問題驅動式的Bode曲線教學

宋海濤 王夏復 夏朝輝 張合新 鄭玉航

摘要：本文主要采用問題驅動式方法對《自動控制原理》中的Bode曲線進行教學設計。從復雜系統建模這個具體的工程問題出發，逐層遞進，講述Bode曲線定義、推導繪制方法、逆向應用建模，完整展示提出問題—分析問題—解決問題的“閉環思想”。該教學方法培養了學生的理論與實踐相結合的能力。

關鍵詞：自動控制原理;Bode曲線;實驗建模;教學方法

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2019）18-0204-02

一、引言

《自動控制原理》是一門理論性和實踐性很強的工程技術基礎課程，該課程理論抽象、公式推導復雜，不易理解和掌握[1]。這就對教學提出了挑戰，要求任課老師對教學內容進行合理設計，并采用科學的教學方法[2]。

Bode曲線，又稱對數頻率特性曲線，是控制系統的一種重要的幾何曲線。它反映系統的頻率特性，可以作為系統分析和系統設計的關鍵工具。但是，頻率域概念抽象，傳統的注入式教學模式效果一般。針對此缺陷，本文從實際工程問題出發，逐層遞進，講述曲線定義、推導繪制方法、逆向應用，注重理論與實踐的結合，提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力[3，4]。

二、教學目標

通過本次課內容的學習，將達到如下教學目標：

第一，掌握系統的Bode曲線繪制方法（重點）;

第二，掌握利用Bode曲線對系統建模（難點）。

三、教學實施

1.問題的提出。舵機是機器人的重要執行機構，如圖1所示，其結構比較復雜，包含電路、機械關系。為了對機器人整體進行性能分析和設計，需要獲得舵機的精確數學模型。因此，舵機的數學模型很重要。

常用的建模方法是機理建模。但是，舵機的機理復雜，信號種類多，信號轉換存在誤差，建模結果不準確。因此，常采用另外一種建模方法——實驗建模，原理如圖2所示頻率響應。

實驗建模方法[5]。給舵機輸入正弦諧波信號，由頻譜分析儀采集輸入輸出信號，經相關計算后得到舵機的對數幅頻和相頻數據，然后進行相關處理，確定系統的頻率特性，完成系統建模。其中，關鍵工具是Bode曲線。

2.曲線的定義（工具橋梁）。Bode曲線包含兩條子曲線：對數幅頻和對數相頻曲線，兩曲線的橫坐標相同，都是半對數坐標系，即長度是lgω進行度量的。對數幅頻的縱坐標定義為20lg|G（jω）|;對數相頻的縱坐標為∠G（jω）。

3.典型環節的曲線（基礎）。一般的控制系統可看作是由一些簡單環節串聯構成的，這些簡單環節稱之為典型環節。常見的典型環節有：比例環節、積分環節、慣性環節、一階微分環節、振蕩環節和二階微分環節。對應頻率特性及曲線參見[5]，它們的對數頻率特性直接影響系統整體的對數頻率特性。

4.系統的開環曲線繪制（理論基礎）。一個系統的對數幅頻特性是多個典型環節的對數幅頻特性疊加，而在轉折頻率段內，典型環節的對數幅頻漸近特性曲線斜率不變化，則系統的對數幅頻特性的直線方程也應該保持不變。那么，系統對數頻率特性曲線中的對數幅頻曲線應該是分段直線。則可以根據轉折頻率繪制系統的對數幅頻特性曲線，此法稱為按轉折頻率分段計算法。

最小的轉折頻率以左的頻率范圍稱為低頻段。對系統頻率特性求極限推導，可得低頻段L（ω）的直線方程為L（ω）=20lgK-υ×20lgω。基于低頻段曲線，再利用分段直線的變化規律就可以繪制其他頻段的曲線。在后面的繪制中，每遇到一個轉折頻率后，系統就疊加上其對應的典型環節的影響，直線斜率就會發生變化，變化的規律就取決于該轉折頻率對應的典型環節的特性，則得到分段直線的方程。

對于對數相頻特性曲線的繪制，需要列寫出系統相頻的表達式，采用描點法繪制。

此部分根據模型繪制曲線，這個過程能否反過來呢？是可行的，這種逆向思維給我們提供了系統建模的一個重要方法：模型辨識。

5.曲線逆向應用（解決問題）。模型就是頻率特性，分為K、υ、慣性環節、一階微分環節等要素。而這些要素分別由曲線的低頻段和其他頻段決定。低頻段的方程取決于K，υ，那我們根據低頻段曲線就可以確定K，υ;其他頻段的各轉折頻率及各折線的斜率則反映了系統含有慣性環節、一階微分環節等各典型環節的信息。這樣就可以最終確定系統的頻率特性。所以，如果能夠獲得系統的對數幅頻曲線，就可以確定系統模型，即模型辨識。而對數幅頻曲線可利用頻率響應實驗得到。

下面通過一組舵機頻率響應實驗數據來對舵機進行實驗建模。首先，根據實驗數據，描點得到舵機的真實對數幅頻曲線，如圖3中粗虛線所示。可見，真實對數幅頻曲線不是直線、折線，這是因為實驗設備測量噪聲、干擾。經過去噪、分段擬合處理，得到如圖3中粗實線所示的對數幅頻漸近線。

可見，對數幅頻漸近線大約有三段，利用漸近線可在圖上測量出其低頻段幅值、各分段的斜率、轉折頻率。低頻段幅值為3.52，斜率大小分別是0，-20，-40，轉折頻率為1、100。

四、總結

本節課以復雜系統的模型辨識問題為驅動，講述控制系統頻域的一個重要曲線——Bode曲線的繪制和應用，問題驅動式的教學思路完整展示提出問題—分析問題—解決問題的“閉環思想”。教學內容和教學方法體現復雜數學模型與簡潔幾何曲線的數形結合思想。在曲線繪制部分，根據系統模型推導，發現曲線是由低頻段關鍵要素K，υ和其他頻段的轉折頻率決定。在曲線的逆向應用部分，利用對數幅頻曲線與數學模型的一一對應關系，解決系統建模問題。但是，這種一一對應關系僅適用于最小相位系統，如果系統為非最小相位系統，則需要同時結合相頻特性。Bode曲線的實驗建模應用，具有廣泛的工程實踐意義，有助于解決復雜系統的建模問題。

參考文獻：

[1]白翔云，鄒長春.淺談自動控制原理教學改革與實踐[J].時代農機，2018，（4）：123.

[2]林青，裘潯雋，張君，王金平，丁軻軻.以多種手段為導向的教學方法的實踐及探討[J].教育教學論壇，2018，（24）：167-168.

Abstract：This paper mainly uses Problem-driven method to finish the instructional design of the Bode curve in automatic control principle.Starting from the modeling of complex system，which is a specific engineering problem，this paper describes the definition of Bode curve，deduces the drawing method，and models with the reverse application.The whole process completely presents the closed-loop idea of raising problems，analyzing problems and solving problems.This teaching method trains the students' ability of combining theory with practice.

Key words：automatic control principle;Bode curve;experimental modeling;teaching method