機床電主軸熱特性卷積建模研究

顏宗卓,陶濤,侯瑞生,3,杜宏洋,梅雪松

(1.西安交通大學機械制造與系統工程國家重點實驗室,710049,西安;2.西安交通大學機械工程學院,710049,西安;3.河北工程大學機械學院,056038,河北邯鄲)

在高速高精度機械加工中,機床熱誤差已經占到總誤差的40%～70%[1],主軸系統作為機床主要熱源之一[2],其熱特性一直受到相關學者的重視。在現有機床中,廣泛應用的電主軸系統存在發熱量大、熱變形規律復雜等問題,其熱特性的建模工作對提高整個機床精度有重要意義。

目前,機床主軸系統的熱特性建模方法與機床熱特性建模方法基本一致,主要有理論熱特性建模和經驗熱特性建模兩種[3]。國內外學者在此方面進行了大量的研究,例如:Chen等通過確定主軸功率、對流換熱系數與軸承油膜的影響,建立了立式車床的主軸熱仿真模型[4];Yang等以一維桿為例對熱特性的偽滯后現象進行了研究,建立了熱誤差的動態OE模型[5];楊建國等對主軸熱特性偽滯后現象進行了研究,在實驗與仿真中確定了建模溫度測點位置[6];仇健等提出了減小主軸熱誤差的熱源分布控制法、熱平衡法和誤差補償法3種措施[7];Huang等根據晶體的熱膨脹理論,建立了一維桿拉伸與彎曲的熱變形模型[8];文獻[9]通過主軸溫度變化規律確定主軸箱的代表溫度,建立了主軸開關機階段的縱向伸長熱誤差模型;文獻[10]提出一種動態線性化的建模方法,建立歷史溫度數據驅動的熱誤差模型,并根據實測溫度拐點和變形拐點的時間差確定采樣計算間隔;施虎等通過有限元仿真確定電主軸的溫度變形敏感區域,篩選出溫度變形敏感點,建立電主軸熱誤差模型[11];Tan等運用傅里葉合成、時間序列分析和牛頓冷卻定律相結合的方法,建立了環境溫度與大型機床熱誤差之間的分析模型[12];代貴松等以自然指數為基本形式,結合熱平衡時間與穩態誤差建立了電主軸的誤差模型[13];曹永潔等運用主因素和互不相關因素策略進行了主軸建模溫度點的選取[14];林偉青等提出了基于最小二乘支持向量機進行數控機床熱誤差建模預測方法[15];苗恩銘對多種機床熱誤差模型的穩健性進行了分析,并證明了利用最小二乘支持向量建模具有較好的穩健性[16];Liu建立了徑向漂移與溫度之間的關系模型[17];孫志超等針對車床主軸和進給軸耦合熱誤差進行分析,用模糊聚類選擇了建模溫度點[18];Hou等對包括主軸在內的多個部件的物理特性進行分析,確立了建模溫度點,并使用多目標遺傳算法對模型進行了優化[19]。

目前,電主軸系統熱特性建模難點是在開機初期與升降溫拐點處等非熱平衡階段出現的偽滯后與非線性等問題[5-6]。上述研究一類通過理論與有限元分析獲得溫度場和熱變形規律,通過敏感區域選取等方法建立熱特性模型;另一類通過廣泛布置溫度測點,選取非線性影響最小溫度點進行建模。以上兩種研究方法提供了溫度敏感點建模基本思路,但電主軸系統結構復雜,邊界條件多變,有限元與理論分析難以獲得準確且實用性強的模型,而溫度測點布置又受到機床結構與運動關系的限制。

本文提出了一種卷積建模方法,通過熱源溫度變化量與響應函數的卷積,近似描述電主軸系統各部分溫度值,并通過模型系數優化,進行建模溫度獲取,以此為基礎建立了熱誤差補償模型。此方法降低了對傳感器位置的要求,并提高了非熱平衡階段的建模精度。

