嚴(yán)重方位模糊下的合成孔徑雷達(dá)微弱運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦與參數(shù)估計(jì)方法

萬俊,周宇,張林讓,陳展野

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710071,西安)

合成孔徑雷達(dá)(SAR)作為一種微波成像系統(tǒng),其具有全天時(shí)、全天候的工作特點(diǎn),廣泛應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域[1-4]。隨著SAR對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)信息獲取需求的增長,地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測已經(jīng)成為SAR應(yīng)用中的一項(xiàng)重要任務(wù),對提升SAR系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)信息感知能力,如戰(zhàn)場態(tài)勢的評估與交通情況的監(jiān)控等,具有重要意義[5-8]。

隨著SAR有效合成孔徑時(shí)間的延長與分辨率的提升,雷達(dá)探測場景中運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的距離徙動(dòng)和多普勒徙動(dòng)更為嚴(yán)重,導(dǎo)致目標(biāo)能量散焦,嚴(yán)重地影響運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測與參數(shù)估計(jì),尤其是較低信噪比的微弱目標(biāo)問題更加突出。近年來,由于Keystone變換(KT)可以在沒有參數(shù)先驗(yàn)信息的情況下,對多個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的距離徙動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)一校正,因此基于KT的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦方法受到廣泛關(guān)注[9-11]。然而,當(dāng)場景中存在徑向快速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的時(shí)候,會(huì)引起運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的多普勒模糊。此時(shí),如果直接應(yīng)用KT校正距離徙動(dòng)會(huì)導(dǎo)致該方法失效,甚至目標(biāo)軌跡的分裂[12],嚴(yán)重影響后續(xù)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的聚焦與參數(shù)估計(jì)。為此,文獻(xiàn)[13]通過搜索模糊數(shù)來避免多普勒模糊。然而,該方法忽略了多普勒譜分裂的影響。文獻(xiàn)[14]雖然考慮了多普勒譜分裂的影響,但其非線性變換的特點(diǎn),導(dǎo)致了該方法在低信噪比情況下性能嚴(yán)重惡化,限制了其對微弱運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的應(yīng)用。文獻(xiàn)[15]提出了一種基于Radon分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)的微弱運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦方法,在低信噪比環(huán)境下也能獲得較好的性能,然而,此方法涉及到全維參數(shù)搜索,計(jì)算復(fù)雜度過高,且在較長的合成孔徑時(shí)間下尤為突出。

近年來,呂氏分布變換(LVD)作為一種快速時(shí)頻分析方法,表現(xiàn)出較好的抗噪聲和交叉項(xiàng)抑制的性能[16-17],被廣泛應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)之中。然而,LVD有效的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)信號中心頻率估計(jì)范圍只有信號采樣范圍的一半,容易造成運(yùn)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的進(jìn)一步模糊。

針對現(xiàn)有方法存在的對多普勒模糊敏感、信噪比要求高、不能較好的提供無模糊運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)的問題。本文提出了一種嚴(yán)重方位模糊下的SAR微弱運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦與參數(shù)估計(jì)方法。首先,通過構(gòu)造方位譜壓縮函數(shù)消除了多普勒譜分裂的影響;其次,采用二階KT(SOKT)校正距離彎曲;隨后,通過所構(gòu)造的距離走動(dòng)補(bǔ)償函數(shù)與LVD完成運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的聚焦;最后,結(jié)合參數(shù)粗估計(jì)結(jié)果,提出一種LVD域無模糊參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則,消除了LVD域多普勒模糊對參數(shù)估計(jì)的影響。理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文方法不受方位多普勒譜分裂與LVD域多普勒模糊的影響,與Radon分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的全維搜索方法相比具有抗噪性能強(qiáng)、計(jì)算復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)。

1 信號模型

圖1給出了正側(cè)視工作模式下,地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)與SAR平臺(tái)在斜距平面上的幾何關(guān)系模型。在合成孔徑時(shí)間Ta內(nèi),平臺(tái)以速度v沿飛行方向勻速直線飛行,任意點(diǎn)目標(biāo)從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。其中,vc、va分別表示地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的徑向速度和方位向速度,R0表示最近斜距,η表示方位慢時(shí)間變量。

圖1 SAR平臺(tái)和地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的幾何關(guān)系模型

結(jié)合圖1中所示的幾何關(guān)系,雷達(dá)和目標(biāo)之間的瞬時(shí)距離Rs(η)表示為

(1)

式中:R0為最近斜距。

根據(jù)泰勒級數(shù)展開,忽略二階以上的高階項(xiàng)后,瞬時(shí)斜距(1)可以表示為[13-14]

