淺談平方差公式和應(yīng)用比例的推廣

花星遠(yuǎn)

【中圖分類號】G632 ??????【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）11-0116-01

數(shù)學(xué)來源于生活，同時也應(yīng)用于生活。下面我對中學(xué)數(shù)學(xué)中的平方差公式和應(yīng)用比例的應(yīng)用推廣的一點(diǎn)看法。

近年來的中、高考都考學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力，考試的內(nèi)容偏多。對于數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的計(jì)算能力就贏得時間=贏得高或中考。

二十世紀(jì)八十年代初，正值我們孩提之時，從當(dāng)時的《十萬個為什么》中獲得尾數(shù)是5的兩位數(shù)的平方的快捷算法。當(dāng)時欣喜若狂，直到現(xiàn)在記憶猶新，此算法一直使用至今，終生受益。一些年后，當(dāng)時常講授到平方差公式時，偶然發(fā)現(xiàn)原來我們當(dāng)年學(xué)的尾數(shù)是5的兩位數(shù)的平方的快捷算法，卻來自平方差公式，或是說平方差公式可以證明快捷算法的可靠性、正確性。

由a2-b2=（a+b）（a-b）→a2=（a+b）（a-b）+b2

于是有例852=（85+5）（85-5）+52=90×80+52=7225

這里我們把90×80暫稱為前積A，52稱為后積B，容易看到：前積A=90×80，正好是85首位80與10的和乘以首位80.為了書寫方便，省去零，寫成如下形式，即

〖XC33.JPG;%29%29〗

歸納：

尾數(shù)是5的兩位數(shù)的平方等于首位數(shù)乘以首位數(shù)與1的和作為前積，續(xù)寫25為后積。

推廣1：任意兩位數(shù)的平方可化為一位數(shù)乘以兩位數(shù)，再續(xù)寫后積。

例：

782=（78+2）（78-2）+52=80×76+4=6084

712=（71+1）（71-1）+12=70×72+1=5041

492=（49+1）（49-1）+12=2400+1=2401

這里要說明的是底數(shù)應(yīng)選較靠近的整十為基數(shù)，使計(jì)算容易一些。如上面的492的49靠近50，所以選50，而不選492=（49+9）（49-9）+92

同理，712的71靠近70，故712=（71+1）（71-1）+12=5041

推廣2：首位數(shù)相同，尾數(shù)和為10的兩位數(shù)的積，也可仿照尾數(shù)是5的兩位數(shù)平方的方法進(jìn)行計(jì)算。

例：

〖XC34.JPG;%29%29〗

證明：因?yàn)槲矓?shù)和為零，所以這些尾數(shù)分別是1和9、2和8、3和7、4和6、5和5，他們的中位數(shù)得5。那么首位相同尾數(shù)是5是兩個因數(shù)的中數(shù)。如13×17，中數(shù)是15，98×92

中數(shù)是95.我們設(shè)這個數(shù)為C，中數(shù)和這兩個因數(shù)的差是±D=±（0，1，2，3，4）;兩個因數(shù)分別是C1、C2

〖XC35.JPG;%29%29〗

〖XC36.JPG;%29%29〗

中學(xué)數(shù)學(xué)要求學(xué)生們熟記1-100的平方，對于一些忘記或模糊的答案，或求類似上面的兩個因數(shù)的積，我們用上面的方法就可很快地找出正確的答案。

用比例解應(yīng)用題是小學(xué)高年級常用到的，到了中學(xué)又經(jīng)常用比例來解相似三角形，大家并不陌生。下面再以勻速運(yùn)動為例談?wù)劚壤膽?yīng)用。

例1：甲乙二人在400米環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，同時從同一起點(diǎn)出發(fā)，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，已跑幾圈后，甲可超過乙一圈？

分析：他們所需要的時間是相等的，所以〖SX（〗S乙〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗V甲〖SX）〗