1 電主軸熱特性

電主軸系統熱特性的一種研究方法是,通過分析一維桿在單端恒定熱源加熱情況下的微分方程,研究其熱特性變化規律,并應用在主軸系統熱伸長的建模中。一維桿模型如圖1所示,左邊為單端恒定熱源,此情況下一維桿的導熱方程表示為[5]

(1)

式中:λ是桿的熱導率;Ac是桿橫截面面積;T是桿溫度;ρ是桿密度;c是比熱容;h1是圓柱面對流換熱系數;L是桿圓周長度。

圖1 一維桿模型簡化圖

實際計算時忽略了圓柱面的對流換熱,因此最終x1和x2關系為

T(x2,t)=α(x1,x2)T(x1,t-φ(x1,x2))

(2)

式中:α(x1,x2)=exp(-β(x2-x1))表示的是x1到x2溫度幅值的衰減程度;φ(x1,x2)=β(x2-x1)/ω表示溫度從x1到x2的傳播時間延時。

此種簡化方法忽略了熱源隨時間的變化和圓柱表面的散熱,最終結果將不同點的溫度關系描述為幅值變化和時間滯后。

另一種研究方法是,在研究主軸的軸向膨脹時,將主軸視為一個整體來建立整體導熱方程[9]

(3)

Qout=TmSa

(4)

式中:Qin表示軸承生熱量,在轉速恒定的情況下認為是一個隨時間不變的常量;Qout表示向外界的散熱量;Tm是主軸整體溫度;S是主軸散熱面積;a是熱擴散系數;t為時間;m為質量。修正后的主軸整體升降溫公式為

(5)

(6)

式中:Tup為升溫整體溫度;Tdn為降溫整體溫度,TE為環境溫度;B取決于初始條件,pup1和pup2為升溫修正系數;pdn1和pdn2為降溫修正系數。式(6)借助自然指數形式對主軸整體溫升做了預測。

上述兩種方法均在主軸熱伸長模型中得到應用,并取得了良好的效果。在實際運行中,電主軸在圓柱側面增加了散熱肋板等結構,并采取強制對流等冷卻措施,散熱效率比自然對流大大增強,影響了主軸內外溫度梯度,對徑向(如y方向)熱誤差變化造成很大影響。因此,電主軸圓柱側面對流換熱的影響應當考慮,需要對上述模型進行優化。

2 卷積建模方法的提出

2.1 機床電主軸傳熱模型簡化

本文的研究對象是海德曼公司T65型電主軸系統,包括電機系統和外部箱體部分,轉速區間為0～5 000 r/min,正常運行功率為22～26 kW。主軸的內部結構如圖2所示,前部采用圓柱滾子軸承和推力角接觸球軸承,主軸后端采用圓柱滾子軸承,電機部分在主軸的中后部,周圍是冷卻液流動循環的水槽。外置冷卻系統提供電主軸系統圓柱側面的強制空冷,中部冷卻泵提供內部電機的循環冷卻。電主軸系統外觀如圖3所示,圓柱側面設計有散熱肋板,前后端面沒有設計冷卻措施。電主軸系統兩端面面積共0.28 m2,側面積約為1.15 m2,在同種條件下,空氣強制對流換熱系數一般為自然對流的5倍以上,假設主軸表面溫度一致,在冷卻系統開啟時,主軸端面換熱效果僅為柱面的1/20或更小。

圖2 電主軸內部結構

圖3 電主軸系統外觀

因此,本文將電主軸系統(包括箱體的圓柱部分)簡化為一個空心圓柱,假設軸承和電機熱量沿圓柱內表面均勻分布,忽略端面的換熱并視為絕熱狀態,并且相同半徑圓柱面的溫度相等,用于傳熱規律分析。簡化結果如圖4所示。

