改進(jìn)的6σ設(shè)計的螺旋錐齒輪加工參數(shù)反調(diào)修正方法

彭山東,丁撼,唐進(jìn)元

(1.中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國家重點實驗室,410083,長沙;2.中南大學(xué)機電工程學(xué)院,410083,長沙)

螺旋錐齒輪由于具有承載能力大、傳動比大、重合度高且能傳遞空間相交軸和交錯軸之間的動力等特點,成為航空航天、汽車、工程機械等領(lǐng)域中動力傳遞的關(guān)鍵部件。螺旋錐齒輪的形狀和性能對設(shè)備的使用壽命甚至安全性能有著至關(guān)重要的影響[1],因此關(guān)于螺旋錐齒輪的形性協(xié)同設(shè)計與制造是很有必要的。Artoni和Gabiccini考慮了齒面接觸印痕的系統(tǒng)優(yōu)化,并且基于齒面ease-off修正研究了傳動誤差的變化規(guī)律[2];Ding等提出了多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化系統(tǒng),研究了不確定載荷對螺旋錐齒輪加載接觸性能的影響[3-6];Deng等通過將齒輪制造技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)、信息和管理相結(jié)合,建立了基于網(wǎng)絡(luò)的螺旋錐齒輪制造模型[7]。隨著螺旋錐齒輪技術(shù)的發(fā)展,形性協(xié)同制造技術(shù)已經(jīng)通過現(xiàn)代信息和自動化技術(shù)相關(guān)聯(lián)而得到快速發(fā)展。Yang等利用web服務(wù)技術(shù)提出了一種新穎的信息集成服務(wù)平臺,可為齒輪的網(wǎng)絡(luò)化制造提供更好的服務(wù)和支持[8-9];Fung等通過將質(zhì)量功能部署(QFD)、層次分析和模糊集理論的原理融合到混合系統(tǒng)中,可以確定齒輪設(shè)計的目標(biāo)[10]。但是,由于螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造系統(tǒng)涉及到實際齒輪加工、真實齒輪測量、加工參數(shù)反調(diào)等諸多環(huán)節(jié),其整個系統(tǒng)流程繁雜而且穩(wěn)定性差[11],尤其以通用加工參數(shù)為驅(qū)動載體的智能化自動識別、控制及反饋過程,需要充分考慮整個設(shè)計流程、決策與處理、數(shù)值求解算法的協(xié)同匹配及優(yōu)化關(guān)系,實現(xiàn)整個系統(tǒng)的快速高效高質(zhì)量的參數(shù)驅(qū)動[5]。因此,本文在國內(nèi)外有關(guān)齒輪形性協(xié)同制造的基礎(chǔ)上,提出了一種改進(jìn)的定義-測量-分析-改進(jìn)-控制(DMAIC)框架,根據(jù)改進(jìn)的參數(shù)驅(qū)動關(guān)系形成改進(jìn)的6σ設(shè)計流程;同時引入魯棒性多目標(biāo)反調(diào)優(yōu)化方法,構(gòu)建螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造的多目標(biāo)反調(diào)優(yōu)化(MOO)模型,利用模糊QFD方法[12]將客戶對齒輪產(chǎn)品的需求(VOC)反饋轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的產(chǎn)品質(zhì)量信息(CTQ),建立相應(yīng)的質(zhì)量屋(HOQ),并采用MOO求解方法[13]求解MOO模型,得到加工參數(shù)對接觸性能的敏感性系數(shù),結(jié)合組成敏感性系數(shù)矩陣,分析得到基于6σ設(shè)計的加工參數(shù)反調(diào)量,保證齒面接觸性能評價項能夠滿足所設(shè)定的目標(biāo)要求,實現(xiàn)整個螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造的智能參數(shù)驅(qū)動;并以一對航空用螺旋錐齒輪為例,采用MOO方法對其進(jìn)行基于6σ魯棒性的MOO反調(diào)決策與優(yōu)化,得到了加工參數(shù)的反調(diào)量和齒面接觸性能的評價項參數(shù)值。

