數學模型在經濟領域中的應用

韓寶燕

摘 要：系統地介紹了構建數學經濟模型的方法，給出數學模型在經濟領域中的典型例子。說明了一個重要結論：數學建模方法在經濟領域中的使用不僅在現在，也必將在未來對經濟學的研究方法及經濟效益實現帶來前所未有積極推進作用。

關鍵詞：模型；經濟；經濟效益

當今時代是一個信息高度豐富的時代，其顯著特點之一就是數學的應用向一切領域滲透，進而產生了許多與數學相結合的新學科或邊緣學科，如：生物數學、經濟數學和地質數學等。而數學建模就是為了解決各種復雜問題而誕生的一種十分有效的數學手段。當代西方經濟就認為，經濟學的基本研究方法，是分析經濟變量之間的函數關系，建立有效的經濟模型，從中引申出新的經濟原則和理論進行決策和形勢預測，運用數學建模方法更好的解決經濟問題、獲得最佳經濟效益。近幾年來，世界各國在經濟方面取得的許多成就都證明：數學經濟建模會促進經濟的發展，帶來現實的生產效益，并對經濟決策科學化、定量化起到重要的影響作用。如果把經濟學研究中應用數學的程度分為四個等級：特強、強、一般和弱。則可以對獲得諾貝爾經濟學獎得主進行劃分：其中有56%的人可以被評為“特強”，占全體獲獎者一半以上；有29%的人被評為“強”；被評為“一般”和“弱”的人共占全體獲獎者的15%。這也從一個側面反映出數學學科于經濟領域的緊密結合促使經濟學研究更加發展，也反映出數學建模方法確實在實際的應用領域取得了十分豐碩的成果。可以預測，數學向經濟領域的逐漸滲透，必將使得經濟研究更加深入，經濟活動的目的更加容易實現。

一、基本概念：

經濟學，是一門研究如何有效配置與管理稀缺資源的理論。本文所涉及到的經濟學是指廣義的經濟學，包括宏觀經濟學、微觀經濟學、金融學、市場經濟學等。所謂的數學經濟建模，是指用來描述與所研究的經濟現象有關的經濟變量之間的依存關系的理分析方法。簡單地說，就是數學模型在經濟領域中的應用。

運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似描述和解決經濟活動中的實際問題，這種解決經濟問題的強有力的數學手段就是數學經濟建模。它是對客觀經濟事物間的空間形式和數量關系的一個近似反映。它對經濟世界的實際問題加以提煉，抽象為數學經濟模型，并求出模型的解，驗證模型的合理性，最終達到運用模型解釋現實經濟問題的目的。從經濟世界的現實來看，使用數學模型是經濟問題的描述變得清晰，語言精煉；邏輯推理嚴密精確，可以防止漏洞和謬誤，避免研究者被表面現象所蒙蔽；證明數據的數量化使得實際證明更具一般性和系統性；數學經濟建模方法的使用是經濟學研究者從已經有的數據中最大程度的獲取有用的信息。可以使經濟研究得到以前僅靠知覺和言語描述無法或不易得到的新結論；也使得國際間對數學經濟建模的交流和溝通更加便捷

二、構建經濟數學模型的方法步驟

一般來說，對于經濟學問題，構建一個合理有效的數學模型主要有以下步驟。

（1）深入了解實際問題，以及與問題有關的背景知識。

（2）根據研究的目的和任務，對所要研究的現象進行全系統的周密調查，以獲取大量的數據資料，并對數據進行分組整理。

（3）通過假設把所要研究的實際問題簡化、抽象，明確模型中諸多的影響因索，并找出主要因索，用數量和參數來表示這此因索。運用數學知識來描述問題中變量參數之間的關系，初步列出數學關系式。

