面向多品種小批量生產(chǎn)的貝葉斯動態(tài)質(zhì)量控制方法

陳鑫,陳富民

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710049,西安)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,用戶需求日益多樣化,多品種小批量生產(chǎn)已逐漸成為了制造業(yè)的主導(dǎo)模式[1]。然而,由于該種模式數(shù)據(jù)量少、產(chǎn)品參數(shù)多變等特點,傳統(tǒng)的統(tǒng)計過程控制(SPC)方法的應(yīng)用收效甚微。因此,如何有效解決多品種小批量生產(chǎn)的質(zhì)量控制問題成為當(dāng)前研究的熱點[2]。

近年來,國內(nèi)外學(xué)者在此方面進(jìn)行了大量研究。部分學(xué)者將擴(kuò)充數(shù)據(jù)量作為研究重點,如余忠華等提出了基于相似元的工序相似性分析方法,并應(yīng)用于SPC技術(shù)中[3];吳小勇引入了直覺模糊集理論來解決成組工序構(gòu)建中的相似性評判問題,將相似工序分類成組進(jìn)行分析[4];WIEDERHOLD等通過識別相似生產(chǎn)過程并將它們的數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類從而增加樣本量[5]。還有一些學(xué)者致力于質(zhì)量控制方法研究,如牛占文等針對多品種小批量生產(chǎn)模式下SPC應(yīng)用效果不佳的問題,提出結(jié)合應(yīng)用通用控制圖、累計和控制圖、指數(shù)加權(quán)移動平均值控制圖的解決方法[6];GU等分析了各種質(zhì)量控制方法的不足之處,提出了一種新型的t控制圖來監(jiān)測產(chǎn)品質(zhì)量[7]。

現(xiàn)有大部分研究只關(guān)注于歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)或當(dāng)前生產(chǎn)數(shù)據(jù)之一,產(chǎn)生了很大的信息浪費。貝葉斯理論從歷史數(shù)據(jù)等先驗知識中提取所需信息,結(jié)合現(xiàn)有數(shù)據(jù)就能有效解決多品種小批量生產(chǎn)模式下數(shù)據(jù)量少的問題。目前,已有一些學(xué)者將貝葉斯理論應(yīng)用于中小批量生產(chǎn)的質(zhì)量控制中,取得了一定的成果[8-10]。然而,此類研究大多只利用單一產(chǎn)品的質(zhì)量數(shù)據(jù),不太適用于多品種小批量生產(chǎn)模式。

針對新模式下的工序質(zhì)量控制問題,本文基于貝葉斯理論,提出了一種動態(tài)質(zhì)量控制方法。首先根據(jù)成組技術(shù)和統(tǒng)計變換從歷史生產(chǎn)批次中擴(kuò)充數(shù)據(jù)量作為先驗信息;然后融合指數(shù)加權(quán)思想,應(yīng)用共軛貝葉斯方法建模,計算相應(yīng)的工序能力指數(shù),隨著生產(chǎn)過程的進(jìn)行實時計算控制限,實現(xiàn)動態(tài)質(zhì)量控制;最后通過仿真比較本文方法與現(xiàn)有常用方法的優(yōu)劣,結(jié)果表明,本文方法在生產(chǎn)的各個階段都有更好的控制效果和異常檢出力,可為多品種小批量生產(chǎn)模式提供一種有效的質(zhì)量控制方法。

1 選取先驗信息

在開始質(zhì)量控制之前,應(yīng)該分析企業(yè)生產(chǎn)狀況,以確定需要進(jìn)行質(zhì)量控制的關(guān)鍵質(zhì)量特性等信息。針對關(guān)鍵質(zhì)量特性,根據(jù)成組技術(shù)收集過去一定時間段內(nèi)滿足要求的歷史質(zhì)量特征數(shù)據(jù),通過統(tǒng)計變換方法,使各批次歷史數(shù)據(jù)滿足“獨立同分布”的要求,然后以變換后數(shù)據(jù)作為貝葉斯建模的先驗信息。

1.1 成組技術(shù)