1 加工參數(shù)驅(qū)動決策的流程優(yōu)化設(shè)計

1.1 改進(jìn)的DMAIC框架

在基于6σ設(shè)計的螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造智能參數(shù)驅(qū)動決策與處理中,存在著依托于有限元仿真齒面載荷接觸分析(LTCA)平臺的設(shè)計流程復(fù)雜、計算魯棒性差等問題。傳統(tǒng)的基于6σ的設(shè)計流程主要包括定義、測量、分析、設(shè)計和驗證(DMADV)[5]等過程,其流程方案繁雜且穩(wěn)健性較低,一旦框架不滿足產(chǎn)品的設(shè)計要求時,就需重新尋找問題來源進(jìn)行流程并進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計流程,提高決策處理的效率和整個流程的魯棒性。本文基于目前的6σ設(shè)計研究成果,區(qū)別于DMADV框架,給出了一個改進(jìn)的基本框架,包括定義、測量、分析、改進(jìn)和控制(DMAIC),如圖1所示。在傳統(tǒng)流程中的設(shè)計階段給出了改進(jìn)方案,主要是考慮整個參數(shù)驅(qū)動系統(tǒng)的智能化程度和魯棒性,提出了基于LTCA的物理性能評價的直接參數(shù)驅(qū)動函數(shù)關(guān)系[14],并且考慮了幾何與物理性能協(xié)同優(yōu)化的MOO加工參數(shù)反調(diào)過程,以此完成基于改進(jìn)的6σ設(shè)計的螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造方案設(shè)計。MOO反調(diào)模型中,f(M,X,Z)描述系統(tǒng)響應(yīng)y,它是初始輸入信號M、設(shè)計因子X和噪聲因子Z的函數(shù)。對于輸入信號M,加工參數(shù)被用作協(xié)同制造系統(tǒng)過程中的設(shè)計變量。

圖1 形性協(xié)同系統(tǒng)的改進(jìn)的6σ設(shè)計基本框架

1.2 改進(jìn)的參數(shù)驅(qū)動關(guān)系

在整個螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造的智能參數(shù)驅(qū)動決策過程中,對于性能評價項與加工參數(shù)的函數(shù)關(guān)系,將采用精確的函數(shù)求解方式完成其關(guān)聯(lián)規(guī)律的直接參數(shù)驅(qū)動表達(dá)。首先,建立加工參數(shù)與幾何性能評價項的函數(shù)關(guān)系,其參數(shù)驅(qū)動表達(dá)式為

(1)

式中:h表示殘余ease-off齒面形貌,是螺旋錐齒輪幾何性能評價項;M為初始加工參數(shù);M*為MOO反調(diào)后的精確加工參數(shù)。

圖2 螺旋錐齒輪精確有限元模型

對于加工參數(shù)與物理性能評價項的直接參數(shù)驅(qū)動關(guān)系,本文主要利用了齒面載荷接觸分析方法[5]。如圖2所示,建立螺旋錐齒輪的有限元模型,考慮齒面接觸受力平衡與變形協(xié)調(diào)條件[15],就可以完成齒面物理評價項關(guān)于加工參數(shù)的函數(shù)關(guān)系表達(dá),直接構(gòu)建其多目標(biāo)函數(shù)

(2)

式中:CPMAX是最大接觸壓力;LTEMAX是最大傳動誤差;CR是齒輪傳動的重合度;η是齒輪的效率。具體的多目標(biāo)函數(shù)關(guān)系構(gòu)建可參考文獻(xiàn)[4-5]。

式(2)聯(lián)立子目標(biāo)函數(shù)f1,可以構(gòu)成5個目標(biāo)函數(shù)協(xié)同的多目標(biāo)優(yōu)化系統(tǒng),一次完成整個產(chǎn)品性能評價項的直接參數(shù)驅(qū)動決策與優(yōu)化。

2 改進(jìn)的6σ設(shè)計的基本流程

圖3 基于改進(jìn)的6σ設(shè)計的協(xié)同制造的參數(shù)驅(qū)動流程

為了滿足螺旋錐齒輪產(chǎn)品的客戶需求,本文提出了考慮幾何與物理性能協(xié)同優(yōu)化的改進(jìn)的6σ設(shè)計方案。基于改進(jìn)的6σ設(shè)計的螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造基本流程如圖3所示,與現(xiàn)有的基于DMADV框架的設(shè)計流程不同,改進(jìn)的設(shè)計流程引入了MOO加工參數(shù)反調(diào)設(shè)計方法。提出的MOO加工參數(shù)反調(diào)是一個考慮接觸性能和多個加工參數(shù)相互耦合作用的復(fù)雜系統(tǒng)[16-17]。建立的反調(diào)模型的強烈非線性[18]、子目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)之間耦合性、迭代計算的收斂性等都將會較大程度地影響整個設(shè)計結(jié)果的魯棒性。因此,為了保證結(jié)果數(shù)據(jù)的可靠性與精度,需提供合適的決策與優(yōu)化方案,保證參數(shù)驅(qū)動設(shè)計與形性協(xié)同制造之間的關(guān)聯(lián)性,必須同時滿足所設(shè)定的幾何和物理性能評價指標(biāo)。

