對“設而不求”的解答分析與思考

唐俊濤

江蘇省吳縣中學 (215151)

1.問題呈現

在高中數學解題過程中，有一類題型需要設置一些題目中沒有直接給出的變量，而這些中間變量可以通過相應的化簡變形進行消除、或整體代換，對最終的結果起到了重要的銜接作用，這就是我們常講的數學中的“設而不求”.

而高中階段我們最為熟悉的“設而不求”題目就是圓錐曲線中的一種解題方式，往往過程是：聯列直線與圓錐曲線的方程，消元得到關于x或y的一元二次方程，設出直線與圓錐曲線的交點坐標(x1,y1),(x2,y2)，利用韋達定理得到x1、y1、x2、y2的關系，從而解決相應的問題.其實“設而不求”并非只是處理解析幾何問題中的通性通法，在很多數學“板塊”中都能適用.作為教師，對此應該要有全面的認識，不可以以偏概全，更不能絕對化.可是在實際課堂教學過程中，教師往往把“設而不求”變成了一種“固定的模式、不變的套路”，學生在解題過程中常常是“死記硬背、套用模式”.長此以往學生的解題能力并沒有提高，相反如此長期訓練還抑制了學生的思維發展，這樣的教學未免有失偏頗.其實我們應該摒棄一些陳舊的、定勢的思維，努力培養學生多元化的創新思維.

2.題型匯總

筆者將常見的設而不求問題進行了分類和總結，供大家參考，同時也希望能得到專家同行的指點.

2.1 解析幾何中的設而不求

解析幾何中的設而不求往往是為了避免坐標的繁瑣，通過尋找橫縱坐標之間的關系，從而簡化運算的一種方案.

圖1

例1 點A(-a,0),

(1)求橢圓的方程；(2)過點C任意作一條直線PQ與橢圓相交于P，Q，求PQ的取值范圍．

本題是典型“設而不求”在直線與橢圓中的應用.P(x1,y1),Q(x2,y2)的坐標在計算過程中沒有具體去求出，而是利用韋達定理整體去求出PQ的表達式，從而進行求解.這是常見“設而不求”的應用，也是學生最熟悉的一種“設而不求”的題型.當然在利用韋達定理時應該先確保聯立所得的二次方程有解，即△≥0.但上題中直線所過點C(0,1)在橢圓內部，所以可確保△≥0.

在解決此類題目時，學生解題的思路往往沒有問題，關鍵在運算上會出現問題，所以此類問題教學教師需要放手讓學生去獨立求解，自行突破運算化簡的“瓶頸”，這樣考試中遇到類似問題時，學生就能從容應對，提高運算的準確性.

例2并不是圓錐曲線中常用的“設而不求”.若設出直線方程與橢圓方程進行聯列后用韋達定理求解，則計算量會相當的大，而且表達式會比較繁瑣,學生進行處理時往往會“半途而廢”.反之如果設點坐標進行化簡求解，雖然字母較多，但表達式相對簡單，只需要合理的變形，突破要求量的“瓶頸”，解題就自然順暢、簡明很多.這也體現著“思維量大，運算量小”的特點，同時這也符合近幾年來高考壓軸題的命題趨勢.

當然在解析幾何中，設直線與設點往往都是可行的，這也需要學生通過一定的分析來選擇適當的解決方案，從而避開繁瑣的運算.

圖2

此題處理不僅可通過設直線求解，同時還可利用設點的坐標求解，當然在具體解答時可發現設點坐標相比設直線運算量要小，但是思維量要大.這就需要學生數學感覺更強，對選擇切入點的能力要求更高。正所謂“條條大路通羅馬，需要分清遠和近，多多思考找捷徑，重視思維提能力.”

2.2 三角函數中的設而不求

當然在“三角函數”板塊中當遇到所求角度并不是特殊角時，有時也需要設“輔助角”來進行過渡，這也是“設而不求”的方法.

解析：函數f(x)=2msinx-ncosx=

此類題型的特點就是題中“合一變形”后φ不是特殊角，所以學生在解題中就會陷入困境.事實上，只要對φ“設而不求”，讓其滿足題中條件即可.

2.3 函數零點中的設而不求

對于某些復雜函數的零點問題，并不能簡單的通過求解相應的方程來進行處理，此時該函數零點可以先將其設出，通過該零點滿足的方程或等式，整體代換，達到設而不求的效果，從而達到簡化數學運算的目的.

例4 (2013年全國卷理科)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).(1)x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；(2)當m≤2時，證明：f(x)>0.

解析：(1)略；(2)函數f(x)的定義域為(-m,+∞),由m≤2，可知f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)，所以原命題就變成只需證明ex-ln(x+2)>0.

2.4 方程同解中的設而不求

方程的根與函數的零點從數的角度是統一的，方程的根與函數圖像交點則是從形的角度是統一的.所以當圖像的交點相同時，則它們所對應的方程也應該是同解的.

本題中涉及的方程根的設而不求，并沒有用到前面所講的韋達定理來解題，而是利用了兩個方程的解相同，所以通過方程的對應系數相等或成比例解答，這樣的解題就避開了求解P、Q坐標這樣繁瑣的步驟.

3.總結反思

綜上分析，筆者認為只在圓錐曲線中涉及到“設而不求”是狹隘的，在三角、函數、方程等數學“板塊”中也常常會出現需要通過“設而不求”來解決的題型.

教師在教學“設而不求”內容的重點就是讓學生首先要了解“設什么”，“怎么設”，這是“設而不求”的核心；其次列式后如何根據所得的等式中提取我們題目中關鍵的信息，從而過渡到所需要的結果，這里需要學生有一定的變形、化簡、轉化的能力，這就是教師在教學過程中的重點，學生學習的難點.

就“設而不求“本身而言，它具備廣泛的應用性，教師在教學過程中應該拓寬學生的思維空間，不能讓學生產生定勢思維，應該引導學生全面地進行思考，獨立地進行解答，將各個數學知識板塊內容串聯起來，高視角思考問題，同時還能夠提升自身的解題能力與學科素養.