按照一定的相似性準(zhǔn)則將產(chǎn)品分類成組是成組技術(shù)的核心[11]。將成組技術(shù)應(yīng)用到多品種小批量質(zhì)量控制,企業(yè)應(yīng)該側(cè)重于對產(chǎn)品質(zhì)量影響較大的關(guān)鍵工序來制定相似性分類標(biāo)準(zhǔn)。

目前,相似工序的分類方法主要有4種:目測分類、生產(chǎn)流程分析[12]、編碼分類[13]、聚類分析[14]。企業(yè)應(yīng)根據(jù)實際情況選擇適合的方法,然后從人、設(shè)備、物料、方法、環(huán)境、測量6個方面[15]制定分類準(zhǔn)則,將相似工序分類成組。對關(guān)鍵質(zhì)量特性進(jìn)行質(zhì)量控制前,收集相關(guān)關(guān)鍵工序同組內(nèi)的歷史批次質(zhì)量數(shù)據(jù),作為備選先驗信息。

1.2 數(shù)據(jù)變換

由于各批次歷史數(shù)據(jù)來自不同品種的產(chǎn)品,不滿足“獨立同分布”要求中關(guān)于“服從同一個分布”的條件,所以需要對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行變換,使各批次數(shù)據(jù)具有相同的分布。

進(jìn)行數(shù)據(jù)變換的準(zhǔn)則有兩點:①消除不同過程均值所帶來的影響;②消除不同的公差帶來的影響。基于變換準(zhǔn)則,可以確定數(shù)據(jù)變換方式為

(1)

2 貝葉斯建模

2.1 制作控制圖

隨著生產(chǎn)的進(jìn)行,產(chǎn)生了n個質(zhì)量特征數(shù)據(jù),經(jīng)過數(shù)據(jù)變換后為{y1,y2,…,yn}=Y,假設(shè)Y的總體分布為正態(tài)分布N(μ,σ2),則控制圖控制限為

(2)

由式(2)可知,對質(zhì)量控制的效果主要取決于對超參數(shù)μ、σ估計的準(zhǔn)確程度。利用貝葉斯方法進(jìn)行動態(tài)建模能夠充分利用先驗信息,隨著生產(chǎn)過程的進(jìn)行,逐漸提高對μ、σ估計的準(zhǔn)確度,從而達(dá)到更好的質(zhì)量控制效果。

(3)

式中:nj為第j批歷史數(shù)據(jù)樣本容量。

由于多品種小批量生產(chǎn)條件多變,加工時間更接近當(dāng)前生產(chǎn)的歷史批次應(yīng)當(dāng)更能反映當(dāng)前的生產(chǎn)狀況,所以根據(jù)時間序列對各批次歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)加權(quán)。

由于多品種小批量生產(chǎn)的特性,各企業(yè)所采取的檢驗方式(全檢或抽樣檢驗)和抽樣方法不同,各批次數(shù)據(jù)量也可能不相同,故求取組間均值和組間方差時使用變樣本容量的計算公式。

上述兩方面相結(jié)合,可得歷史數(shù)據(jù)的組間均值與組間方差為

(4)

式中:k為加權(quán)系數(shù),一般取為(N+14)/14,N為平均各批次的生產(chǎn)天數(shù);m為先驗信息的歷史數(shù)據(jù)總批次。

(2)求μ、σ2估計值。由于μ、σ2為正態(tài)分布的超參數(shù),根據(jù)共軛貝葉斯理論[16],可設(shè)σ2的先驗分布為逆Gamma分布,記為IGa(α,β),μ的先驗分布為正態(tài)分布,考慮到μ和σ2間有相互影響,故其共軛先驗分布有乘積形式π(μ|σ2)π(σ2),其中

μ|σ2～N(a,b2);σ2～I(xiàn)Ga(α,β)

①估算σ2。對于σ2～I(xiàn)Ga(α,β),根據(jù)逆Gamma分布的性質(zhì),其期望和方差分別為

(5)

(6)

聯(lián)立(5)(6)兩式,可得

在得到當(dāng)前批數(shù)據(jù)Y后,根據(jù)共軛分布性質(zhì)可知,后驗分布形式與先驗分布相同,故可設(shè)

(7)

因此,可得σ2的貝葉斯估計為

(8)