3 基于6σ魯棒性MOO反調(diào)的決策與優(yōu)化

在當(dāng)前齒輪產(chǎn)品的設(shè)計與制造中,滿足客戶要求始終是設(shè)計者和制造者追求的目標(biāo)之一。為了更好地將客戶對齒輪產(chǎn)品的需求(VOC,設(shè)為VOC)反饋轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的產(chǎn)品質(zhì)量信息(CTQ),并保證其精確性和實用性,本文采用模糊QFD的方法[12],同時匹配基于模糊QFD的螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造的智能參數(shù)驅(qū)動決策與優(yōu)化方案。該模糊QFD過程可表示為[19]

X:VOC?R|→CTQs?R|→X=

[X1,X2,X3,X4,X5]=

[ω1hRMSE,ω2LTEMAX,ω3CPMAX,ω4CR,ω5η]

(3)

式中:wi(i=1,2,…,5)是客戶需求項的最終權(quán)重因子,可以利用在模糊期望值算子中模糊權(quán)重平均值法來確定,詳細(xì)的過程可參考文獻(xiàn)[19]。

對于所提出的設(shè)計方法,選擇以下幾何和物理性能評價指標(biāo):①殘余ease-off的均方根誤差hRSME的最小化,是螺旋錐齒輪設(shè)計的傳統(tǒng)幾何性能目標(biāo)評估項;②最大齒面接觸壓力CPMAX的最小化,可以提高強度、降低齒輪破壞形式的風(fēng)險;③最大加載傳動誤差(LTEMAX)的最小化,可以減少齒輪傳動在其主要包括噪聲和振動的工況下的振動激勵;④重合度CR的最大化,可以提高齒輪嚙合強度,降低齒輪傳動的沖擊頻率;⑤機械效率η最大化,可以預(yù)測摩擦功率損失和燃料經(jīng)濟(jì)性。

3.1 MOO基本模型

螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造的參數(shù)驅(qū)動設(shè)計中,最核心的內(nèi)容就是考慮幾何和物理性能的MOO加工參數(shù)反調(diào)。根據(jù)實際加工精度可以預(yù)設(shè)齒面ease-off,即基本齒面與目標(biāo)齒面沿法向方向的偏差值,同時考慮齒面物理性能評價項的多目標(biāo)優(yōu)化(MOO)方法,依次確定目標(biāo)齒面,然后以機床加工參數(shù)為設(shè)計變量來考慮設(shè)計齒面與目標(biāo)齒面的逼近,實際上表達(dá)的是一個齒面誤差無窮小的數(shù)值優(yōu)化過程,其目標(biāo)函數(shù)可以表示為

(4)

(5)

由于方程式(4)具有強烈非線性,可以轉(zhuǎn)為關(guān)于加工參數(shù)的非線性最小二乘問題

(6)

式中:P是齒面ease-off要求的精度閾值,一般是一個區(qū)間范圍,可以人為預(yù)設(shè)或者由客戶要求。

3.2 6σ魯棒性優(yōu)化的MOO求解算法

本文所采用的魯棒性優(yōu)化計算方法可寫成[13]

minF(uy(X),σy(X))

s.t.gi(uy(X),σy(X))≤0,i=1,2,…,m

XL+nσX≤uX≤XU-nσX

(7)

式中:X為設(shè)計因子;XU和XL分別為X的上、下邊界;m為約束條件數(shù);F為性能評價項的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的目標(biāo)函數(shù);n為期望的σ水平。

針對上述提出的MOO基本模型,引入6σ魯棒性優(yōu)化設(shè)計方法,得到了基于6σ設(shè)計方法的MOO模型。為了保證結(jié)果數(shù)據(jù)的可靠性與精度,避免多個加工參數(shù)之間的耦合作用,需要求解齒面誤差對加工參數(shù)的敏感性系數(shù)矩陣。根據(jù)敏感性系數(shù)矩陣判斷加工參數(shù)對齒面誤差的影響大小,主要針對敏感性較大的加工參數(shù)進(jìn)行擇優(yōu)反調(diào)修正,其中所用的敏感性系數(shù)矩陣表示為

