隨機動力學(xué)響應(yīng)的高斯相關(guān)過程模擬

張 巍，應(yīng)祖光

（1.浙江理工大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院實驗中心，杭州310018；2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州310027）

動力學(xué)響應(yīng)是描述系統(tǒng)振動狀態(tài)、評估其性能、用于控制等的重要變量。通常的隨機振動分析是先建立動力學(xué)系統(tǒng)模型，確定隨機激勵，然后按照隨機振動理論方法評估響應(yīng)，用數(shù)值方法計算對于一個樣本激勵的響應(yīng)時程。簡單的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可確定較精確的模型及質(zhì)量、阻尼與剛度等系統(tǒng)參數(shù)，從而計算隨機響應(yīng)。然而，實際問題如航空航天、交通工程等結(jié)構(gòu)往往極其復(fù)雜，難以建立簡單準確的系統(tǒng)模型，因此簡化的模型具有一定的不確定性，包括參數(shù)、模型等隨機偏差。雖然按照一定的系統(tǒng)偏差概率模型可以進行隨機響應(yīng)的統(tǒng)計分析，但對于高自由度系統(tǒng)將導(dǎo)致巨大的計算工作量，并影響結(jié)果的可靠性。此外，隨機激勵樣本往往難以直接測量得到，通常經(jīng)由測量系統(tǒng)響應(yīng)時程、按一定系統(tǒng)模型反算得到，其結(jié)果將受模型不確定性的影響。因此，探索基于系統(tǒng)響應(yīng)觀測的、直接的隨機過程概率模型與評估方法是克服模型不確定性等問題的一個重要途徑。

近年來，人工智能與數(shù)據(jù)處理技術(shù)等領(lǐng)域迅速發(fā)展。面對同樣的復(fù)雜系統(tǒng)不確定性問題，許多研究采用無確定性系統(tǒng)模型的、直接對于系統(tǒng)響應(yīng)的隨機過程概率模型，并基于隨機過程模型直接進行概率評估、系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測等，這種隨機過程模型在模型層面就包含了概率統(tǒng)計特性，同時基于系統(tǒng)狀態(tài)觀測使得隨機過程模型與評估能夠針對當前的樣本過程，并可隨觀測量的不斷增加而更新隨機過程模型，還可以根據(jù)貝葉斯定理更新概率密度[1-4]。鑒于高斯分布的普遍性、高斯過程的均值與方差確定性、及其概率統(tǒng)計特性數(shù)學(xué)表達的簡潔與可分析性、系統(tǒng)前后狀態(tài)的相關(guān)性等，高斯相關(guān)過程受到普遍關(guān)注并廣為采用[3]，其相關(guān)性或協(xié)方差的核函數(shù)表達描述了空間與時間維度上的統(tǒng)計特性。然而，高斯相關(guān)過程概率模型在工程中的應(yīng)用還非常有限與初步，例如文獻[5-6]考慮結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，用高斯過程模型評估頻響函數(shù)。目前研究主要限于系統(tǒng)參數(shù)不確定性對于響應(yīng)特性的高斯過程模型評估，而非隨機激勵的系統(tǒng)響應(yīng)評估，隨機響應(yīng)的子結(jié)構(gòu)與有限元法等在方法模型上是確定性、且導(dǎo)致巨大的計算工作量[7]。

本文提出一條針對動力學(xué)系統(tǒng)響應(yīng)的、直接的隨機過程概率模型與評估方法的新途徑。首先介紹隨機激勵動力學(xué)系統(tǒng)響應(yīng)的分析，考慮高斯白噪聲激勵，分析說明響應(yīng)的高斯隨機過程特性、響應(yīng)在時間維度上的相關(guān)性、及其協(xié)方差隨時間差的指數(shù)衰減特性。然后用高斯相關(guān)過程直接模擬系統(tǒng)響應(yīng)，由響應(yīng)協(xié)方差確定高斯過程的協(xié)方差，據(jù)此擬合得到高斯過程的核函數(shù)，從而確定響應(yīng)的高斯相關(guān)過程概率模型，避免了復(fù)雜系統(tǒng)的確定性建模及其微積分運算等。同時介紹高斯相關(guān)過程的貝葉斯更新與系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測。最后通過數(shù)值結(jié)果說明高斯相關(guān)過程模型的建立與響應(yīng)評估情況。