Rs(η)≈R0-vcη+[(v-va)2/(2R0)]η2

(2)

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻信號

(3)

式中:rect(·)表示矩形窗函數(shù);Tp、μ、fc和t分別表示脈沖寬度、調(diào)頻率、載頻和距離快時(shí)間變量。

經(jīng)過相干檢波后,回波可以表示為[18]

(4)

式中:c表示光速;λ表示發(fā)射信號波長;wa(η)表示方位窗函數(shù)。進(jìn)行脈沖壓縮處理后,回波在距離頻域和方位慢時(shí)間域表示為

(5)

式中:A1為脈壓后信號幅度;B為發(fā)射信號帶寬;f為距離頻率變量。從式(5)中可以看出,距離頻率和方位慢時(shí)間耦合,η項(xiàng)引入距離走動(dòng)和額外的多普勒中心偏移,η2項(xiàng)引入距離彎曲和多普勒徙動(dòng)。為了對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦與參數(shù)估計(jì),需要對距離走動(dòng)、距離彎曲和多普勒徙動(dòng),進(jìn)行有效的補(bǔ)償。

2 運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦與參數(shù)估計(jì)方法

2.1 方位多普勒譜帶寬壓縮

由于多普勒譜展寬將導(dǎo)致多普勒譜分裂,此時(shí)如果直接使用KT或者二階KT(SOKT)消除距離徙動(dòng),將導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的軌跡分裂和錯(cuò)誤的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)數(shù)目估計(jì)[14],嚴(yán)重地影響距離徙動(dòng)補(bǔ)償?shù)男阅堋榇?構(gòu)造方位譜壓縮函數(shù)為

(6)

假設(shè)Mamb表示目標(biāo)的多普勒模糊數(shù),則有

(7)

式中:v0為目標(biāo)的徑向基帶速度;fPRF表示脈沖重復(fù)頻率。將式(7)代入式(5),經(jīng)過方位多普勒譜帶寬壓縮后的信號可以表示為

s2(f,η)=s1(f,η)Hm1(f,η)=

(8)

(9)

從式(9)中可以看出,經(jīng)過預(yù)處理后,極大地壓縮了目標(biāo)的方位多普勒譜帶寬,使目標(biāo)方位譜擴(kuò)散與分裂問題得到了有效的解決,但目標(biāo)多普勒中心偏移依然存在,此時(shí)在極端的情況下依然有可能產(chǎn)生多普勒譜分裂的現(xiàn)象。由于壓縮后的多普勒譜帶寬通常會(huì)小于fPRF/2,此時(shí)可以使用文獻(xiàn)[19]中對多普勒中心平移fPRF/2的方法,進(jìn)一步消除譜分裂對距離徙動(dòng)校正的影響,這里不再贅述。

2.2 距離彎曲補(bǔ)償

由上述分析可知,經(jīng)過方位譜帶寬壓縮處理后,方位多普勒譜分裂現(xiàn)象得到了較好的解決。此時(shí),利用SOKT補(bǔ)償式(9)的距離彎曲,則可以避免運(yùn)動(dòng)目標(biāo)軌跡分裂的影響。因此,對式(9)應(yīng)用SOKT,即(f+fc)η2=fcξ2,可以得到

(10)

(11)

從式(11)可以看出:通過SOKT處理后,目標(biāo)的距離彎曲得到有效的補(bǔ)償;同時(shí),也可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)用SOKT處理后,目標(biāo)的距離走動(dòng)量變?yōu)樵瓉淼?/2,因此有利于隨后的距離走動(dòng)補(bǔ)償。

2.3 剩余距離走動(dòng)與多普勒徙動(dòng)補(bǔ)償

由式(11)可知,雖然SOKT消除了距離彎曲,但距離走動(dòng)和多普勒徙動(dòng)依然存在。為此,本節(jié)跟據(jù)上節(jié)推導(dǎo)的式(11)構(gòu)造剩余距離走動(dòng)補(bǔ)償函數(shù)進(jìn)行距離走動(dòng)補(bǔ)償。為了方便分析,本文首先假設(shè)已知目標(biāo)的徑向速度,則補(bǔ)償函數(shù)可以表示為

(12)

將式(11)與(12)相乘得到

s3(f,ξ)=s2(f,ξ)Hm2(f,ξ;vc)=

(13)

將式(13)沿距離維逆傅里葉變換(IFT)得到距離快時(shí)間和方位慢時(shí)間域的信號表示為

s3(t,ξ)=

(14)

