側重能力與素養考查的數學壓軸題分析

宋其云 張留杰

北京市陳經綸中學 (100020)

北京理科高考壓軸題經常與集合、函數、數列、數論基礎、簡單組合數學等知識綜合.抽象性強，思維量大，對數學抽象、邏輯推理、數據處理和數學建模等核心素養要求較高，試題大多蘊含著深刻的學科本質或現實生活背景.試題設問從特殊到一般逐層遞進，考查學生抽象概括、分析問題和解決問題的能力，凸顯轉化化歸、分類討論等數學思想的應用，有助于發展數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養．本文以朝陽區期中考試壓軸題為例談談這類創新題的解題策略，與大家共勉．

題目(2018-2019學年度北京市朝陽區高三期中考試第20題)設m,n為正整數，一個正整數數列a1,a2,…,an滿足m=a1≥a2≥…≥an≥1.對i=1,2,…,m，定義集合Bi={j∈{1,2,…,n}|aj≥i}．數列b1,b2,…,bm中的bi(i=1,2,…,m)是集合Bi中元素的個數．

(Ⅰ)若數列a1,a2,…,an為5,3,3,2,1,1，寫出數列b1,b2,…,bm；

(Ⅲ)對j=1,2,…,n，定義集合Cj={i∈{1,2,…,m}|bi≥j}，令cj是集合Cj中元素的個數．求證：對j=1,2,…,n,均有aj=cj．

1.第(Ⅰ)問的分析與解答

分析：本小題以具體的數列為例，引導學生借助特殊數列理解集合Bi、數列bm以及n、m、j之間的關系，因此可以逐一“列舉”得出數列{bm}的項，感知數列{bm}的構造過程和意義．

解：若數列a1,a2,…,an為5,3,3,2,1,1，此時n=6,m=5.

當i=1時，數列5,3,3,2,1,1中滿足不等式aj≥1的j值為1,2,3,4,5,6，則集合B1中有6個元素，所以b1=6；

當i=2時，數列5,3,3,2滿足不等式aj≥2，對應的j值為1,2,3,4，Bi={1,2,3,4}，所以b2=4；

當i=3時，數列5,3,3滿足不等式aj≥3，對應的j值為1,2,3，Bi={1,2,3}，所以b3=3；

當i=4時，只有a1=5滿足aj≥4，易得Bi={1}，所以b4=1；

當i=5時，只有a1=5滿足aj≥5，易得Bi={1}，所以b5=1.

所以，數列b1,b2,…,bm是6,4,3,1,1．

評注：第(Ⅰ)問中涉及一個集合、兩個數列，四個字母n、m、j、i，只要我們能把抽象的字母具體化，明確構造新集合的規則，用“寫寫看”的方法，不難突破審題關，順利做好第(Ⅰ)問．

2.第(Ⅱ)問的分析與解答

分析：此小題是已知數列{bn}，求{an}的前n項和，屬于“逆向問題”，應從數列{bn}的項的意義切入，探究數列{an}的特征．

計量資料利用SPSS19.0軟件分析并經t檢驗(均數±標準差),計數資料經X2檢驗(率)。存在統計學意義評定標準:P<0.05。

解法一：由題意，知b1=n=2m,由于數列b1,b2,…,bm是一共m項的等比數列，因此數列b1,b2,…,bm為2m,2m-1,…,2，故滿足不等式aj≥i的個數有2m+1-i個，所以滿足不等式aj≥1的個數有2m個，滿足不等式aj≥2的個數有2m-1個，又因為數列{an}是一個正整數數列，所以可知數列{an}中有2m-2m-1=2m-1個“1”．

解法二：(接解法一的分析過程)由數列{bn}和{an}的項的關系，可得a1+a2+…+an=(b1-b2)+2(b2-b3)+…+(m-1)(bm-1-bm)+mbm=b1+b2+b3+…+bm=2m+2m-1+…+2=2m+1-2．

3.第(Ⅲ)問的分析與解答

分析：此小題在原有基礎上又增加了一個集合、一個數列，問題情境顯得更加復雜，我們可以再次從題中集合的意義出發，列舉得出cj的不同取值，然后探究一般規律解決問題．

解法二：由已知得a1,a2,…,an一共有n項,每一項都大于等于1,故b1=n．由于a1=m≥m,故bm≥1.所以a1≥a2≥…≥an≥1，故當i=1,2,…,m-1時，bi≥bi+1，即n=b1≥b2≥b3≥…≥bm≥1．

接下來證明對j=1,2,…,n，aj=cj.

設aj=k,則a1≥a2≥…≥aj≥k,即1,2,…,j∈Bi，從而bk≥j，故b1≥b2≥…≥bk≥j，又1,2,…,k∈Cj,故cj≥k,而k=aj,故有cj≥aj；設cj=t,即Cj={1,2,…,t},根據集合Cj的定義,有b1≥b2≥…≥bt≥j，由bt≥j知，1,2,…,j∈Bt,由Bt的定義可得a1≥a2≥…≥aj≥t，而又t=cj,故aj≥cj．因此，對j=1,2,…,n,aj=cj.

評注：欲證明兩個數a，b相等，通常可以轉化為證明a≥b且b≥a，解法二根據aj，bk，cj之間的內在聯系及它們的意義，分別證明cj≥aj和aj≥cj，思路自然，過程簡潔．

這類問題要求學生具有較強的數學閱讀能力、敢于挑戰的精神、善于轉化和聯想的意識，能夠從特殊情形總結歸納出一般規律，不僅要大膽猜想，還要會用數學的語言進行謹慎證明，試題重點考查學生的綜合運用所學知識解決問題的關鍵能力，以及促進數學思維發展的必備品格，作為壓軸題，區分度高，有助于優生的培養和選拔．