Ease-off拓撲修形準雙曲面齒輪齒面多目標優化設計方法

蔣進科,方宗德,劉釗

(1.長安大學汽車學院,710064,西安;2.長安大學汽車運輸安全保障技術交通行業重點實驗室,710064,西安;3.西北工業大學機電學院,710072,西安)

準雙曲面齒輪廣泛應用于車輛主減速器,其齒面復雜,加工難度大,為了減小安裝誤差與變形引起的齒面邊緣應力集中現象,實際設計與加工均采取齒面修形。例如,局部綜合法[1]、高階傳動誤差齒面設計方法[2-3]、主動設計方法[4-5]、全局綜合法[6]、雙螺旋切齒法[7]等,主要集中于修正搖臺型機床運動參數的拋物線傳動誤差齒面,有效地解決了齒面邊緣應力集中問題,但造成了齒輪副失配量過大,降低了有效重合度。為了控制齒面失配量,一種新穎的ease-off齒面拓撲修形方法,即相對共軛齒面的修形方法已成為螺旋錐齒輪齒面設計與加工的研究熱點[8-13],目前,該修形方法主要應用于輕載下的齒面接觸分析(TCA)仿真驗證。

準雙曲面齒輪的整個齒面都有相對滑動速度,易產生較高的齒面摩擦,引起齒面磨損、齒面膠合、功耗增加以及振動與噪聲等問題,因此傳統的單一傳動誤差修形設計已經不能從根本上滿足高性能齒輪傳動裝置的要求,研究高承載能力、抗膠合能力、低振動與噪聲、高傳動效率等諸多方面的齒面修形設計方法具有重要意義。

齒輪靜態承載傳動誤差幅值(ALTE)已被證實是產生振動、噪聲的重要因素[14]。文獻[15-16]基于齒輪承載接觸分析(LTCA)方法,優化ALTE最小進行準雙曲面齒輪修形設計;文獻[17]基于彈流潤滑理論,結合LTCA方法對弧齒錐齒輪熱摩擦進行了分析;文獻[18-19]基于有限元軟件的LTCA方法和傳熱學原理,分析了干運行齒面溫度場分布及其隨時間變化的規律;文獻[20-21]結合弧齒錐齒輪幾何接觸特性與承載接觸特性,計算齒面接觸點的滑動摩擦功率和Block閃溫,可為設計提供參考;文獻[22]將弧齒錐齒輪等效為當量直齒圓柱齒輪,進行摩擦功率損失簡單計算;文獻[23-24]考慮接觸幾何、卷吸夾角、表面粗糙度、流變特性等因素,通過數值方法計算了重載下準雙曲面齒輪嚙合點油膜厚度、壓力、閃溫、嚙合效率等,然而其潤滑分析模型中載荷的計算有待商榷,其嚙合點的最大接觸載荷分配系數接近1,重載準雙曲面齒輪不存在單齒嚙合區;文獻[25]結合有限元軟件分析其瞬態熱特性,表明齒面最高閃溫出現在小輪齒頂、大輪齒根;文獻[26]通過TCA、LTCA方法獲得嚙合點速度、曲率半徑、載荷,結合潤滑理論分析獲得不同潤滑狀態下的齒面摩擦系數,并分析轉速、載荷、偏置距、油溫對準雙曲面傳動效率影響。以上研究主要是針對傳統搖臺型機床加工弧齒錐齒輪的傳動性能分析,由于準雙曲面齒輪幾何的復雜性,特別是ease-off修形齒面的精確幾何表達與齒面潤滑問題的復雜性,使齒面速度、載荷、摩擦系數的確定十分困難,其嚙合效率、齒面閃溫研究較少,未見涉及ease-off齒面的多目標優化設計。

為了進一步提高汽車驅動橋品質,本文基于齒間間隙和齒面法向間隙產生原理對刀傾半展成切齒(HFT)法小輪齒面進行拓撲ease-off曲面設計,并疊加于共軛齒面表達修形齒面;結合TCA、LTCA方法及齒輪摩擦理論的最新進展,得到齒面離散點滑動速度、載荷分布、局部摩擦系數和承載變形,并計算齒面瞬時嚙合效率和Block閃溫;以ALTE最小、齒面瞬時閃溫最小和平均嚙合效率最大進行多目標優化,設計最佳修形齒面,分析齒面滑動速度、綜合曲率半徑的變化及重合度對嚙合性能的影響,為高性能準雙曲面齒輪的設計提供理論基礎。