式中:A2表示目標(biāo)信號幅度。沿方位慢時(shí)間域的目標(biāo)回波信號表達(dá)式如下

(15)

由式(14)可知,當(dāng)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的距離徙動(dòng)得到完全補(bǔ)償之后,目標(biāo)的回波信號僅落在一個(gè)距離單元內(nèi)。如式(15)所示,目標(biāo)回波信號沿方位慢時(shí)間是一個(gè)中心頻率和調(diào)頻率分別為2v0/λ和-4Δa1/λ的線性調(diào)頻信號。

LVD為一種快速時(shí)頻分析方法。由于其漸進(jìn)線性與二維時(shí)頻相參累積的特點(diǎn),使其可以同時(shí)對多分量的線性調(diào)頻信號進(jìn)行累積與參數(shù)估計(jì),表現(xiàn)出較好的抗噪聲和交叉項(xiàng)抑制的性能[16]。因此,使用LVD對式(15)剩余的方位多普勒徙動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償與能量聚焦。式(15)定義的LVD可以表示為[16]

(16)

式中:lvd(·)表示沿ξ軸方向進(jìn)行LVD變換;τm為時(shí)延變量;ψ為一個(gè)常數(shù)時(shí)延;β為一個(gè)常數(shù);A3表示LVD輸出的信號幅度。通常情況下取ψ=β=1[16],則式(16)可以化簡為

(17)

(18)

上述推導(dǎo)過程是假設(shè)在徑向速度已知的情況下進(jìn)行的,然而通常這些參數(shù)是未知的。因此,需要先估計(jì)徑向速度,則搜索估計(jì)表達(dá)式如下

(19)

方位聚焦結(jié)果和峰值位置可以通過下式得到

(20)

2.4 無模糊徑向速度與方位向速度估計(jì)

由于LVD對中心頻率的估計(jì)范圍為[-fPRF/4,fPRF/4],而目標(biāo)基帶速度的中心頻率范圍為[-fPRF/2,fPRF/2],因而有一半的基帶速度是在LVD中心頻率估計(jì)范圍之外。此時(shí),LVD估計(jì)出的速度可能是一個(gè)模糊速度,如果不對其在LVD域進(jìn)行解模糊,將導(dǎo)致中心頻率的錯(cuò)誤估計(jì)。因此,本節(jié)提出了結(jié)合徑向速度粗估計(jì)值與LVD域模糊速度估計(jì)值,進(jìn)行無模糊徑向速度精估計(jì)的方法。

(21)

(22)

(23)

本文所提方法的流程圖如圖2所示。

圖2 本文方法處理流程圖

3 算法復(fù)雜度分析

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證算法的有效性,本節(jié)設(shè)計(jì)了3個(gè)仿真實(shí)驗(yàn),仿真使用的雷達(dá)參數(shù)如表1所示。同時(shí),仿真假設(shè)回波信號雜波已經(jīng)得到了有效的抑制[5,20]。

表1 雷達(dá)仿真參數(shù)

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)1

本實(shí)驗(yàn)主要為了驗(yàn)證所提算法的有效性。實(shí)驗(yàn)中目標(biāo)A參數(shù)設(shè)置為vc=20.0 m/s,va=-24.6 m/s;目標(biāo)B參數(shù)設(shè)置為vc=-12.7 m/s,va=14.5 m/s;目標(biāo)的信噪比設(shè)置為脈壓后-12 dB。仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。為了清晰地顯示與對比算法處理前后的目標(biāo)軌跡和譜分布的結(jié)果,圖3b和3d,圖4a、4b和4c給出的是相應(yīng)的無噪聲的結(jié)果。結(jié)合圖3a和3b可知,由于微弱目標(biāo)的回波信噪比低,目標(biāo)運(yùn)動(dòng)引起的距離徙動(dòng)明顯,能量散焦嚴(yán)重,脈壓后的目標(biāo)軌跡已經(jīng)淹沒在噪聲中。結(jié)合圖3c和3d可以發(fā)現(xiàn),由于目標(biāo)的多普勒徙動(dòng)明顯,目標(biāo)信號直接進(jìn)行方位傅里葉變換累積時(shí),在頻域中目標(biāo)同樣被噪聲淹沒,且由于目標(biāo)A的徑向速度較大,其方位多普勒譜產(chǎn)生了明顯的分裂現(xiàn)象,而目標(biāo)B由于徑向速度較小,則頻譜比較完整。圖4a給出的是直接對原始目標(biāo)信號應(yīng)用SOKT的結(jié)果,從圖中圓圈處看出由于目標(biāo)A的方位多普勒譜分裂,經(jīng)過SOKT處理后,目標(biāo)的軌跡分裂成2個(gè)部分,嚴(yán)重影響了后續(xù)的聚焦與參數(shù)估計(jì),并產(chǎn)生錯(cuò)誤的目標(biāo)數(shù)目估計(jì),而目標(biāo)B的多普勒譜在一個(gè)PRF頻帶內(nèi),其軌跡完好。圖4b可以看出,經(jīng)過方位譜壓縮預(yù)處理后目標(biāo)A和目標(biāo)B的方位多普勒譜帶寬得到了極大的壓縮,譜擴(kuò)展問題得到較好的解決,即避免了多普勒譜分裂的影響,同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過預(yù)處理后,目標(biāo)的方位譜帶寬已經(jīng)小于fPRF/2了。圖4c給出經(jīng)過譜壓縮后應(yīng)用SOKT的結(jié)果,可以看出目標(biāo)軌跡的距離彎曲在得到較好補(bǔ)償?shù)耐瑫r(shí),目標(biāo)的距離走動(dòng)還存在,且經(jīng)過壓縮處理后,目標(biāo)的軌跡沒有發(fā)生分裂的現(xiàn)象,說明本文方法可以較好地解決多普勒譜分裂對距離徙動(dòng)補(bǔ)償?shù)挠绊憽D4d給出的是速度粗估計(jì)的結(jié)果,可以得出目標(biāo)A和目標(biāo)B的速度粗估計(jì)值分別為19.76 m/s和-12.91 m/s。