②估算μ。對于μ|σ2～N(a,b2),由正態(tài)分布的性質(zhì),可得期望為

在得到當(dāng)前批數(shù)據(jù)Y后,根據(jù)共軛分布性質(zhì)可知

μ|σ2,Y～N(a′,b′2)

由共軛貝葉斯,可得(μ,σ2)的聯(lián)合先驗密度函數(shù)為

π(μ,σ2)∝

因此,μ的邊緣后驗密度

這是自由度為(2α+n)的t分布,其中

則可得μ的貝葉斯估計為

μB=E(μ|Y;μ1,μ2,…,μm)=a′=

(9)

(3)計算控制限。由于多品種小批量生產(chǎn)的數(shù)據(jù)量小,選用單值-移動極差(X-MR)控制圖,結(jié)合實時生產(chǎn)數(shù)據(jù),使用式(8)(9),計算σ、μ的貝葉斯估計值,求單值圖的控制限

移動極差的控制限為

(10)

(11)

2.2 工序能力分析

若當(dāng)前生產(chǎn)批次處于受控狀態(tài),應(yīng)該計算工序能力指數(shù),來判斷工序能力是否滿足要求。常用(雙邊公差)的工序能力指數(shù)計算公式如下

(12)

(13)

式中:Cp為分布中心與公差中心重合時的無偏移工序能力指數(shù);Cpk為有偏移工序能力指數(shù);μx、σx分別為原始數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)數(shù)據(jù)變換式(1),可知

(14)

將μ=μB,σ=σB代入式(14),然后結(jié)合式(13)可得工序能力指數(shù)計算式如下

然后,根據(jù)工序能力評價標(biāo)準(zhǔn)[17]進(jìn)行評判。

3 仿 真

以某柴油機(jī)加工車間的鏜噴油器孔工序為例,利用仿真生成數(shù)據(jù),比較本文方法與現(xiàn)有常用方法的優(yōu)劣。

表1 歷史質(zhì)量特征數(shù)據(jù)

3.1 分布參數(shù)估計誤差分析

應(yīng)用休哈特控制圖進(jìn)行質(zhì)量控制的效果主要取決于對分布參數(shù)估計的準(zhǔn)確程度,故通過仿真比較本文方法與兩種現(xiàn)有常用方法對參數(shù)μ、σ的估計情況,說明本文方法的可行性。

針對上述柴油機(jī)加工車間的質(zhì)量控制問題,兩種現(xiàn)有常用方法的處理過程如下。

方法1:通過成組技術(shù)、數(shù)據(jù)變換和假設(shè)檢驗方法,利用多品種的歷史批次擴(kuò)充數(shù)據(jù)量,每批歷史數(shù)據(jù)取5個,計算各批次歷史數(shù)據(jù)均值及標(biāo)準(zhǔn)差的平均值作為參數(shù)μ、σ的估計值,然后計算控制限,使用此固定控制限對工序質(zhì)量進(jìn)行控制。

方法2:利用當(dāng)前生產(chǎn)數(shù)據(jù)的均值與平均移動極差,計算μ、σ的估計值,隨著生產(chǎn)的進(jìn)行實時計算控制限。

具體仿真過程如下:

(2)根據(jù)表1,從母體取9批數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù);

(3)根據(jù)歷史數(shù)據(jù),按照方法1計算均值和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值μm1、σm1,求估計誤差的絕對值(如均值估計誤差eμ,m1=|μm1-0|);

(4)根據(jù)當(dāng)前批數(shù)據(jù),以方法2計算均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計值μm2、σm2,然后求估計誤差的絕對值;

(5)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和當(dāng)前批數(shù)據(jù),以本文方法計算μB、σB,求估計誤差的絕對值;

(6)從步驟(1)至(5)記為完成一次仿真,一共進(jìn)行1 000次仿真,求當(dāng)前批樣本容量為n時的平均參數(shù)估計誤差;