1 小輪ease-off拓撲修形齒面表達

小輪齒面與大輪齒面完全共軛,傳動比等于齒輪副的名義傳動比。將大輪齒面視為假想齒輪刀具,基于空間嚙合理論和坐標變換轉換到小輪齒面坐標系中,可得到與大輪完全共軛的小輪齒面。

(a)四階傳動誤差曲線

(b)二階傳動誤差曲線

(c)接觸線修形曲面

(d)齒廓修形曲線圖1 ease-off修形曲面的設計

修形改變共軛齒面的齒間間隙和齒面法向間隙,可以根據齒間間隙與齒面法向間隙產生原理進行自由ease-off修形曲面的設計。圖1a、圖1b為傳動誤差(齒間間隙)設計曲線,僅包含齒間間隙修形設計時,需要考慮嚙入、嚙出端有足夠的傳動誤差以減小嚙合沖擊,且嚙合周期內同時接觸齒對的齒間間隙應相差不大以減小承載變形幅值,因此需要考慮拋物線傳動誤差或中部可能形成內凹形狀的傳動誤差。

通過圖1c所示的接觸線修形曲面進行法向間隙設計,齒面法向間隙修形設計需要考慮齒根、齒頂有一定的齒廓修形以避免邊緣應力集中,且接觸跡線也應避免齒頂及兩齒側的邊緣接觸,因此嚙入、嚙出端修形量應有一定的扭曲,該修形曲面可表示為δ1(x1,y1),x1、y1為小輪齒面軸向和徑向參數。為了方便表達,通過圖1d的齒廓修形曲線,經旋轉變換映射得到齒面法向間隙即δ1(x1,y1)=f(ζ(y1),θa),ζ為齒廓修形量。圖1中ε1～ε4及λ1、λ2為齒間接觸間隙參數,d1、d2、q1、q2及θa為齒面法向接觸間隙參數。

在僅包含傳動誤差的小輪齒面上,疊加齒面法向修形曲面δ1(x1,y1),得到修形小輪的解析齒面,其ease-off曲面表達式為

δ(u,β)=(R1γ(u,β)-R10(u,β))N10(u,β)

(1)

R1γ(u,β)=δ1(x1(u,β),y1(μ,β))N1(u,β)+

R1(u,β)

(2)

式中:R10、N10為與大輪完全共軛的小輪齒面位矢、法矢;R1、N1為僅包含傳動誤差的小輪齒面位矢、法矢;R1γ為小輪ease-off齒面位矢;u、β為小輪理論齒面參數。

2 齒面局部摩擦系數

圖2 修形齒面載荷分布

齒面摩擦系數受工作載荷、嚙合點速度、接觸面綜合曲率、粗糙度、潤滑油的黏度、溫度及潤滑狀態等因素影響。國內外學者對接觸齒面摩擦已經有了較為深入的研究,獲得了大量基于實驗或半經驗的摩擦系數計算公式[27-30],其大多面向彈流潤滑,假設齒面的工作載荷理想分布,而忽略輪齒修形對齒面載荷和潤滑狀態的影響。然而,由于潤滑油不可壓縮,應用彈流潤滑理論計算齒面摩擦時,接觸橢圓上的載荷必須是準確已知的,如圖2所示,該載荷受齒面初始間隙影響大小不同。此外,沿接觸線上初始間隙的變化,導致油膜厚度不相等,修形量與輪齒表面的油膜厚度數量級相同,其對潤滑行為的影響不可忽略。因此,準確計算實際接觸點的中心油膜厚度,判斷潤滑狀態,再選取合理的摩擦系數計算公式是齒面膠合、嚙合效率計算的前提。如何選取摩擦系數計算模型,學術界并沒有定論,齒面摩擦模型的研究有賴于摩擦學發展。大量研究表明,輪齒處在邊界潤滑條件下其摩擦系數一般為0.07～0.15,彈流潤滑時摩擦系數小于0.04,混合潤滑在二者之間。考慮齒面受力變形和潤滑油的黏壓效應,油膜厚度選用Dowson-Higginson計算式[31],潤滑狀態用膜厚比表示為

hm=2.69α10.53(ηu)0.67ρ0.397(1-1.61e-0.73κ0.64)·

E′-0.073w-0.067

(3)