（4）對數學關系式進行簡化、合并，最終確立數學模型。

（5）使用已知數據及觀測數據，利用相關數學方法求出所建模型中參數的估計值，從而確定模型。

（6）對所確定的模型參數進行偏差分析，把模型的結果與實際觀測進行分析比較，以考察模型是否符合實際問題。若偏差較大，模型必須進行調整修改，重復前面的建模過程，直到建立出一個經檢驗符合實際問題的模型。

數學經濟建模還可以用流程那樣簡明的形式來表示，概括起來，流程是由下面一些步驟組成的。

1.對現實經濟問題的原始背景有深刻的了解和深入細致的觀察，并從中抽出最本質特征的東西。即抓住主要因素，暫不考慮次要因素。從而得到原始問題的一個簡化了的理想化的自然模型。

2.根據已經掌握的經濟信息直接翻譯為數學術語，把理想化的自然模型表示成一個數學研究的題材———數學經濟模型。

3.運用數學知識，得到關于這個模型的一個解。這一步要求對某些數學技巧具有一定的基礎知識。為管理類的學生所學習的數學知識，提供了用武之地。

4.用理想化自然模型的術語對所得的解進行解釋和說明。

5.根據問題的原始背景對所得的解進行解釋和說明。

6.所得結果的有效性要加以驗證。如果由模型算出的理論值與實際值比較吻合，則模型是成功的。如果理論值與實際值差別很大，則模型是失敗的。如果理論值與實際值部分吻合，則應找原因，發現問題，修改模型。

三、數學經濟建模的價值

（1）經濟科學的發展需要數學建模方法的應用

在《經濟分析基礎》的中文版序言中，薩繆爾森說，不使用數理經濟學方法是“不能使人超越經濟科學的幼兒園的”。在現代，經濟理論工作者越來越清晰地認識到，經濟理論研究中級僅靠過去普遍使用的語言文字描述方法進行思辨式推理和分析，很難保證所研究的問題的規范性和推理邏輯的統一性和嚴密性，自然也就很難保證研究結果的準確性、易證性和理論體系的嚴密性。這就很不利于經濟科學知識準確地交流和傳播。而數學建模方法的使用，能使經濟學研究對象準確具體、經濟變量間的關系的數量化和確保邏輯推理過程的嚴密性，并最終在理論上保證所得結果準確具體。從而使所研究的經濟理論建立在堅實的數學科學基礎上，進而促進經濟科學的不斷發展。

經濟年來，數學建模方法在經濟領域中得到廣泛的應用和發展，而且對經濟學的的長足發展產生了深遠的影響。例如投入產出模型、經濟控制模型、經濟增長模型、博弈論模型等都是利用數學建模方法來解決或解釋實際的經濟問題的，它們對現代經濟科學的發展做出了十分重要的貢獻。

（2）數學建模的應用使經濟研究方法更加嚴密

縱觀經濟學發展，會清楚的發現經濟學的每一次重大突破，都與數學有著密切的關系。投入與產出模型的應用，使國民經濟各部門在生產過程中相互依存、相互制約的經濟技術聯系更加明確；最優化經濟模型，是現代經濟管理者在作出計劃安排、資源分配和最優組合等決策時最常用到的數學工具；計量經濟模型的應用，使經濟理論的研究有了重要的突破；在運用了博弈論之后，對不去認定性問題的分析就有了突破性的進展。數學建模方法不斷的應用于經濟學的過程，強化了經濟學與數學的聯系。與此同時，也在不斷改變著經濟理論研究者的思維方式和行為習慣，使人們的思維和行為更具嚴謹和定量的特性。因為數學是最嚴謹的一種邏輯形式，而又有一些人在運用語言是容易邏輯不清。這就要求經濟理論工作者在論述和交流中，從以往使用語言文字描述轉變為使用數學語言描述。就是應為數學語言比較簡練，表達概念時比較準確，聽的人也比較容易明白。并且數學語言具有邏輯嚴謹、沒有歧義和容易證明的優點。