(7)令當(dāng)前批樣本容量n=n+1,返回步驟(1)。

隨著當(dāng)前批樣本容量的增加,3種方法對參數(shù)μ、σ的估計值平均誤差的變化見圖1。從圖1可以看出:方法1在生產(chǎn)初期誤差較小,在當(dāng)前批樣本容量較大時適用性較差;方法2只適用于當(dāng)前批樣本容量較大的情況;本文方法在整個生產(chǎn)階段都有更好表現(xiàn),并且隨著當(dāng)前批樣本容量的增加,估計誤差逐漸減小,較兩種現(xiàn)有常用方法有明顯優(yōu)勢。

(a)均值誤差

(b)標(biāo)準(zhǔn)差誤差圖1 分布參數(shù)估計平均誤差

由于方法1的準(zhǔn)確性依賴于歷史數(shù)據(jù)的可靠程度,當(dāng)歷史批次數(shù)據(jù)量減少或波動加劇時,方法1的控制效果顯著下降。由于多品種小批量生產(chǎn)的復(fù)雜特性可以預(yù)期,在實際生產(chǎn)中,本文方法的優(yōu)越性會更加明顯。

3.2 平均運行鏈長

平均運行鏈長(ARL)是評價控制圖性能的重要指標(biāo)[18]。生產(chǎn)過程處于穩(wěn)態(tài)時的平均運行鏈長記為LARL,0,生產(chǎn)過程發(fā)生異常波動時的平均運行鏈長記為LARL,1。LARL,0越大表示控制圖誤報率越低,LARL,1越小表示控制圖的漏報率越低,即異常檢出力越強(qiáng)。

據(jù)研究表明[19],當(dāng)累積和(CUSUM)控制圖的參數(shù)k=0.5、h=4.77時,其受控平均運行鏈長LARL,0與常用的休哈特控制圖相當(dāng)。因此,在該參數(shù)情況下,比較累積和控制圖方法與其他休哈特控制圖相關(guān)方法的LARL,1,以比較各方法的異常檢出力。

方法3(累積和控制圖):通過成組技術(shù)、數(shù)據(jù)變換和假設(shè)檢驗方法,利用多品種的歷史批次擴(kuò)充數(shù)據(jù)量,每批歷史數(shù)據(jù)取5個,計算各批次歷史數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的平均值作為分布參數(shù)σ的估計值σC,作累積和控制圖,其中參數(shù)K=0.5σC,H=4.77σC。

利用仿真方法估計從不同位置開始發(fā)生波動時本文方法及其他3種現(xiàn)有常用方法的LARL,1。仿真過程如下:

(3)分別應(yīng)用3種常用方法和本文方法進(jìn)行控制,計算從開始發(fā)生波動到控制圖報警之間的運行鏈長;

(4)從步驟(1)至(3)記為完成一次仿真,一共進(jìn)行1 000次仿真;

(5)計算各方法的LARL,1;

(6)令p=p+1,返回步驟(1)。

表2列出了隨著發(fā)生波動位置的變化,各種方法LARL,1的變化。

從表2可以看出,當(dāng)受控生產(chǎn)數(shù)據(jù)較少時,方法1的LARL,1與本文方法接近,均小于方法2與方法3。隨著受控生產(chǎn)數(shù)據(jù)的增加,本文方法的優(yōu)勢漸漸呈現(xiàn),LARL,1明顯小于其他3種方法。因此,當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生波動時,本文方法有更強(qiáng)的異常檢出力。

表2 幾種方法平均運行鏈長LARL,1的比較

4 結(jié) 論

結(jié)合成組技術(shù)、指數(shù)加權(quán)及貝葉斯理論的優(yōu)點,提出了一種動態(tài)質(zhì)量控制方法。首先使用成組技術(shù)和數(shù)據(jù)變換方法擴(kuò)充數(shù)據(jù)量作為先驗信息;然后結(jié)合指數(shù)加權(quán)思想及貝葉斯理論建模,并計算工序能力指數(shù);最后通過仿真驗證了該方法的有效性。與現(xiàn)有常用方法相比,本文方法在適用范圍、控制效果、異常檢出力等方面均有提高,一定程度上解決了多品種小批量生產(chǎn)模式下的質(zhì)量控制問題。在后期工作中,可以進(jìn)一步研究抽樣方法和分組準(zhǔn)則等因素對質(zhì)量控制的具體影響,進(jìn)一步提高多品種小批量生產(chǎn)的質(zhì)量控制效果。