從諾貝爾經濟學獎看數學建模

韓寶燕

摘 要：從諾貝爾經濟學獎中的數學建模出發，闡述了數學建模在經濟領域中的應用現狀和前景，給出建立數學模型的基本步驟，最后給出養老數學模型，并進行分析。

關鍵詞：諾貝爾經濟學獎；數學模型；最后給出養老數學模型

一、從諾貝爾經濟學獎看數學建模

（1）諾貝爾經濟學獎

諾貝爾經濟學獎是1968瑞典銀行為慶祝建行300周年，決定從1969年起同樣以諾貝爾的名義，頒發經濟學獎。這個項獎的全稱是“瑞典銀行為紀念阿爾弗雷德·諾貝爾的經濟學獎（The Central Bank of Sweden Prize of Nobel in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel）”。除獎金來源不同外，諾貝爾經濟學獎的整個程序與其他諾貝爾獎的設置完全相同。

從諾貝爾經濟學獎得主的工作看來，經濟學獎的發展趨勢：日益朝著用數學表達經濟內容和統計學定量化的方向發展。并且經濟科學在經濟行為的數學規范和統計定量化的方向上已經越來越發展，用來解釋經濟增長、商情周期經濟波動及各種復雜經濟現象的分析工具也越來越強大。經濟學家對有關經濟戰略的經濟關系構造數學模型的做法，已經被證明是成功的并且是有效的。

（2）Klein的宏觀經濟模型

1980年諾貝爾經濟學獎授予Lawrence R Klein（克萊因），以獎勵他創立的宏觀經濟模型，并把它應用于經濟波動以及經濟政策的分析?？巳R因與哥德伯格（Arthur Goldberg）兩人合作完成了一套新的美國經濟模型，并稱其為克萊因-哥德伯格模型（Klein-Goldberg）。

克萊因在1950年發表的美國經濟模型有以下六個方程：

（?。┫M函數 ，

（ⅱ）投資函數 ，

（ⅲ）勞動需求 ，

（ⅳ）恒等式 ，

（ⅴ）恒等式 ，

（ⅵ）恒等式 ，

其中C是消費支出，I是投資支出，G是政府支出，P是利潤，W是個人收入，w是政府支出，K是資本儲備，T是稅收，Y是稅后收入，t是時間，u1，u2和u3是隨機干擾項。C，I，W，Y，P和K是相互依賴的內生變量，其他變量是預定的外生變量，其中方包括Pt-1，Kt-1和Yt-1。由此根據上述六個方程導出變量之間的關系。克萊因依據的是1921-1941年的美國數據。克萊因的早期論文主要是方法論性質的，比如他的第一個美國經濟模型，只有六個變量，而后來他又提出變量數目多于六個的模型。

克萊因于1980年同中國社會科學院合辦了一次計量經濟的暑期研習會，從這以后，中國的訪問學者也就來到費城。盡管其進展非常有限，但為LINK建構中國模型，并維持其運作，這也算有了一個好的開始。原來已有的中國模型，是有斯坦福大學的劉遵義（Laurence La）建立的。1984年，克萊因再度造訪中國，并繼續講授計量經濟方法。克萊因在中國臺灣地區就建構了和LINK相容模型進行過類似的工作。

（3）Stigler文獻引證模型

1982年諾貝爾經濟學獎授予George Joseph Stigler，以獎勵他對行業結構、市場功能和公共監管的起因和效應的系統研究。

Stigler被認為是“信息經濟學”與“監管經濟學”的創始人。研究市場信息在市場中的作用，就是信息經濟學的主題。比如人在購買房屋、家用電器、汽車一類的耐用品時，會廣泛收集信息，以便是自己買到最適合的商品。Stigler就把這樣的問題模型化為效用函數，這一數學觀念很快就得到廣泛的應用。

Stigler及其合作者對經濟學家在其論文中的引證作了詳細的統計分析。其中還對1886-1925年間和1925-1969年間的數據分別做了回歸分析，結果對前一時期得到：

（1.68） （0.60） （1.05） （0.05）

R???2=0.23，n=53。

其中圓括號中的數是t檢驗值，B是代表書的數量，A代表文章的數量，下標to05表示1905年以前，下標5，25表示1905-1925年間。根據這個模型，Stigler得到一個結論：從早起來看，書的重要性是文章的3倍。而且R2的值很低，這說明出版物的質量所起的作用要比它的數量所起的作用大得多。對于1925-1969年間的分析結果為：

