生物學視野下的教學論研究

姜正川

生物學視野下的教學論研究提出：知識如樹，知識具有樹一樣的生命性和生長性。知識是人類生命運動的產物，也是人類生命運動的記錄。我們可以把知識看作一種生命運動，知識的發生發展具有樹一樣的生命性和生長性。知識如樹，有樹根，樹桿，枝桿，枝葉，花果。知識樹有其自身的生命運動規律，最為典型的如語文知識和數學知識，語文的字詞句章，數學知識的整數，小數，分數，有理數，方程，函數等初等數學，一直到線性代數和微積分等高等數學，每一個知識內容，都有知識之根，都具有樹一樣的生命性和生長性。

我們先以數學教學為例，知識如樹，樹有根。在中小學數學學習的過程中，學生學習數學的知識之根是什么呢？

（1）學生熟悉的生活經驗是學生學習數學的知識之根。

數學研究的是現實世界中的數量關系和空間形式，數學中的有些知識，有時和學生熟悉的生活經驗有密切聯系。利用數學知識和學生的生活經驗之間的相互聯系，可以使抽象的數學變得直觀易學。

例如，在教分數概念的時候，常舉這樣的例子：把一個西瓜平均分成八等份，取其中的一份就是八分之一，記作1/8，取其中的三等分就是八分之三，記作3/8。把一張長方形的紙平均分成4等份，取其中的一份就是四分之一，記作1/4，取其中的三等份就是四分之三，記作3/4。

再如，在學習有理數加法法則時，先開展統計競賽結果的討論，規定贏的分數為正，輸的分數為負，請同學們統計以下比賽結果：（+3）+（-5）=？（-4）+（+6）=？（-5）+（+5）=？（-2）+（-3）=？（+2）+（+6）= ？。幾乎百分之百的學生都能統計出正確的結果。在學生實際上已經理解有理數加法法則的情況下，再學習有理數加法法則，學生很容易學好而且充滿信心和興趣。

學生們熟悉的生活經驗，是學生學習數學的知識之根。把一個數學知識和學生們熟悉的生活經驗結合起來學習和思考，學生很容易理解所學的數學知識。

（2）學生已有的知識經驗是學生學習數學的知識之根。

就學習的本質而言，學生的學習，一般總是利用已有的知識學習新的知識。一個新學的數學知識，如果和學生已有的知識經驗有密切聯系，就會變得容易學習。在新舊知識有密切聯系的情況下，學生的直覺、猜想、估計、比較、分析、轉化、感悟、發現、好奇、興趣等思維和情感的內部機制，往往會得到充分啟動。

例如，在教負數的概念時，在學生已有的知識經驗的基礎上提出新的問題：4-1=3，4-2=2，4-3=1，4-4=0，4-5=？實踐證明，幾乎所有的學生都會寫出答案等于-1。再接下來問學生：1-100=？27-53=？實踐證明，同樣幾乎所有的學生都能寫出正確的答案。在此基礎上，再引出負數的概念：小于0的數用負數表示。進而指出大于0的數為正數，小于0的數為負數，0既不是正數也不是負數，并且順勢提出數軸的概念和形數結合的思想方法，學生很容易學好所學的知識。

一位學者在回憶自己中學時代的學習時指出：自己中學時代覺得數學很容易學習，教自己的數學老師好像從來不講新的知識，上課總是和大家討論，我們已經掌握了什么知識，現在有一個新的問題，這個問題如何解決，師生交流討論解決新問題的過程就是學習新知識的過程，教師經常這樣教我們以已有的知識經驗來學習和研究新的知識，我們學習數學很容易而且很有興趣。