1 隨機響應(yīng)的基本統(tǒng)計特性

通常動力學(xué)系統(tǒng)受隨機激勵可由微分方程表示，例如單自由度系統(tǒng)方程為

式中：x是位移，m是質(zhì)量，c是阻尼，k是剛度，f(t)是隨機激勵。確定系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼與剛度，由式（1）可計算各激勵下的響應(yīng)x。設(shè)隨機激勵為典型的高斯白噪聲，則f(t)于各時刻的隨機變化是獨立、互不相關(guān)的，相關(guān)時間為0。經(jīng)由系統(tǒng)式（1）產(chǎn)生的響應(yīng)x(t)也是隨機的，且各時刻的隨機變化服從高斯分布，但并不獨立，其相關(guān)時間大于0。

高斯隨機變量的統(tǒng)計特性取決于均值與協(xié)方差。由系統(tǒng)式（1），零均值激勵的響應(yīng)均值也為零。設(shè)τ是時間差，將t與t+τ時刻的式（1）兩邊分別相乘，并取期望可得關(guān)于協(xié)方差的微分方程。對于平穩(wěn)響應(yīng)，由t+τ時刻的式（1）乘以x(t)，取期望得

式中：Rx(τ)是協(xié)方差。由式（2）知響應(yīng)協(xié)方差隨時間差指數(shù)衰減（c＞0），即響應(yīng)的相關(guān)時間大于0，相關(guān)程度隨時間差增加而降低。因此系統(tǒng)響應(yīng)是具有一定相關(guān)性的隨機過程，或高斯相關(guān)過程，其相關(guān)性或協(xié)方差可用一定的衰減函數(shù)描述，通常稱之為核函數(shù)[3]。

2 高斯相關(guān)過程的特性與模擬

簡單的系統(tǒng)可確定較精確的質(zhì)量、阻尼與剛度等參數(shù)，從而由式（1）計算隨機響應(yīng)。然而，許多實際系統(tǒng)具有一定的不確定性，導(dǎo)致參數(shù)或模型不準確，產(chǎn)生結(jié)果偏差。因此，直接的隨機過程概率模型在人工智能等領(lǐng)域迅速發(fā)展，特別是高斯相關(guān)過程具有很好的可分析統(tǒng)計特性而廣為采用。對于系統(tǒng)式（1）的響應(yīng)x(t)，均值為零，協(xié)方差隨時間差指數(shù)衰減，可用高斯相關(guān)過程g(t)直接模擬，其均值與協(xié)方差分別為

式中：E{·}表示期望運算。據(jù)此可構(gòu)造高斯過程，其樣本可基于標準高斯白噪聲W(t)生成，即g(t)=s[W(t)]，其中s[·]是一個確定性函數(shù)，由協(xié)方差Rg(τ)決定。例如對指數(shù)衰減的協(xié)方差，可選擇核函數(shù)[3]

式中：σc是偏差系數(shù)，tc是特征時間長度。則高斯過程的協(xié)方差Rg(τ)=hg(τ)，由其形成矩陣的奇異值分解與白噪聲離散向量即得離散的高斯過程樣本。核函數(shù)中的參數(shù)由協(xié)方差Rx(τ)擬合確定，使兩者差的平方極小

響應(yīng)樣本可直接采用測量值，由此計算協(xié)方差Rx(τ)，用于確定核函數(shù)，這樣更具有樣本的針對性。總之由測量樣本計算協(xié)方差，得到核函數(shù)，確定高斯相關(guān)過程，即得隨機過程的直接概率模型，避免了復(fù)雜系統(tǒng)的確定性建模及其微積分運算。