(a)距離脈壓結(jié)果

(b)距離脈壓無噪聲結(jié)果

(c)直接頻域累積結(jié)果

(d)方位多普勒譜分布

(a)直接SOKT結(jié)果

(b)方位譜壓縮后的譜分布

(c)譜壓縮后SOKT結(jié)果

(d)速度粗搜索結(jié)果

(a)目標(biāo)A聚焦結(jié)果

(b)目標(biāo)B聚焦結(jié)果

使用粗估計(jì)值進(jìn)行剩余距離走動(dòng)補(bǔ)償后,應(yīng)用LVD對目標(biāo)A和目標(biāo)B進(jìn)行聚焦的結(jié)果如圖5所示,可以看出,由于距離徙動(dòng)與多普勒徙動(dòng)得到較好的補(bǔ)償,且LVD的抗噪性能強(qiáng),目標(biāo)A和目標(biāo)B的能量得到了較好的聚集,在LVD域形成了明顯的峰值。

由速度粗估計(jì)值得出目標(biāo)A和目標(biāo)B的多普勒模糊數(shù)估計(jì)值分別為1和-1。從圖5a得出目標(biāo)A的基帶速度估計(jì)值為-1.614 7 m/s,而實(shí)際值為5.6 m/s,顯然此時(shí)估計(jì)出的徑向基帶速度在LVD域是一個(gè)模糊值,這與2.4節(jié)理論分析一致。因此,使用本文所提方法進(jìn)行解模糊后,得到徑向速度vcLVD域無模糊估計(jì)值可能為12.785 3、5.585 3 m/s與19.985 3 m/s。由此發(fā)現(xiàn)19.985 3 m/s與粗估計(jì)值差距最小,因此得出19.985 3 m/s為最終確定的無模糊徑向速度精估計(jì)值,且與19.76 m/s的粗估計(jì)值比較,無模糊精估計(jì)大幅提高了參數(shù)估計(jì)的精度。以上說明了本文所提的無模糊精估計(jì)方法的有效性。同理,表2列出了本文方法得出的目標(biāo)A和目標(biāo)B的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。表2結(jié)果證明了本文方法具有較好的參數(shù)估計(jì)性能,同時(shí)也說明了本文方法對多目標(biāo)同樣有效。綜上所述,首先通過對比譜壓縮前后應(yīng)用SOKT的結(jié)果,說明了本文方法解決多普勒譜分裂的有效性;其次,由于目標(biāo)A和目標(biāo)B的能量最終在LVD域得到較好的累積,說明了本文方法在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦方面的有效性;然后,通過比較LVD域解模糊前后的參數(shù)估計(jì)結(jié)果,說明了本文無模糊參數(shù)估計(jì)方法的有效性;最后,通過目標(biāo)A和B參數(shù)估計(jì)的結(jié)果,說明了本文方法參數(shù)估計(jì)的有效性。