圖4 電主軸簡化模型

2.2 溫度卷積建模原理

在圖4中的截面截取AB段進行傳熱分析。由于相同半徑圓柱面溫度相等,因此AB段各點垂直半徑方向無熱量傳遞,視為絕熱狀態,與圖1一維桿狀態類似。假設AB段由n個連續的微元組成,如圖5所示,且在開始時整體與環境為均勻溫度T0。

圖5 AB段微元簡化圖

以a、b和c這3個微元為代表分析傳熱規律,假設在開機后的某一時刻,微元a溫度突然上升為Ta,u,相鄰微元b此時導熱方程式為

(7)

式中:Tb為微元b的溫度,Tc為微元c的溫度,Tc隨Tb的變化而變化;λ為導熱系數;δ為微元的長度。此時根據文獻[5]結論,把微元a視為熱源,忽略時間延時的影響,將微元b和微元c溫度簡化為純比例關系,可認為下式近似成立

Tb-Tc=C1(Tb-T0)

(8)

(9)

最終,求得Tb的表達式為

(10)

其中

假設T0保持不變,并將Ta和Tb初始值溫度T0代入式(10),求得Tb的表達式為

(11)

式中:ΔTa為Ta,u-T0。式(11)表示a作為熱源時,b的溫度Tb與a溫度變化量ΔTa的響應關系。

假設在tk-1時刻之前,電主軸AB段整體溫度不變,在tk時刻,微元a的溫度Ta上升ΔTa,k,在tk+1時刻,Ta的溫度上升ΔTa,k+1,則tk+2時刻ΔTa,k和ΔTa,k+1對b的溫度影響分別為

(12)

(13)

(14)

g(t)=1-exp(-εt)

(15)

假設t0時刻開始,微元a溫度在不斷變化,在tk時刻,溫度Ta,k可看作是t1～tk-1每個時刻溫度階躍變化量ΔTa,i的疊加,其中i=1,2…,k-1。ΔTa,i對Tb在tk時刻的響應使用式(14)和(15)的乘積計算。溫度Tb在tk時刻的值為t1～tk-1時刻的ΔTa,i在tk時刻對Tb響應結果的疊加,是Ta在t1～tk-1時刻的ΔTa,i代入式(14)計算終值與式(15)的卷積,公式如下

(16)

但是,式(16)只能推測a和b相鄰微元的溫度,因此必須提出表示Tb變化的方法。

本文提出以下設想:存在系數u,使得電主軸熱源溫度Ts與Ta、Tb存在如下的近似關系

u(Ts-Tb)=Ta-Tb

(17)

此時式(9)可替換為下式,建立近似導熱關系式

(18)

為驗證式(17)的假設在電主軸中各個方向是否成立,設計如下實驗:在主軸側面布置5個溫度傳感器Te1～Te5,Te1布置在靠近軸承處,代表軸承熱源的溫度,由于軸承是旋轉零部件,認為內圈溫度近似相等。由于電主軸系統邊界處溫度變化規律與熱源的差異較大[5],因此布置Te2和Te3兩個緊鄰測溫點在正下方靠近邊界處,Te4和Te5兩個緊鄰測溫點在斜下方靠近邊界處。Te2和Te4代表圖5中微元a,Te3和Te5代表微元b。各傳感器位置如圖6所示。

電主軸首先以2 000 r/min運行360 min,此時表面為強制對流換熱,然后進入降溫狀態,表面變為自然對流換熱。實驗數據如圖7和圖8所示,圖7為5個傳感器的原始數據,圖8為幾個溫差的比值,由于傳熱存在惰性時間,因此對遠離熱源的4個溫度數據在計算比值時做了相應的時移。在升降溫拐點處,主軸系統換熱條件發生強制對流向自然對流的突變,導致圖中360 min出現了突跳現象。