學生已有的知識經驗是學生學習數學的知識之根。教一個新的數學知識，設計教法時，盡量和學生已有的知識經驗結合起來學習和思考，學生們往往會很容易學好新的知識。

（3）動手操作的實踐活動是學生學習數學的知識之根。

數學中的有些知識，通過做中學，通過動一動手，會變得比較容易理解和掌握。

小學生剛開始學習數學時，利用10個手指來學習10以內的加法是一個典型的例子。教圓錐的體積等于等高的圓柱的體積的三分之一這個知識時，讓學生動手操作一下，分3次將圓錐中的米倒入等底等高的圓柱容器正好倒滿，學生通過動一動手，很容易掌握圓錐的體積公式。讓學生把一個粉筆頭向上拋出去，再看著粉筆頭落下來，進而使學生在頭腦中形成拋物線的初步認識。凡是學生動手操作而獲得的知識，總是直觀易懂，總會深刻而經久不忘。

2001年，教育部和國家科學技術協會共同倡導和推動了有重大意義的“做中學”科學教學實驗項目，在幼兒園和小學進行基于動手做的探究式學習和教育。做中學的案例來源于生活，在兒童的生活中就地取材。引導兒童主動探究，親歷發現過程。

近年來，我們開展了平面幾何做中學的實驗，在小學開展平面幾何做中學的活動。如兩直線的位置關系有平行和相交，相交中的有垂直。什么是角，銳角、直角、鈍角、平角。余角和補角。對頂角，對頂角的性質和證明。三線八角中的同位角、內錯角、同旁互角。平行線的判定定理和性質定理，一直到幾何證明的基礎知識。所有的知識和大多數習題，都是學生動手操作，在動手操作中理解和掌握幾何初步知識。實踐證明，通過平面幾何做中學的活動，小學高年級學生可以熟練地掌握幾何初步知識和關于平行線的推理證明，這對他們進入初中后學習幾何要順利得多。

動手操作的實踐活動是學生學習數學的知識之根。研究和實踐表明，通過“做中學”的活動，數學不僅變得容易學習。而且學生在做中學獲得的知識，由于在學生自身的親自經歷中獲得，常常可以內化為人的終身難忘的科學素養和文化素質。

（4）數學知識的本質是學生學習數學的知識之根。

有些數學知識比較抽象，學生比較難學。在這種情況下，有時候，直接揭示數學知識的本質，學生對數學知識的理解會變得比較容易。

上世紀八十年代跟隨錢學森從事思維科學探究，以研究“相似論”著稱的張光鑒先生，經常提起這樣的例子：SinA是什么？學生比較難學。教師應當直接告訴學生SinA這個數學符號的本質。SinA就是在一個直角三角形中，銳角A所對的直角邊和斜邊的比。你揭示了這個本質，看似復雜的三角函數，小學生都很容易理解和學習。另一位學者舉了物理學中壓強的例子。他提出，壓強是什么？壓強是壓力和面積的比，學生很容易理解，也很容易計算壓強。再舉一個極限的例子，先和學生一起研究0.999……為什么等于1。對于0.999……=1，學生理解起來總會有一些困惑，總感到0.999……怎么會等于1呢？通過揭示本質的方法，向學生提出兩個思考途徑。第一途徑：0.999……無限地接近1。可以看作0.999……和1之間距離為0，所以0.999……=1。第二途徑：0.999……=0.333……乘以3=1/3乘以3=1。通過以上二個途徑的思考，學生很容易理解0.999……的極限等于1。

數學知識的本質是學生學習數學的知識之根。有時候，揭示數學知識的本質，學生很容易理解所學的數學知識。

（5）數學知識之間的相似規律是學生學習數學的知識之根。

數學的許多知識之間，存在著廣泛的相似性特點，有的是基本原理的相似性，有的是解題思想方法之間的相似性。利用數學之間的相似性規律，可以使數學變得容易學習，

上世紀八十年代，我國著名科學家錢學森在全國組織和發起了思維科學研究。張光鑒先生在思維科學研究中提出了相似論，得到了錢學森的肯定。《相似論》一文，被編入錢學森主編的《思維科學》一書。張光鑒先生在相似論中提出：一切事物都是以相似為中介而聯系的。一切創造，無論是自然界的創造還是人類的創造，都是基于某種相似而進行的。事物包含的相似功能越多，其作用就越大，應用就越廣。