(4)

式中:λ為油膜比厚;hm為中心油膜厚度;σ1、σ2為兩接觸表面輪廓的均方根偏差;ρ為綜合曲率半徑;a1為潤滑油黏壓系數;u為接觸點滾動速度;η為潤滑油環境動態黏滯度;E′為當量彈性模量;w為接觸點載荷密度;κ為橢球率。

混合彈流潤滑條件下瞬時齒面摩擦系數[32]可表示為

(5)

式中:μm為混合潤滑條件下摩擦系數;μe為全膜潤滑條件下摩擦系數;μb為邊界潤滑條件下摩擦系數,這里取0.15;a為在混合潤滑狀態下點接觸載荷分布百分比。全膜潤滑狀態下摩擦系數[28]為

(6)

式中:Sr為齒面速度滑滾比;Ph為齒面接觸點赫茲壓力;ve為卷吸速度矢量;b1～b9為系數;R為接觸面嚙合點綜合曲率半徑。修形齒輪的接觸區為橢圓形,該點的主曲率和主方向可根據TCA方法得到,該點綜合曲率半徑為

(7)

式中:k1a、k1b、k2a、k2b為小輪齒面在嚙合點沿第1、第2主方向的主曲率;Q1為小輪第1主方向與接觸橢圓長軸的夾角;ε12為小輪與大輪第1主方向的夾角。

接觸點卷吸速度、滑滾比按照下式計算

(8)

式中:v1、v2為嚙合坐標系下小、大輪接觸點絕對速度矢量;vs為相對滑動速度矢量,且

(9)

式中:Rh為嚙合坐標系下接觸點的位矢;e1、e2為小、大輪軸線方向單位矢量;E為參考坐標系原點至e2作用線任一點的位置矢量(偏置距矢量);w1為小輪角速度數值;z1、z2為齒輪副齒數;m′為傳動誤差1階導數。

接觸點的赫茲壓力計算如下

(10)

通過輪齒TCA、LTCA方法獲得齒面瞬時接觸線離散點的載荷、綜合曲率半徑、相對滑動速度等,再結合摩擦系數模型獲得局部摩擦系數。

3 多目標優化修形模型

通過TCA、LTCA方法計算得到接觸線上離散點的載荷分布pij及一個嚙合周期輪齒法向位移,將法向位移轉換為嚙合線位移對應的大輪轉角,即承載傳動誤差,則一個嚙合周期的ALTE表示為

te=(180/π)(Zmax-Zmin)(R2×e2·N2)

(11)

式中:R2、N2分別為被動大輪接觸點位矢、單位法矢;Zmax、Zmin為嚙合周期內最大、最小法向位移。

根據錐齒輪膠合承載能力的Block閃溫公式[20],齒面離散點的閃溫為

(12)

式中:XJ、Xs為嚙入、載荷系數,均取1.0;B1、B2為小、大齒輪熱接觸系數;b為接觸橢圓短半軸長度;wij的計算方法為

(13)

其中Lij為旋轉投影面坐標系下第i條接觸線上第j個點至原點的距離,pij為接觸點載荷,可通過TCA方法得到,n為接觸線上離散點數,m為接觸線數。

主要考慮滑動摩擦功耗,將一個嚙合周期s分成8等份,根據同時接觸的齒對數K的齒面接觸情況,計算嚙合周期內某瞬時時刻t=0,s/8,…,s時,嚙合效率為

(14)

式中:k為1個嚙合周期均分后接觸時刻的標記序號;變量下標為k+8(K-1)、j分別為齒面第k+8(K-1)條接觸線上第j個離散接觸點;T1為主動輪扭矩。平均嚙合效率表示為

(15)

以一個嚙合周期的ALTE最小、齒面局部閃溫最小、平均嚙合效率最大為優化目標進行多目標優化,歸一化后的目標函數表示為

(16)