四、典型數學經濟模型及其經濟效益分析----生產計劃問題模型

一家公司計劃制造兩種計算機產品：兩種計算機使用相同的未處理芯片，但是其中一種使用27英寸的顯示器，而另一種使用的是31英寸的顯示器，除了40萬元的固定費用外，每臺使用27英寸顯示器的計算機花費1950元 ，而使用31英寸顯示器的計算機需要花費2250元。制造商建議每臺使用27英寸顯示器的計算機零售價定為3390元，而使用31英寸的零售價為3990元。據營銷人員估計，在這些計算機的銷售市場上，一種類型的計算機每多銷售出一臺，每臺的價格就下降0.1元。此外，兩種類型的計算機的銷售會互相影響：每銷售一臺使用31英寸顯示器的計算機，估計使用27英寸顯示器的計算機的零售價會下降0.03元；每銷售一臺使用27英寸顯示器的計算機，估計使用31英寸顯示器的計算機的銷售價格會下降0.04元。現假設所有的計算機都可以銷售出去，那么應該公司安排生產計劃，才能時期生產利潤達到最大？

（1）模型分析

這是一個優化問題，其目標是使利潤最大化，要做的決策是如何安排生產計劃。即使用31英寸顯示器的計算機應該生產多少臺，使用27英寸顯示器的計算機應該生產多少臺。有兩個條件限制決策：一種類型的計算機每多銷售出一臺，它的價格就會下降0.1元；一臺類型的計算機的銷售也會影響另一種類型計算機的銷售。

（2）模型假設

1.設使用27英寸顯示器的計算機生產x1臺，使用31英寸顯示器的計算機生產x2臺。

2.pi為xi的零售價格，R為兩種計算機的零售收入，C為計算機制造成本，P為計算機零售的總利潤。

3.制造的所有計算機都可以售出。

4.每種類型的計算機的零售價都受自身臺數以及另一種類型臺數的影響，當兩種類型的計算機的臺數已經確定時，則兩種計算機的零售價格也相應的被確定。

（3）建立模型

約束條件：

，

，

兩種計算機總的零售收入： ，

兩種計算機總的的制造成本：

，

于是，所求的使獲利最大的目標函數為：

。

（4）求解模型

由于目標函數是一個非線性方程，故可以將該模型輸入相關軟件求解。輸出結果為： ，即生產4736臺使用27英寸顯示器的計算機，7063臺使用31英寸顯示器的計算機時可以使獲利最大。

五、前景展望

數學經濟建模在經濟領域中的應用已經取得了豐碩的成果，經濟學研究方法不斷改進更新，不斷貼近實際，不斷為使用者帶來可觀的經濟效益。在這樣的現實世界的經濟大背景下，數學建模方法的應用在經濟領域中已經占有相當重要的影響地位，并且在未來這種趨勢將更加明顯。數學建模方法在經濟領域中的使用不僅在現在，也必將在未來對經濟學的研究方法及經濟效益實現帶來前所未有積極推進作用。

六、總結

數學建模在經濟方面的應用在整合數學模型與經濟基礎知識的前提下，對不同的經濟狀況進行了，本篇論文在總結數學模型的歷史背景下，對數學模型在經濟領域的應用進行了整理和總結。這篇論文的本意是總結數學模型在經濟領域的應用，在將數學模型應用在經濟領域的同時，希望在其他領域也有所涉獵。因為現在是數據時代，我們生活中處處圍繞著數據，運用數學模型分析復雜的數據并應用到實際中將為我們的生活提供很大的幫助和便利。

參考文獻

[1]鄭玲.論數學建模在經濟領域中的應用[J].商情（教育經濟研究），2007，第2期：116+80.

[2]李勝玉.數學在經濟學中的應用[J].現代商業，2008，第18期：272.

[3]韓明.從諾貝爾經濟學獎看數學建模的價值[J].大學數學，2007，，第23卷第1期：181～186.

[4]陳金和.經濟活動中的數學建模[J].黃石高等專科學校學報，2000，第16卷第4期：47～49.