數學的某些知識之間，存在著廣泛的相似性。例如，單位相同才能相加減，這是加減法的基本原理。整數加減法強調數位對齊，小數加減法強調小數點對齊，分數加減法強調先通分，分數單位相同后再相加減，整式的加減強調同類項才能合并，分式的加減也是強調先通分，化成同分母分式后再相加減等等，都是基于單位相同才能相加減。整數、小數、分數、整式的加減法法則，看似各不相同，但基本原理都是相似的。小數除法法則和分數除法法則看似根本不同，但它們的推導方法都可以根據被除數和除數擴大相同的倍數商不變的性質而得到。數學的知識之間存在著廣泛的相似性，如學好整數的運算，就容易學好小數和分數的運算。學好一元一次方程就容易學好二元一次方程和一元二次方程。學好幾何中的三角形就容易學好四邊形。所有這些，都是因為數學的知識之間存在著廣泛的相似性和內在的密切聯系性。在數學的學習過程中，人們經常強調舉一反三，觸類旁通，萬變不離其宗，這里的舉一反三的“一”，觸類旁通的“類”，萬變不離其宗的“宗”都是數學的知識和數學的方法之間存在著廣泛的相似性的具體體現。因為知識之間的相似聯系是一種事實存在，所以人們在學習數學時才會有比較、轉化、歸納、遷移、聯想、想象等思維方法。

數學知識之間的相似性規律是學生學習數學的知識之根。它為我們的數學教學提供了兩個重要的啟示。第一，根據數學之間的相似性規律來設計數學教學內容的編排，可以使數學容易學習，有時可以節省大量時間。第二，在數學的知識之間有相似性聯系時，教師揭示這種相似性，學生對數學的理解就會容易很多。

（6）數學基礎和數學思想方法是學生學習數學的知識之根。

數學的知識有時比較復雜，數學的習題很多而且有許多變化。如果真正幫助學生打好了基礎，如果幫助學生掌握了數學思想方法，學生學習新的知識和思考復雜的數學問題，就會有一個較好的基礎和基本的方向和思路，就會以不變應萬變，就會容易學好數學和容易解決所面臨的數學問題。

學生的學習，總是以已有的知識經驗來學習新的知識。在教學過程中，新知識的學習一般總是基于學生已有知識經驗而展開的。因此，學生的基礎顯得極為重要，基礎好，新知識的學習必然容易。在該打基礎的地方一定要幫助學生打好扎實的基礎。乘除法的基礎好，學生學習約數和倍數等數的整除性知識就會十分容易。約數和倍數方面的知識基礎好，學習通分和約分就會十分容易，進而到初中學習分式時就會很容易。一元一次方程的基礎打得好，學習二元一次方程組必然容易。這里所說的基礎，除了基礎知識和基本技能以外，還有許多極為重要的內容，如良好的學習習慣，科學的學習方法，較高的思維品質和情感品質等等。

數學教學幫助學生打好堅實的基礎，包括不斷幫助學生掌握數學思想方法。常用的數學思想方法，如類比的方法，化歸的方法，歸納的方法，分類討論的方法，形數結合的方法等等。每一個數學知識點的學習，每一個數學題的解答，都和一定的數學思想方法有關。以初中數學為例，學生進入初中學習數學，一開始學習有理數概念就碰到分類討論的思想方法，接下來學習絕對值概念時又會碰到分類討論的思想方法和形數結合的思想方法。教師在教學過程中經常向數學思想方法和哲學理論升華，幫助學生掌握數學知識的本質和結構，幫助學生掌握數學知識的相互聯系和規律，學生學習數學知識就會比較容易。

綜上所述，學生熟悉的生活經驗，學生已有的知識經驗，學生的實踐活動，數學知識的本質，數學知識之間的相似聯系，數學基礎和數學思想方法，是學生學習數學的知識之根。在現實的中小學數學教學活動中，當我們教學一個新的知識時，把這個知識和其相應的學生學習數學的知識之根聯系起來而設計教學的過程和方法，數學的教學就具有了樹一樣自然的生命性和生長性，這樣的數學教學就會事半功倍。知識如樹，學習如樹。基于知識如樹和學習如樹的教學方法，適用于數學教學，也適用于其他學科的教學。