式中:y為優化變量,表示齒間間隙參數(ε1～ε4及λ1、λ2)和接觸線法向間隙參數(d1、d2、q1、q2及θa);te0、ηa0、Tp0為共軛齒面ALTE、平均嚙合效率、接觸線最大閃溫;te、ηa、Tp為對應修形齒面考核數值。考慮到局部摩擦系數、載荷下降均導致齒面閃溫及摩擦功耗降低,局部摩擦系數與齒面載荷大小、位置、滑動速度等有很強的非線性關系,嚙合效率的改善空間較小,局部摩擦系數對閃溫影響更為敏感,因此取權系數c1、c2、c3分別為0.5、0.4、0.1。

優化過程是改變齒面初始間隙并進行TCA、LTCA計算的一個非線性迭代過程,且存在多個局部解,因此需要尋找一種高效的優化方法。粒子群算法具有全局收斂性,可以求解具有多個局部極值的非線性優化問題,這里通過該方法進行優化,具體算法不再贅述。

4 算例與分析

為了增加高精度齒輪副受載后的實際重合度,主要考慮接觸路徑大傾斜時的設計優化。以一對弧齒準雙曲面齒輪副的工作面為例,基本幾何參數見表1,大輪額定扭矩為600 N·m,小輪輸入轉速為2 000 r/min;潤滑油環境黏度為0.02 Pa·s,黏壓系數為11.4 GPa-1,油溫為70 ℃,大小輪熱接觸系數為13.8 N/(mm·℃·s0.5),當量彈性模量E′=226 GPa,接觸齒面粗糙度均方差為0.35 μm。準雙曲面齒輪加工參數見表2。優化表明二階傳動誤差較內凹四階傳動誤差在降低閃溫方面效果良好,因此采用二階拋物線傳動誤差改變齒間間隙。獲得的最優ease-off拓撲修形曲面如圖3b所示,參數見表3。

表1 準雙曲面齒輪副幾何參數

表2 準雙曲面齒輪加工參數

最優ease-off修形齒面的特征是嚙入、嚙出端有一定的修形量,在整個齒高方向有齒廓修形,最優ease-off修形齒面接觸跡線在靠近大端時,沿節圓分布,齒面接觸印痕為對角接觸,如圖3a所示。理論齒面接觸印痕為內對角接觸,在嚙合轉換點有一定的傳動誤差幅值,如圖3c所示,可以降低安裝誤差的敏感性,齒面適配量較大;最優ease-off修形齒面和理論齒面的ease-off修形量如圖3b、圖3d所示,分別與接觸區域匹配,傳動誤差越大,對應的齒面偏差也較大。全共軛齒面TCA仿真如圖3e所示,對小輪進行了齒廓拋物線修形,最大修形量為1 μm。

表3 最優ease-off曲面參數

多載荷承載傳動誤差幅值仿真如圖3f所示,共軛齒面實際重合度不變,隨載荷增加ALTE不斷增加;當齒面適配量過大、橢圓長軸較短時,隨載荷增加實際重合度增加程度不同,因此ALTE出現多個極值;齒面適配量較小、橢圓長軸較長時,隨載荷增加重合度增加直至不變,在重合度轉換點(600 N·m)處出現最小極值點。承載傳動誤差如圖3g所示,TCA接觸點為22,理論重合度略大于(22-1)/8=2.6,則第1～6嚙合位置為3齒嚙合區,在第7、8嚙合位置為2齒嚙合區,對于共軛齒面3齒嚙合區變形小于2齒嚙合區,ease-off修形后ALTE降低到了6.39×10-4(°)。如圖3h所示,最優ease-off修形齒面相對理論齒面為增加材料,主要特征為對角誤差,通過校正加工參數和修正刀具刃形可實現最優ease-off齒面修正。

嚙合效率如圖4a、圖4c所示,理論齒面適配量過大,重合度降低,接觸線載荷增加,摩擦功耗增大,嚙合效率減小;共軛齒面次之,最優ease-off修形齒面嚙合效率最大,因為優化齒面主要是進行了齒廓修形,齒頂、齒根載荷向節線附近集中,而節線附近的滑動速度最小,齒面平均摩擦系數下降,因此嚙合效率最高為0.975 2,增加了1%。齒面閃溫如圖4b～圖4f所示,同樣的原因,齒面閃溫也降低,齒根(大輪)由于相對滑動速度較大,閃溫較大,修形后有所改善,最大閃溫出現在共軛齒面大輪嚙入端第7、8接觸位置靠近齒根處,該處為雙齒嚙合區,閃溫為110 ℃,ease-off修形后為71 ℃,理論齒面為94 ℃。