(8)

式中:hi(x)表示齒面ease-off關(guān)于加工參數(shù)的函數(shù);xj表示加工參數(shù)。基于建立的幾何性能和物理性能的直接驅(qū)動關(guān)系,建立考慮形性協(xié)同的MOO模型,如下式

(9)

式中:σy為設(shè)計性能響應(yīng)y的標(biāo)準(zhǔn)偏差,可由下式計算[12]

(10)

(11)

其中μy是性能響應(yīng)y的平均值,σXi和σXj為第i個和第j個設(shè)計變量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

對于多目標(biāo)參數(shù)反調(diào)優(yōu)化問題,本文采用列文博格-馬跨爾特(L-M)算法[20]進(jìn)行求解,其迭代過程表達(dá)為

(12)

整個設(shè)計求解過程可以描述如下。

步驟1令K=0;

步驟2根據(jù)客戶需求建立質(zhì)量屋(HOQ),將VOC轉(zhuǎn)化為CTQs;

步驟3建立如方程式(9)所示的MOO系統(tǒng),并設(shè)定對應(yīng)的目標(biāo)約束條件;

步驟5驗證MK∈PS的實用性,通過與對應(yīng)的CTQs的設(shè)定要求值比較;

步驟6通過求解計算來獲得其他M個數(shù)值解;

4 改進(jìn)的6σ設(shè)計的螺旋錐齒輪加工參數(shù)反調(diào)計算

4.1 齒坯幾何基本設(shè)計

本文以一對航空用螺旋錐齒輪為例,采用的齒坯設(shè)計參數(shù)和機床加工參數(shù)見表1、表2,其中將加工參數(shù)作為整個優(yōu)化參數(shù)驅(qū)動過程的主要輸入信號。考慮到幾何與物理性能要求,采用提出的模糊FQD方法來將客戶對齒輪的產(chǎn)品需求轉(zhuǎn)換成產(chǎn)品質(zhì)量信息,并以最終的幾何與物理性能評價項作為性能目標(biāo)驅(qū)動整個流程的求解。從動輪所受的扭矩載荷為257.693 N·m,從動輪轉(zhuǎn)速為12 767 r/min。

表1 齒坯設(shè)計幾何參數(shù)

表2 螺旋錐齒輪通用機床加工參數(shù)

4.2 計算結(jié)果及分析

為了節(jié)約計算時間并兼顧反調(diào)效果,本文主要針對接觸點位置的參數(shù)進(jìn)行反調(diào)修正。根據(jù)齒輪的加工方法不同,主要考慮徑向刀位、滾比、床位、基本搖臺角等加工參數(shù)的反調(diào)修正。基于提出的參數(shù)驅(qū)動決策與優(yōu)化方法,計算各接觸點位置時各加工參數(shù)對齒面ease-off的敏感性系數(shù),組合得到各加工參數(shù)對齒面誤差的敏感性系數(shù)矩陣。表3給出了接觸點位置的加工參數(shù)的敏感性系數(shù)。根據(jù)提出的基于6σ魯棒性優(yōu)化的MOO反調(diào)求解算法,計算得到的精確加工參數(shù)和相應(yīng)的加工參數(shù)反調(diào)量數(shù)值結(jié)果見表4。

圖4給出了齒面接觸點對加工參數(shù)的敏感性系數(shù)的拓?fù)鋱D和分布圖。分析對比各個加工參數(shù)敏感性系數(shù)可知,基本搖臺角的敏感性系數(shù)最大,最大值接近5,滾比和機床安裝根錐角的敏感性系數(shù)次之。因此,為了避免多個加工參數(shù)之間的耦合作用帶來不必要的影響,降低反調(diào)計算的非線性,根據(jù)敏感性系數(shù)矩陣分析結(jié)果可知,主要針對基本搖臺角、滾比、機床安裝根錐角3個加工參數(shù)進(jìn)行二次優(yōu)化反調(diào)。通過二次優(yōu)化反調(diào)后,可以得到優(yōu)化反調(diào)的加工參數(shù)反調(diào)量,其參數(shù)的優(yōu)化反調(diào)量見表4。

(a)拓?fù)鋱D

(b)分布圖圖4 齒面接觸點的敏感性系數(shù)