圖6 驗證試驗傳感器布置情況

圖7 實驗中5個傳感器原始溫度

圖8 實驗溫差比例關系

由圖8所示,由于換熱條件的不同,圖8中的溫差比值也出現了突變,但在各階段溫差比值相對平穩。在升溫段(0～360 min)和降溫段,(Te2-Te3)/(Te1-Te3)可近似為0.52和0.5,(Te4-Te5)/(Te1-Te5)分別可以近似為0.45與0.3,除去開機和溫度拐點處10 min誤差稍大,為15%左右,其他階段誤差均不超過10%。因此在實際情況中,可認為式(17)假設近似成立,進而將對電主軸上某一點d(在此次實驗中d為e2～e5)的溫度Td的導熱方程近似表示為

(19)

為簡化計算,將uλ簡化為一個參數γ。

根據圖7結果,實驗中環境溫度基本不變,在研究溫度變化規律時將其作為常量進行處理。根據式(16)的結論和線性系統的疊加性,tk+1時刻Td的溫度為初始溫度T0與tk時刻之前Te1各時刻變化量ΔTe1(t)響應的疊加,是式(14)同響應函數的卷積與T0之和,表達式為

(20)

式中:h(t)為t時刻Te1的變化量ΔTe1(t)對Tm作用的終值;g(t)為輸入值ΔTe1(t)對時間的響應函數。

3 溫度建模預測與驗證

采用卷積法對上述電主軸的溫度實驗結果進行建模驗證,并通過粒子群算法優化計算公式中的系數。電主軸系統基本物性參數如下,鑄鐵的比熱容c為0.46×103kJ/(kg· ℃),微元長度δ在本實驗中取0.02 m,空氣強制對流換熱系數h取30 W/(m2·K)。以Te2為例,通過粒子群算法進行系數γ、Ca的優化計算。粒子群算法的輸入為ΔTe1=(ΔTe1(1),ΔTe1(2),…,ΔTe1(k)),其中ΔTe1(i)(i=1,2,…,k)為ti時刻溫度Te1的變化量。目標函數E是卷積計算結果與目標溫度測量值的最小二乘偏差,表達式為

(21)

表1 系數γ與Ca優化結果

圖9 采用兩種方法對Te3擬合效果的比較

圖10 采用兩種方法對Te5擬合效果的比較

在運行初始階段,由于電主軸系統尚未達到熱平衡狀態,是熱特性中偽滯后等非線性現象較為嚴重[6]且線性模型擬合效果較差的階段。因此,根據電主軸的溫度變化狀態,采用均方根誤差(RMSE)和預測精度(FA)指標[18],對前200 min和后400 min的建模效果分別進行評價,結果如表2和表3所示。由圖9、10以及表2、3結果可知,卷積法在前200 min擬合效果明顯好于線性模型,測點越遠離熱源時,非線性現象越嚴重,線性模型精度越低,最遠測點Te5溫度的線性擬合精度只有51.6%,卷積法的精度高達94.9%,預測精度大大提高。運行200 min后,電主軸系統逐漸進入熱平衡狀態,溫度變化量下降,整體溫度不均勻性減小,線性法與卷積法的擬合結果已無太大差異。

表2 電主軸運行前200 min線性法與卷積法結果的對比

表3 電主軸運行后400 min線性法與卷積法結果的對比

4 熱誤差建模預測與驗證

在前文中,卷積法更好地描述了機床電主軸的溫度規律。熱誤差是各部分發熱造成熱變形耦合的結果,在運行初始階段及升降溫拐點處,非線性現象同樣較為嚴重。以往建模是通過廣泛布置溫度測點或有限元仿真,運用模糊聚類等算法尋找合適建模溫度,并通過智能算法建立溫度和變形的關系,效果評價往往側重于整個運行階段,導致模型在運行初期與升降溫拐點處等階段的效果較差。