齒面綜合曲率半徑如圖5g所示,沿齒向方向自大端至小端逐漸減小,沿齒高方向自齒頂(大輪)向齒根逐漸增大;齒面赫茲壓力如圖5a、5d所示,受曲率半徑影響,自齒頂向齒根逐漸減小;理論齒面適配量過大,重合度最小,齒面壓力最大;共軛齒面重合度最大,齒面壓力最小。

(a)最優ease-off修形齒面TCA仿真

(b)最優ease-off修形量

(c)理論齒面TCA仿真

(d)理論齒面的ease-off修形量

(e)共軛齒面TCA仿真

(f)多載荷承載傳動誤差幅值仿真

(g)承載傳動誤差仿真

(h)最優ease-off修形齒面相對理論齒面修形量圖3 理論齒面、共軛齒面、最優ease-off修形曲面的修形量、傳動誤差幅值及TCA仿真

滑動速度如圖5b、5e所示,節線附近齒面滑動速度較小但不為零,沿齒向方向自大端至小端逐漸增大,沿齒高方向自齒頂(大輪)向齒根逐漸增大,齒面接觸路徑點也反映該特點。油膜厚度如圖5c、5f所示,修形后齒面油膜厚度有所改善,理論齒面適配量最大,油膜平均厚度最大,有利于潤滑和散熱,但是由于齒面壓力過大,其最小油膜厚度相對最小。

(a)齒面瞬時嚙合效率

(b)齒面接觸線最大閃溫

(c)齒面接觸線平均摩擦系數

(d)理論齒面閃溫分布

(e)共軛齒面閃溫分布

(f)最優ease-off修形齒面閃溫分布圖4 齒面閃溫與嚙合效率仿真

(a)齒面接觸線最大赫茲壓力

(b)齒面接觸路徑點滑動速度

(c)齒面接觸線平均油膜厚度

(d)最優ease-off修形齒面赫茲壓力分布

(e)ease-off修形優化齒面滑動速度分布

(f)理論齒面油膜厚度分布

(g)ease-off修形優化齒面曲率半徑分布圖5 齒面閃溫、壓力、滑動速度、曲率半徑及油膜厚度分布

齒輪副參數與文獻[26]的齒輪副參數較接近,圖4、5中的齒面滑動速度(1 m/s<|vs|<3 m/s)、綜合曲率半徑(20 mm

5 結 論

為了提高汽車驅動橋綜合傳動性能,提出了基于ease-off拓撲修形準雙曲面齒輪齒面多目標優化設計方法。

(1)根據齒間間隙與齒面法向間隙產生原理進行自由ease-off曲面設計,并與共軛齒面疊加表示修形齒面;結合TCA、LTCA方法得到齒面離散點載荷分布和承載變形,結合齒輪摩擦理論最新進展確定接觸線上各離散點的局部摩擦系數。以ALTE最小、齒面瞬時閃溫最小及平均嚙合效率最大進行多目標優化,設計最佳修形齒面。

(2)齒面適配量對ALTE有很大影響,當齒面適配量較小,橢圓長軸較長時,隨載荷增加重合度呈現增加至不變,傳動誤差幅值呈現減小至增加趨勢。

(3)最優ease-off拓撲修形在嚙入、嚙出端有足夠的拋物線傳動誤差,有效減小了ALTE,并降低安裝誤差敏感性;此外,在整個齒高方向有一定的齒廓修形,接觸跡線角較小時,齒輪副重合度較大,齒頂、齒根載荷向節線附近集中,而節線附近的滑動速度較小,齒面平均摩擦系數下降,因此嚙合效率、齒面閃溫下降;齒面適配量過大時,重合度降低,嚙合效率減小。

(4)節線附近齒面滑動速度較小,沿齒向方向自大端至小端逐漸增大,沿齒高方向自齒頂(大輪)向齒根逐漸增大,共軛齒面最大閃溫出現在齒根2齒嚙合處。