表3 接觸點位置處各加工參數(shù)的敏感性系數(shù)

表4 基于6σ魯棒性優(yōu)化的精確加工參數(shù)和反調(diào)量

4.3 MOO方法求解結(jié)果評價

通過上文提出的求解算法可進(jìn)行物理性能和幾何性能評價項的評價。圖5a給出了參數(shù)反調(diào)和優(yōu)化參數(shù)二次反調(diào)后的齒面ease-off,即目標(biāo)齒面與基本齒面之間的距離偏差,設(shè)為H,參數(shù)反調(diào)后的H最大值為55.644 μm,最小值為-47.69 μm;優(yōu)化參數(shù)反調(diào)后的H最大值為53.465 μm,最小值為-45.83 μm。優(yōu)化參數(shù)二次反調(diào)后的齒面接觸點位置的殘余ease-off(hRMSE)如圖5b所示,其中,最大殘余ease-off為2.178 μm,最小值為-1.870 μm。此目標(biāo)齒面能反映出足夠的齒面精度,因為比銑削加工精度更高的磨削加工的精度量級一般為50 μm[21]。與上文客戶所給的目標(biāo)值對比可知,參數(shù)反調(diào)和優(yōu)化參數(shù)反調(diào)都能達(dá)到提高齒面精度的作用且都滿足設(shè)計預(yù)設(shè)的目標(biāo)值;由于優(yōu)化參數(shù)二次反調(diào)在普通參數(shù)反調(diào)的基礎(chǔ)上優(yōu)先考慮敏感性系數(shù)較大的加工參數(shù)進(jìn)行反調(diào),避免了較多個加工參數(shù)之間的耦合作用影響,優(yōu)化參數(shù)反調(diào)的效果比參數(shù)反調(diào)的效果好。總體來說,通過再次的優(yōu)化參數(shù)反調(diào)修正,殘余誤差精度有了很好的提高。

圖6給出了MOO方法求解后的物理性能評價項。如圖6a所示,齒面接觸區(qū)域位于一個合理范圍內(nèi),且最大接觸壓力CPMAX達(dá)到了978.25 MPa,主要分布區(qū)域呈長條形橢圓分布,且沿齒寬方向呈現(xiàn)對角傾斜狀態(tài),表明了齒面具有足夠的接觸強度。在圖6b中,最大載荷傳動誤差LTEMAX為44.685 μrad,且整個傳動誤差變化平穩(wěn),傳動噪聲和振動性能好。如圖6c所示,重合度CR為1.63。另外,機械效率η可以通過計算公式求得為95.32%。通過與上文中提出的所要求的目標(biāo)數(shù)值相比較,都達(dá)到了滿意的設(shè)計要求[22]。

(a)齒面ease-off

(b)求解的殘余ease-off圖5 MOO方法求解后的幾何性能評價項

(a)CPMAX

(b)LTEMAX

(c)CR圖6 MOO方法求解后的物理性能評價項

5 結(jié) 論

(1)基于現(xiàn)有6σ設(shè)計流程,提出了一種改進(jìn)的DMAIC框架,即定義-測量-分析-改進(jìn)-控制框架;基于改進(jìn)的參數(shù)驅(qū)動關(guān)系,構(gòu)建齒面評價項的多目標(biāo)函數(shù),完成產(chǎn)品性能的直接參數(shù)驅(qū)動決策與優(yōu)化。

(2)采用模糊QFD的方法,將客戶對齒輪產(chǎn)品的需求轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的產(chǎn)品質(zhì)量信息,建立基本的MOO模型,引入6σ魯棒性優(yōu)化設(shè)計方法,得到考慮形性協(xié)同的魯棒性優(yōu)化的MOO模型,采用提出的求解算法,計算加工參數(shù)反調(diào)量和優(yōu)化加工參數(shù)二次反調(diào)量,根據(jù)計算的反調(diào)量,通過LTCA方法求解得到齒面加載接觸性能。

(3)以一對航空用螺旋錐齒輪為例,利用所提方法計算得到MOO加工參數(shù)反調(diào)量,根據(jù)反調(diào)量獲得最終的齒面評價項LTEMAX、CPMAX、CR、hRMSE等,與客戶提出的設(shè)計要求對比驗證,較好地滿足了設(shè)計要求,證明了設(shè)計方法的正確性,可為將來的螺旋錐齒輪形性協(xié)同制造及智能制造提供技術(shù)支撐。