推出〖SX（〗V甲〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗，〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗=〖SX（〗圈長×圈數(shù)甲〖〗圈長×圈數(shù)乙〖SX）〗，因?yàn)槿﹂L是定長且相等，

所以〖SX（〗S甲〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗圈數(shù)甲〖〗圈數(shù)乙〖SX）〗。

解：設(shè)乙跑X圈，甲可超過乙一圈，得〖SX（〗X〖〗X+1〖SX）〗=〖SX（〗4〖〗6〖SX）〗=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗，

解得X=2

答：略。

這里，圈長不論多少米，總有乙跑2圈，甲可超過乙一圈。

例2：兩船在湖的A、B兩處同時相對而行，距A處5公里時相遇后又繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)A、B兩處后又即時返回，距B處3公里相遇，問A、B兩處的距離？

分析：因?yàn)樵诤行旭偅煽词庆o水航行，水速為零，又把兩船的航速看作是勻速的，時間也相等，于是〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗=〖SX（〗V甲×t〖〗V乙×t〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗，即第一次相遇所走的路程比等于他們在第二次相遇時所走的路程比。

解：設(shè)A、B兩處的距離為X公里，得〖SX（〗5〖〗X-5〖SX）〗=〖SX（〗X+3〖〗2X-3〖SX）〗，解得X=2（X=0舍去）

答：略。

例3：一行軍隊(duì)的隊(duì)伍長8米，通訊員從排位追到排頭傳達(dá)命令后又回到排尾，這時隊(duì)伍正好前進(jìn)了8米，問通訊員走了多少路程？

分析：這道題看乎數(shù)字少，比較難解，其實(shí)和例2是一樣的，可用〖XC37.JPG;%30%30〗，即通訊員從排尾追到排頭傳達(dá)命令所走的路程與隊(duì)伍已走的路程比等于通訊員從排頭回到排尾的路程與隊(duì)伍繼續(xù)前行的路程比，也等于通訊員共走的路程比。

解：設(shè)通訊員追到排頭時，隊(duì)伍前進(jìn)了X米，得〖SX（〗X〖〗8+X〖SX）〗=〖SX（〗8-X〖〗X〖SX）〗，解得X=4〖KF（〗2〖KF）〗（負(fù)數(shù)舍去）

通訊員共走了8+2X=8（1+〖KF（〗2〖KF）〗）（米）

答：略。

上面例2、例3亦可用輔助未知數(shù)時間t列方程。

例2解法：設(shè)A、B兩處的距離為X公里，第一次相遇時用t小時，得

〖SX（〗X+3〖〗〖SX（〗5〖〗t〖SX）〗〖SX）〗=〖SX（〗2X-3〖〗〖SX（〗X-5〖〗t〖SX）〗〖SX）〗

例3解法：設(shè)通訊員追到排頭時，隊(duì)伍前進(jìn)了X米，用了t分鐘，列方程得：

〖SX（〗X〖〗〖SX（〗8+X〖〗t〖SX）〗〖SX）〗=〖SX（〗8-X〖〗〖SX（〗X〖〗t〖SX）〗〖SX）〗

這兩個方程都除以t就與用比例列的方程相同。

上面三道題的共同點(diǎn)就是勻速前進(jìn)，其他外力不計(jì)。這樣，速度比等于相應(yīng)的路程比或圈數(shù)比，第一時間所走的路程與第二時間所走的路程成正比，可用比例列出等式求解。另外，還可多設(shè)一個輔助未知數(shù)，這樣列出方程更清晰一些，而這個輔助未知數(shù)容易給人一個錯覺，即一個方程兩個未知數(shù)，它的解是個不定解。其實(shí)這個輔助未知數(shù)只起到過渡作用，只要方程兩邊都除以（乘以）這個輔助未知數(shù)，方程就變成比例的形式。

用比例解應(yīng)用題，在中學(xué)階段，在我們現(xiàn)實(shí)生活中是不可忽略的。

總的來說，生活中的數(shù)學(xué)是取之不盡，用之不完的。