圓切線的距離會存在什么結(jié)論.

以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓為例：

圖1

首先，嘗試直線l為特殊的切線x=a，則d1=a+c，d2=a-c，故d1+d2=2a，d1·d2=a2-c2=b2.

其次，嘗試直線l為另一條特殊的切線y=b，則d1=b，d2=b，故d1+d2=2b，d1·d2=b2.

于是形成了一個(gè)猜想：當(dāng)直線l與橢圓相切時(shí)，必有2b≤d1+d2≤2a，且d1·d2=b2.

圖2

2.2 直線與雙曲線相切的性質(zhì)

圖3

(Ⅱ)由雙曲線的對稱性，不妨假設(shè)點(diǎn)(x0,y0)在雙曲線上的右支上，∴d1+d2

3.應(yīng)用

筆者以上述的性質(zhì)為基礎(chǔ)，嘗試編創(chuàng)以下2道試題：

(Ⅰ)若過點(diǎn)A的直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線l的方程；

(Ⅱ)若點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線m與橢圓相切，求證：焦點(diǎn)F1,F2到直線m的距離的乘積為一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值.

(Ⅰ)若過點(diǎn)M的直線與雙曲線相切，且交x軸于點(diǎn)Q，求證：∠F1MQ=∠F2MQ；