文獻[6]研究表明,在主軸熱源和邊界之間,存在描述熱變形效果較好的溫度點。溫度卷積算法可以通過熱源溫度較為準確地推算出熱源到電主軸邊界中間一點的溫度,這為尋找建模溫度提供了新的思路。獲得電主軸熱變形和熱源溫度后,在不布置大量測點的情況下,將熱源溫度變化量作為輸入,運用粒子群算法,以式(21)為目標,進行式(20)溫度卷積系數的優化,式(21)中目標由Te2變為熱變形測量值。隨后將熱源溫度代入優化后的式(20),即可通過卷積運算進行熱誤差預測,不同階段還可進行系數修正,提高模型效果。

4.1 實驗設計與測量方法

在實驗方面,采用ISO 230-3推薦的五點法測量主軸系統熱變形,通過傳感器與安裝檢驗棒的距離改變反映主軸變形。支架采用極小熱膨脹系數(常溫下為1.5×10-6m/ ℃)的殷鋼材料。變形測量選擇米銥電渦流傳感器,常溫下溫度誤差系數為0.125×10-6m/ ℃。溫度傳感器為A級精度PT100熱電阻,溫度測點位置如下:T1在電主軸系統前軸承離軸承套0.5 cm處,T2在后軸承處,T3和T4分別在電主軸前端和后端中部,T5和T6分別在前端和后端底部,T7在底座,T8測量周圍環境溫度。

實驗時,采用主軸連續起停運轉的方式,60 s為一個采樣周期。在一個周期內,主軸以恒定轉速連續運行55 s,然后停止5 s,用于電渦流采集數據。實驗轉速為2 000 r/min,先連續運行350 min至平衡狀態,然后切斷電源進行主軸冷卻,研究y方向的熱變形情況。

4.2 實驗結果與分析

電主軸系統溫度及y方向變形如圖11、12所示,y向熱變形是垂直方向各部分變形的累積,與熱源溫度存在偽滯后現象[6]。由圖6可知,主軸中心至正下方底部的尺寸比斜方向小,偽滯后現象稍輕,因此選擇前100 min和全時段進行建模效果評價。圖11、12中350 min處出現的數據突跳是換熱方式由強制對流變化為自然對流造成的。

圖11 電主軸運行溫度變化情況

圖12 y方向原始誤差與擬合效果

本文采用T1、T3、T5與T8進行粒子群線性建模,并與粒子群優化的卷積模型效果進行對比,結果如圖12、13所示。從整體效果看,線性模型與卷積模型效果區別不大。觀察前100 min(圖13)和溫度拐點處(圖12中350 min處)的擬合效果可知,線性模型的擬合出現了較大誤差。在前50 min線性模型的擬合精度僅有44.07%,前100 min為72.3%,并出現了明顯負補償的現象,而卷積法前50 min擬合精度為97.1%,前100 min時為98.7%。在熱特性非線性現象嚴重階段取得了比線性擬合更為顯著的效果,為電主軸熱誤差補償提供了一種新的解決思路。

圖13 電主軸運行前100 min擬合效果

5 結 論

本文通過機床電主軸理論傳熱分析與實驗相結合的方式,提出了一種電主軸系統熱特性的卷積建模方法,通過熱源測點溫度變化量與響應函數的卷積來近似推算主軸各部分溫度。在此基礎上,提出了以實驗熱源溫度作為輸入,以熱誤差預測精度為目標,通過粒子群算法進行卷積模型系數優化的熱誤差建模方法,將熱源溫度代入優化后卷積模型獲得熱誤差預測值。與以前研究結果相比,卷積模型在熱特性較為復雜的開機階段和升降溫拐點處有著更為準確的預測結果。在機床電主軸運行前200 min溫度預測中,效果最高提升了83.2%。在y方向熱誤差的預測中,將電主軸運行前50 min和前100 min的擬合精度由44.07%和72.3%分別提升至97.1%和98.7%。卷積建模法保證了熱誤差整體的建模精度,減小了溫度傳感器的布置需求,為熱誤差建模補償提出了一種新的思路與方法。機床加工的實際工況比電主軸系統更為復雜,卷積法應用需要更加深入的研究、修正與檢驗。