上述過程也稱為高斯過程回歸，此后可用作未來狀態(tài)的概率預(yù)測。例如離散的樣本向量G=[g(t1)，g(t2)，…，g(tn)]T具有聯(lián)合高斯分布，其概率密度為

式中：n是向量維數(shù)，CG是向量的協(xié)方差矩陣。概率模型的一個優(yōu)點是可以隨測量值的不斷增加而更新，一方面可通過協(xié)方差Rx(τ)到核函數(shù)hg(τ)進行更新，另一方面可根據(jù)貝葉斯定理更新概率密度[4]

式中：p(xn+1|G)可由式（6）相應(yīng)的x(t)的概率密度計算，分母項不影響G的分布。而基于樣本向量的聯(lián)合高斯分布特性可進行樣本均值的概率預(yù)測，例如向量[GT，g(tn+1)]T的協(xié)方差由式（4）計算，則tn+1時刻的樣本均值及其方差分別為[3]

式中：Cg*是g(tn+1)的方差，Cg*,G與CG,g*是向量G與g(tn+1)的協(xié)方差向量。具體計算可參考有關(guān)文獻[3]。

3 數(shù)值結(jié)果

考慮隨機激勵的系統(tǒng)（1），無量綱參數(shù)為：m=1，c=2，k=10，白噪聲激勵的標準差為10。用龍格-庫塔法計算系統(tǒng)響應(yīng)，無量綱位移響應(yīng)x(t)如圖1所示。將其作為觀測樣本而取前部分，生成協(xié)方差Rx(τ)，按式（5）擬合得到核函數(shù)（4），如圖2所示。其中參數(shù)σc=0.15，tc=0.29。從而確定高斯相關(guān)過程g(t)，其樣本可基于標準高斯白噪聲W(t)再生成，用于模擬原位移響應(yīng)x(t)。圖3展示了高斯過程的一個樣本，其中僅包含1 000個樣本點。當樣本點很多時，涉及的奇異值分解矩陣運算將需要較大的內(nèi)存與時間。由高斯過程g(t)進一步得到功率譜，圖4展示了高斯過程的功率譜與位移響應(yīng)的功率譜，總體上兩者相吻合，某些局部有一定偏差，因所用樣本點數(shù)有限，且噪聲是模擬的，通過提高樣本點數(shù)將可改善高斯過程，更接近理論特征。

圖1 無量綱位移響應(yīng)

圖2 位移協(xié)方差

圖3 高斯相關(guān)過程樣本g(t)

圖4 功率譜密度

4 結(jié)語

本文提出了針對動力學(xué)系統(tǒng)響應(yīng)的、直接的隨機過程新概率模型與評估方法，并進行一定的探索性研究。基于高斯白噪聲激勵動力學(xué)系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計特性分析，說明系統(tǒng)響應(yīng)的高斯隨機過程特性、響應(yīng)在時間維度上的相關(guān)性、及其協(xié)方差隨時間差的指數(shù)衰減特性等。發(fā)展了該系統(tǒng)響應(yīng)的高斯相關(guān)過程概率建模與評估方法，先計算響應(yīng)協(xié)方差，再據(jù)此擬合得到高斯過程的協(xié)方差或核函數(shù)，從而確定響應(yīng)的高斯相關(guān)過程概率模型，由此直接生成樣本過程，評估系統(tǒng)響應(yīng)統(tǒng)計等。采用該高斯過程概率模型可避免復(fù)雜系統(tǒng)的確定性建模及其微積分運算等。同時給出高斯相關(guān)過程的貝葉斯更新與系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測的一些基本公式。數(shù)值結(jié)果驗證了該高斯相關(guān)過程的概率建模與響應(yīng)評估方法的可行性與有效性。