（1.28） （2.09） （0.10） （1.89）

（3.37） （2.67）

R2=0.398，n=126。

根據這個模型，Stigler得到的結論是：從早期看來文章的影響會更大，而近期的書的影響力則遠遠不如前者，但近期文章的影響力卻在逐年上升。

（4）從諾貝爾經濟學獎看數學經濟建模的價值

從以上兩位諾貝爾經濟學獎得主的成績我們可以看出，數學建模方法應用于經濟領域，已經對經濟領域的各個方面產生了不可估量的影響，尤其是在經濟理論證明和指導實踐方面取得了跨越式的發展。將數學建模方法應用于經濟領域已經是不可阻擋的趨勢，并且其作用和影響也越來越受到人們的熱切關注。

二、構建數學經濟模型的基本步驟

（1）數學經濟模型建立的基本步驟

一般來說，要解決一個經濟問題，建構一個合理有效的數學模型主要有一下幾個步驟：

1.分析問題

對問題所給的條件和數據進行分析，明確要解決的問題。通過對問題的分析，明確所給的信息與那些知識有關聯，判斷可能用到的方法和工具，最好是能確定要解決問題的重點和關鍵所在。

2.模型假設

根據問題的復雜程度、建立與求解模型所使用的條件和方法，對研究的問題進行一些必要的合理的假設。在數學建模中，進行一些合理的假設不但能夠簡化問題，還可以限制求解方法和使用范圍。這也是評價一個模型的好壞的重要方法之一。提出的模型假設，既要起到是問題簡化和突出主要因素的作用，又要是問題不能過分簡單或特殊，必要時需要在建立模型的過程中對已經做好的假設進行不斷的修改和補充。

3.建立模型

通過假設對要研究的問題進行簡化、抽象，明確影響模型的諸因素，并找出主要因素，用數量和參數來表示這些因素。運用相關數學知識來描述問題中變量與參數之間的數學規律，列出數學表達式、表格或圖形。對上述表達式、表格或圖形進行數學處理，初步確定數學模型。

4.模型求解

利用數學相關知識和方法，使用已知數據以及觀測數據，求解模型中參數的近似值，從而初步確立模型。在求解過程中掌握一兩個數學軟件（如Matlab）會使運算更加簡便。

5.模型的分析、檢驗和應用

對所確定的模型參數在數學上進行誤差分析、模型對數據的靈敏性分析等。還需要把所得解及其分析結果翻譯回到實際問題，包括解是否合理適用，數學模型的解在實際問題中是否具有一般意義。若誤差較大或靈敏性不高，模型就必須進行調整修改，重復前面的建模過程，直到建立一個符合實際的合理有效的數學模型。

（2）養老保險模型

眾所周知，養老保險是保險中一個非常重要的險種，一般情況下保險公司將提供不同的保險方案供投保人選擇，或分析保險品種的實際投資價值。換句話說，就是分析如果所交保險費和保險收入，按年或者按月計算實際的利率是多少？

1.模型假設

因為繳費是按月進行的，所以這個過程可以按月進行劃分。假設投保人到第k月止所繳保費及收益的累計總額為Fk，每月收益為r，用p，q分別表示60歲之前和之后每月繳費數和領取數，N表示停交保險費的月份，M表示停止領取保險費的月份。

2.模型建立

在這個階段，離散變量Fk的變化規律滿足一下式子：

，

在這里Fk表示從投保人開始繳納保險費以后，投保人賬戶上的資金數，需注意我們關心的是在第M個月時，FM能否為非負數。如果為正，則表明保險公司獲得收益；否則，表明保險公司出現虧損。當它為零時，表示保險公司既沒有獲得收益也沒有出現虧損，即所有的收益全歸投保人，把它作為投保人的實際收益。由此可以看出，引入的變量Fk能夠很好的刻畫整個過程中資金的變化關系。尤其是引入的收益率變量r，雖然它不是要求的投保人的收益率，但是在問題系統中必須要考慮引入另外一個對象，即保險公司的經營效益。以此作為整個過程中各個變量變化的表現基礎。

3.模型計算

現以25歲起投保為例。假設男性平均壽命為75歲，則有p=200，q=2282，初始值為F0，可以得到：

，

在上述式子中，分別取k=N和k=M，并利用 可以求出：

，

利用數學軟件可以求出方程的根：r=0.00485。這里M=50×12，N=35×12。

參考文獻

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