高等數(shù)學(xué)中換元法的教學(xué)探討

伍超林

摘? 要：換元法是極限運(yùn)算中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，對(duì)于理解兩個(gè)重要極限及等價(jià)無(wú)窮小，并運(yùn)用其來(lái)求極限有著不可或缺的作用。然而高等數(shù)學(xué)的教材中對(duì)此卻語(yǔ)焉不詳。該文彌補(bǔ)看教材的缺陷，介紹了換元法的理論依據(jù)為復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則，并結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小，探討了換元法在一元函數(shù)極限中的應(yīng)用，幫助學(xué)生更好地理解極限;進(jìn)一步推導(dǎo)出一元復(fù)合的多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則，把換元法推廣到二元極限的運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：換元法? 復(fù)合函數(shù)? 極限? 等價(jià)無(wú)窮小

中圖分類(lèi)號(hào)：O13? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-3791（2019）02（c）-0132-03

Abstract：The abstract should briefly state the problem or purpose of the research，indicate the theoretical or experimental plan used， summarize the principal findings or the significant results， and point out major conclusions. All letters must be accompanied by an abstract containing about 200 words and at least 6 single sentences. Acronyms should be provided their full names.

Key Words：Method of substitution;Composite function;Limit;Equivalent infinitesimal

高等數(shù)學(xué)是理工類(lèi)學(xué)生必修的一門(mén)公共基礎(chǔ)課，其難度較大。極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的內(nèi)容。兩個(gè)重要極限及等價(jià)無(wú)窮小在極限運(yùn)算中起著非常重要的作用。然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)兩個(gè)重要極限及等價(jià)無(wú)窮小的時(shí)候，并沒(méi)有能夠很好地理解其內(nèi)容。他們總是以為自變量一定要趨于零才行，要給出清楚的解釋?zhuān)枰獡Q元法，但是，在高等數(shù)學(xué)的教材中，對(duì)換元法的應(yīng)用卻語(yǔ)焉不詳，只是舉出了一兩個(gè)例子。針對(duì)此情況，相當(dāng)多的論文對(duì)于換元法在一元二元函數(shù)極限中的作用，做了不少的探討[1-4]，然而這些論文中，并沒(méi)指出換元法的依據(jù)，而且對(duì)換元法的講述不成體系。該文指出復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則為函數(shù)換元法的理論依據(jù)，并把高等數(shù)學(xué)中一元復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則推廣到二元函數(shù)中，這樣就把換元法置于復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則的框架之下。

1? 一元函數(shù)極限換元法的理論依據(jù)及其應(yīng)用

換元法的理論依據(jù)為一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則，其內(nèi)容如下。

定理1[5]：設(shè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成，在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則。

該定理可由推廣到，結(jié)論也成立。該定理表明，如果函數(shù)滿足該定理的條件，則做代換可把求轉(zhuǎn)化為求，其中。該算法即為換元法。然而在課本的后續(xù)學(xué)習(xí)中，并沒(méi)有給出足夠的例子說(shuō)明該法則的使用。事實(shí)上，換元法在理解兩個(gè)重要極限和等價(jià)無(wú)窮小中有著非常重要的作用，若能結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小，換元法在計(jì)算中也起著非常重要的作用。

1.1 換元法幫助理解兩個(gè)重要極限

兩個(gè)重要極限在極限運(yùn)算中扮演著非常重要的角色，后面的等價(jià)無(wú)窮小也跟其有著密切的聯(lián)系。理解好兩個(gè)重要極限，對(duì)于極限運(yùn)算有著非常重要的作用。然而要理解好兩個(gè)重要極限并不容易。

第一個(gè)重要極限為：。很多同學(xué)以為一定要，他們不能理解，也不能理解，因?yàn)樵谒麄兛磥?lái)，這兩個(gè)極限的并未趨于0。這時(shí)候，用換元法去解釋是最好的，例如：

1.2 換元法在等價(jià)無(wú)窮小中的應(yīng)用

明，由二元函數(shù)推廣到元函數(shù)，結(jié)論仍然成立。該定理表明，如果函數(shù)滿足該定理的條件，則做代換可把求轉(zhuǎn)化為求，其中。該算法即為換元法。二元函數(shù)換元法能把一元函數(shù)兩個(gè)重要極限和等價(jià)無(wú)窮小的相關(guān)結(jié)果很容易推廣到二元函數(shù)極限中，從而對(duì)求二元函數(shù)極限帶來(lái)極大的幫助。

2.1 換元法推廣兩個(gè)重要極限

兩個(gè)重要極限在極限運(yùn)算中扮演著非常重要的角色，后面的等價(jià)無(wú)窮小也跟其有著密切的聯(lián)系。理解好兩個(gè)重要極限，對(duì)于極限運(yùn)算有著非常重要的作用。接下來(lái)利用定理3推廣此兩個(gè)極限。

可把第一個(gè)重要極限推廣為：

該文彌補(bǔ)了教材的缺陷，系統(tǒng)介紹了換元法的理論依據(jù)及其在極限運(yùn)算中的應(yīng)用，并推廣了相關(guān)的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1] 丁艷鳳，張玉玲.換元法在求極限中的應(yīng)用舉例[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2015（34）：249-250.

[2] 李德樂(lè).淺談兩個(gè)重要極限的換元法[J].現(xiàn)代職業(yè)教育，2016（12）：135-136.

[3] 馮英杰，李麗霞.二元函數(shù)極限的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2003，6（1）：33-44.

[4] 葉建兵.二元函數(shù)與一元函數(shù)的幾個(gè)轉(zhuǎn)化問(wèn)題[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，26（2）：23-25.

[5] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第7版.北京：北京高等教育出版社，2016：43-44，54-55.