兩步法處理含參恒成立問題中參數取值范圍的問題

楊艷萍

江西省九江第一中學 (332000)

解決含參數不等式恒成立中的參數范圍問題，通常利用分離參數法，再求函數最值，從而求解，成為熟知的解題通法.而有一些含參數不等式其參數不能從解析式中分離出來，或分離參數后，解析式中含多個超越函數無法求其最值，這類含參數不等式恒成立求參問題，涉及的知識面廣，綜合性強，同時數學語言抽象，討論繁雜等，嚴重影響解題的速度，甚至會中斷解題過程，導致“望題興嘆”.然而這類問題又是歷年高考函數壓軸題的熱點和難點.高考過程中，在規定的時間內，如何保質保量完成解題的任務，解題方法的選擇尤為重要.為此，筆者經過研究得出了程序化的解題過程，只要按兩步操作即可，希望對大家有所啟迪.

例1 (2018九江三模理21)已知函數f(x)=xlnx+a·e1-x(a∈R)．

(1)當a=1時，求函數f(x)的最小值；

(2)若f(x)

分析：不等式f(x)

解析：(1)略.(2)f(x)

則函數h(x)在1的某個右領域(1右側小范圍)內必定單調遞減，即存在ε>1，當x∈(1,ε)時，∴h(x)單調遞減，即h′(x)=lnx+1-a·e1-x-2a(x-1)≤0在[1,ε]內恒成立，∴h′(1)=1-a≤0，即a≥1.

第二步：下證：當a≥1時，h(x)<0在(1,

點評：第一步為第二步做鋪墊，第二步：證：當a≥1時，h(x)<0在(1,+∞)內恒成立,有兩種方法可供選擇，方法一：直接證當a≥1時，h(x)<0在(1,+∞)內恒成立；方法二：證當a≥1時，h′(x)≤0在(1,+∞)內恒成立；觀察h(x)和h′(x)的解析式，不難發現借助不等式a≥1，h′(x)可放大(消參數a)，即h′(x)≤φ(x)(消參數a)，從而只需證明不含參數的φ(x)≤0即可.

(1)當a=2時，求f(x)的最小值；

(2)當f(x)≥2ln2+1恒成立，求實數a的取值范圍.

兩步求解：

例3 已知函數f(x)=mxlnx.

(1)當m>0時，求函數F(x)=f(x)-x+1的單調區間;

(2)若對任意的x∈(0,+∞),f(x)≥x-1恒成立，求實數m的值.

分析：不等式mxlnx-x+1≥0，易發現當x=1時，不等式左邊恰好等于零，又不等式mxlnx-x+1≥0在(0,+∞)上恒成立，畫函數簡圖可知x=1是函數h(x)=mxlnx-x+1,x∈(0,+∞)的極小值點，第一步h′(1)=m-1=0得“對任意的x∈(0,+∞),f(x)≥x-1恒成立”的必要條件m=1；第二步再證充分性.

解：(1)略.(2)對任意的x∈(0,+∞),f(x)≥x-1恒成立，即mxlnx-x+1≥0在(0,+∞)上恒成立，令h(x)=mxlnx-x+1,x∈(0,+∞).

兩步求解：

第一步：由于

第二步：下證當m=1時，h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.

當m=1時，h′(x)=lnx，當x>1時，h′(x)>0,當0

點評：第一步觀察函數的零點、極值點等特殊點，借助函數的極小值點x=1確定“對任意的x∈(0,+∞),f(x)≥x-1恒成立”的必要條件m=1；第二步將m=1代入易證不等式xlnx-x+1≥0在(0,+∞)上恒成立.

超越函數(三角函數、對數函數以及變量在無理數冪所表示的函數)與初等函數經過四則運算形成的不等式，對于這類不等式高中階段只能借助觀察法取特值求解，所以解答這類題型時迅速確定自變量取哪個特值是關鍵.命題人在命題時一般會將自變量的特值作為區間端點或隱藏在給定的區間中.本文從命題角度入手，利用區間端點得到不等式恒成立的必要條件，或觀察不等式中函數的特征可以確定自變量的特值，借助這個特值得到不等式恒成立的必要性，再證不等式恒成立的充分性，從而確定參數的范圍.