如何測試學生的創新能力

江春蓮 柳芳

學生創新能力的培養離不開探究性教學和評價。如何組織探究性教學？如何設計探究性評價任務？筆者以一道中考幾何題為例，具體談談如何測試學生的創新能力。

[如右圖，[AB]垂直平分[CD]交[CD]于[O]，[AB]=[BC]，[E]為[BC]延長線上的一點，[F]為[DB]延長線上一點，連接[AE]、[AF]，[∠EAF=∠EBF]，

（1）求證：[AE]=[AF].

（2）探究[BE]、[BF]、[OB]之間的關系，并證明.

（3）若[23OB=OA=1]，[BF=3]，直接寫出[△ABE]的面積. ] 上述第一問是證明題;第二問是探究性問題，要求學生探究三條線段之間的關系;第三問則是根據給定的線段長求[△ABE]的面積。

第一問有兩種解題思路：

【思路一】作輔助線：過[A]作[AG⊥BE]，[AH⊥BF]，[G]、[H]為垂足;又設[AF]、[BE]交于點[I].[∵][AB]垂直平分[CD]，[∴][BC=][BD]且[BO⊥CD]，[∴][BO]平分，[∴][AG=AH].

在[△EAI]與[△FBI]中，[∵∠EAF=∠EBF]（已知）和[∠EIA=∠EIB]（對頂角相等），[∴∠IEA=∠IFB]（三角形內角和定理）在[△EAG]與[△FAH]中，[∵][∠IEA=∠IFB]，[∠AGE=∠AHF=900]和[AG=AH]，[∴][△AGE？△AHF]，

[∴][AE-BF]=[（BG+GE）][-][（HF-HB）]=[BG+HB].（[∵][GE=HF）]

【思路二】作輔助線：連接線段[EF]，[∵][∠EAF]=[∠EBF]，[E]、[A]、[B]、F四點共圓，[∴][∠FEA]=[∠ABD]，[∠EFA]=[∠EBA].[∵][AB]垂直平分[CD]，[∴][BC]=[BD]且[BO⊥CD]，[∴][BO]平分[∠CBD]，[∠ABD=∠ABE]，[∴∠FEA][=∠EFA]，[∴][AE=AF].

第二問，沿著上面的思路，可以得到：[BE=BG=GE]，[BF=HF-HB]，由此不難證明[△AGB？][△AHB][？][△COB]，進而得出：[BE-BF]=2[BG]=2[OB].

第三問，根據前兩題的結論得出[S△ABE]=[12BE·AG]=[12（BF+2OB）·OB]，代入各個值即可計算出其面積。

從上面的討論，我們可以看出設計者一環套一環的設計思路。這樣的設計可以幫助學生掃除解答過程中的困難，但如果學生在第一問中沿思路二解答，則很難找到第二問的解答方法。如何突破這一點，幫助學生找到思路呢？在此我們先討論如何作圖，再來看圖形如何變化，借以引導學生找到思路。

[【作圖】根據前面的分析，我們可以看到在這個問題的圖形中，[C]、[D]可以任意選取，而[AB]則是[CD]的中垂線，考慮到[AB=BC]，可以先確定[A]，再確定[B]。（當然，也可以是先有[A]、[B]、[C]點，而要滿足[AB]垂直平分[CD]，[D]點就應該是[C]點關于[AB]的對稱點。）無論如何，一旦[C]、[D]兩點被確定下來，[CD]的中點[O]就被確定下來。接下來，可以在[BC]的延長線上任取[E]點，作[△ABE]的外接圓，該圓與[DB]延長線的交點，即為[F]點，所以，一旦[E]點被確定下來，[F]點也就相應地被確定下來。反過來，我們也可以在[DB]的延長線上取點[F]，作[△ABE]的外接圓與[BC]延長線的交點[E]。 ]

由此，我們可以以[BE]的長度為橫坐標，[BF]的長度為縱坐標，作點，并追蹤該點，不難發現，其軌跡是斜率為1的直線（如上圖），所以[BE-BF]為常數。若同時測量[OB]的長度，可以發現，[BE-BF]=[2OB].

在考試時，學生是沒有動態幾何軟件可看的，如何輔助他們探究[BE]與[OB]的關系呢？筆者認為，可以采用列表的方法給學生提供如下一些測量數據：

[序列 [BE] [BF] [OB] S1 5.04 0.92 2.06 S2 5.54 1.42 2.06 S3 6.04 1.92 2.06 S4 6.54 1.92 2.31 S5 7.04 1.92 2.56 ]

表中前三組數據中[OB]的值是一樣的，所以學生只用觀察[BE]和[BF]的改變，從[S1]到[S2]，從[S2]到[S3]，[BE]均增加了0.5，而[BF]也相應地增加了0.5，我們可以猜想[BE]和[BF]之間是一次函數關系，而且系數比應該是1;而后三組數據中的[BF]的值是一樣的，所以學生只用觀察[BE]和[OB]的改變，從[S3]到[S4]，從[S4]到[S5]，都是[BE]增加了0.5，而[OB]增加了0.25，我們可以猜想[BE]和[OB]之間是一次函數關系，而且系數比應該是1：2。至此，學生可以得出[BE]=[BE+b1]、[BE=2OB+b2]（其中[b1]、[b2]為待確定的常數）。最后，學生可以選第一組數據，得到三條線段之間的關系：[BE=BF+2OB]，并代入后面的幾組數據中進行檢驗。

有了動態幾何軟件以后，我們可以通過建立函數關系對要解決的問題進行探究。但在考試的情況下，如何呈現類似的信息呢？我們可以利用數表，讓學生觀察數表中量與量之間的關系，做簡單的數學建模。

對學生來說，建立函數常見的三種表達形式之間的聯系是一大困難，學生較習慣于解析式表征，而不太熟悉數表和圖象表征。這樣的問題設計，可以幫助學生從不同的角度認識一次函數的兩個量之間的關系。當然，這里實際上是一個二元函數，考慮它們之間的關系時，可以把一個量（如[OB]）當作已知的，單獨探討[BE]和[BF]之間的關系，這也是數學中處理復雜問題的常用方法。

（作者單位：江春蓮， 澳門大學教育學院;柳芳，深圳市深圳中學）

責任編輯 ?張敏