表2 本文方法對2個(gè)目標(biāo)參數(shù)的估計(jì)結(jié)果

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)2

本實(shí)驗(yàn)主要為了驗(yàn)證所提算法的優(yōu)勢性。通過與文獻(xiàn)[13-15]方法對比聚焦性能,與文獻(xiàn)[14]方法對比參數(shù)估計(jì)性能來體現(xiàn)本文方法性能的優(yōu)勢。仿真參數(shù)同實(shí)驗(yàn)1,設(shè)置的目標(biāo)參數(shù)為目標(biāo)A,仿真結(jié)果如圖6所示。圖6a表示本文方法的聚焦結(jié)果,由于本文方法準(zhǔn)確的補(bǔ)償了距離徙動(dòng),且該過程是一個(gè)線性過程,而多普勒徙動(dòng)補(bǔ)償使用的LVD是一個(gè)漸進(jìn)線性變換[16],所以本文方法可以認(rèn)為是一個(gè)漸進(jìn)線性的方法。其目標(biāo)的信噪比損失較小,能量累積效果好。圖6b為文獻(xiàn)[13]方法的聚焦結(jié)果,可以看出由于文獻(xiàn)[13]方法距離彎曲的近似補(bǔ)償,未考慮多普勒譜分裂等因素,目標(biāo)信號能量損失較大,其能量不能得到較好的累積,因此目標(biāo)信號基本還是淹沒在噪聲中。圖6c為文獻(xiàn)[14]方法的聚焦結(jié)果,可以看出由于文獻(xiàn)[14]方法的非線性變換特性,導(dǎo)致了目標(biāo)信號能量損失嚴(yán)重,目標(biāo)的能量在距離多普勒域中不能較好的累積,其能量依然基本淹沒在噪聲中。圖6d為文獻(xiàn)[15]方法的聚焦結(jié)果,可以看出由于LVD的抗噪性比FRFT強(qiáng)[16],所以本文方法的聚焦性能還是優(yōu)于文獻(xiàn)[15]方法,且由第3節(jié)分析可以得到本文方法的計(jì)算復(fù)雜度也遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[15]方法。表3給出了本文方法與文獻(xiàn)[14]方法參數(shù)估計(jì)性能的對比結(jié)果。由天3可以發(fā)現(xiàn),在低信噪比條件下,本文方法的參數(shù)估計(jì)性能優(yōu)于文獻(xiàn)[14]方法。因此,通過比較本文方法和現(xiàn)有方法的聚焦與參數(shù)估計(jì)結(jié)果,說明了本文方法的優(yōu)越性。

(a)本文方法聚焦結(jié)果

(b)文獻(xiàn)[13]方法聚焦結(jié)果

(c)文獻(xiàn)[14]方法聚焦結(jié)果

(d)文獻(xiàn)[15]方法聚焦結(jié)果

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果對比

4.3 仿真實(shí)驗(yàn)3

本實(shí)驗(yàn)主要為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的檢測性能,仿真雷達(dá)參數(shù)同表1,目標(biāo)參數(shù)設(shè)置為目標(biāo)A。虛警概率設(shè)置為10-6,信噪比設(shè)置為-30 dB到15 dB,間隔為1 dB,每個(gè)信噪比進(jìn)行200次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)。圖7給出了4種不同算法的檢測概率與輸入信噪比的關(guān)系。由圖7可以看出,本文方法與文獻(xiàn)[15]方法的檢測性能遠(yuǎn)優(yōu)于文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]方法。其次,由于LVD的抗噪性能強(qiáng)于FRFT[16],因此所提方法的聚焦性能和抗噪性能也是要優(yōu)于文獻(xiàn)[15]方法。通過檢測性能的比較,進(jìn)一步說明了本文方法抗噪性能與聚焦性能的先進(jìn)性。

圖7 4種不同方法的檢測曲線對比

5 結(jié)束語

本文提出了一種嚴(yán)重方位模糊下的SAR微弱運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦與參數(shù)估計(jì)方法,該方法通過構(gòu)造方位譜壓縮函數(shù)與距離走動(dòng)補(bǔ)償函數(shù)消除了多普勒模糊對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)聚焦的影響,設(shè)計(jì)了LVD域無模糊參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則,實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)參數(shù)的無模糊估計(jì)。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于:①本文所提方法在嚴(yán)重方位模糊的情況下(包括多普勒中心模糊、多普勒譜分裂與LVD域多普勒模糊),也具有較好的性能;②本文所提方法具有較強(qiáng)的抗噪性能與較低的計(jì)算量,能夠?qū)崿F(xiàn)對微弱運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的聚焦與無模糊參數(shù)估計(jì)。最后,仿真實(shí)驗(yàn)證明了本文方法的有效性。