準確求解固有頻率提高分段積分阻尼識別精度及其應用

時海濤，程 惠，趙曉丹

（江蘇大學 汽車與交通工程學院，江蘇 鎮江212013）

阻尼識別在發動機結構故障診斷、噪聲控制及動力響應等方面具有重要意義，有關阻尼測試的研究受到廣泛重視，快速、準確地識別阻尼一直是大家關注的焦點。傳統的阻尼測試方法有自由衰減法和半功率帶寬法[1-2]，隨著研究的不斷深入，很多阻尼識別方法相繼被提出，如Hilbert-Huang 變換[3]、EMD-HT[4]、加逆衰減指數窗[5]和小波變換法[6]等。在工程應用中，最常用的阻尼識別方法依然是半功率帶寬法，雖然此方法受頻率分辨率影響，阻尼識別存在誤差，特別是在小阻尼情況下識別誤差較大，但是它是在做傅里葉變換后使用計算公式直接得到阻尼比，計算方便快捷。

內積相關法[7]也是一種有效的阻尼識別方法，其特點是識別小阻尼精度高，但由于受到負頻率項的影響，識別大阻尼時存在一定誤差，而且由于需要進行優化計算，識別速度不夠快。近年提出的分段積分法[8]采用列方程推導關系公式的方法計算阻尼，具有計算速度快的特點，而且由于控制積分時間為信號半周期的倍數，消除了負頻率項的影響，在大、小阻尼情況下均可有效識別。這種方法的關鍵是需要得到準確的振動衰減信號的有阻尼固有頻率，但是由于泄漏誤差和阻尼的存在，傅里葉變換只能識別出近似的信號固有頻率，與真實的固有頻率有偏差。本文以傅里葉變換識別的峰值頻率為基礎，推導出固有頻率和傅里葉變換峰值頻率之差的關系公式，快速求解出準確的固有頻率，用于分段積分法，從而保證阻尼識別精度。將該方法應用于發動機齒輪室蓋的阻尼識別。

1 準確求解固有頻率提高阻尼識別精度

單自由度衰減響應信號x(t)可表示為

式中：A為信號幅值，n為衰減系數，ωd為有阻尼信號的固有角頻率，φ為信號的初相位，常數C等于Aejφ2，C?等于Ae-jφ2。式（1）中的后一項為負頻率項。

分段積分法[8]識別阻尼的基本思路是：對阻尼衰減信號與構造的基函數的乘積做兩次時間不等的積分運算，由兩次積分運算獲得關系公式，求得衰減系數，進而求得阻尼比。理論分析如下：用固有頻率ωd構造基函數e-jωdt，對信號x(t)與基函數e-jωdt的乘積做兩次時間不等的積分運算，第一次積分的積分區間為[0,T1]，令y=e-nT1，積分結果記為S1，將積分結果展開

第二次積分區間假設為[0,T2]，取T2=2T1。積分結果記為S2

為消除式（2）、式（3）中負頻率積分項的影響，建立兩式之間的比例關系，文獻[8]提出控制積分時間為信號半周期的整數倍，即控制T1=mπωd（m為任意正整數），此時存在：cos(4ωdT1)=cos(2ωdT1)=1，sin(4ωdT1)=sin(2ωdT1)=0。此時，式（2）、式（3）可分別進一步化簡為

比較式（5）、式（4）兩式可得

進而可以解得衰減系數n

得到衰減系數n以后，便可求得信號的阻尼比

以上為分段積分法識別信號阻尼的過程。從以上理論分析過程可知，只有準確識別出信號固有頻率才能控制積分時間以消除負頻率項的影響，因此固有頻率ωd的準確識別是分段積分法的關鍵。但在實際運算過程中，由于阻尼和截斷誤差的存在，使用傅里葉變換識別出的固有頻率與真實信號角頻率ωd之間存在誤差Δω[9]

本文提出一種求解Δω的方法，進而修正傅里葉變換對信號固有頻率的識別。求解過程如下：根據傅里葉變換峰值識別出的固有頻率，構造基函數，對響應信號x(t)與構造的基函數的乘積作積分運算，積分區間為[0,Ta]，積分結果記為D1

根據黎曼-勒貝格定理[10]，連續函數與高頻函數乘積的積分趨于零，而（10）中的后一項相對于前一項為高頻函數的積分。因此，計算中可將后一項忽略，式（10）的積分結果為

對響應信號x(t)與基函數的乘積作第二次積分運算，取積分區間[0,Tb]，取Tb=2Ta，同理可得第二次積分結果為

將式（12）、式（11）相除，可得

由式（13）即可求得固有頻率誤差Δω

式中：Im(?)表示對?取虛部。得到固有頻率誤差Δω后，代入公式（9），便可求得固有頻率ωd。將得到的ωd應用于分段積分法，由公式（7）、式（8）可以得到信號的衰減系數n和阻尼比ζ。

在得到信號固有頻率ωd和衰減系數n以后，可以進一步得到信號的幅值A和初相位φ，用于重構整個阻尼衰減信號。計算如下：振動衰減信號x(t)與e-jωdt的乘積做積分運算，積分區間為[0,Ta]，積分結果如式（10）、式（11），由于這里代入的是ωd，而非傅里葉變換得到的，因此式（11）中的Δω為零，積分結果表示為

由式（15）可以求得C

由式（16）可求得信號的幅值A和初相位φ

arg(?)表示對?求輻角。

2 仿真算例

為了驗證此方法的有效性，構造如式（1）所示的響應信號，現給定3 個信號，3 個信號的幅值A均為2，初始相位φ均為0.3 rad，信號無阻尼固有頻率fn均為201.36 Hz，阻尼比ζ分別為0.007、0.01 和0.02，信號有阻尼固有頻率fd分別為201.355 Hz、201.350 Hz和201.320 Hz。采樣頻率2 000 Hz，采樣點數2 000點，考察本文的固有頻率識別方法，識別結果如下。

表1 固有頻率識別結果對比

由表1可知，由于頻率分辨率的限制，在3 種不同阻尼比情況下，傅里葉變換方法都只能識別出近似的固有頻率，識別值為201.0 Hz，而本文方法可快速求解出較準確的固有頻率。

求解出固有頻率后，控制積分時間為信號半周期整數倍，使用分段積分法進行阻尼識別，并進行對比。一種是采用傅里葉變換識別的作為信號固有頻率ωd進行阻尼識別，另一種是采用本文修正方法求解出的固有頻率進行阻尼識別。算例中控制的積分時間T1為80 個信號周期，識別結果的對比如表2所示。

由表2可以看出：傅里葉變換識別固有頻率用于分段積分法進行阻尼識別時存在一定誤差。而本文方法求解的固有頻率用于分段積分法進行阻尼識別時，識別結果準確，在3種阻尼比情況下相對誤差均在1%以內。

得到信號的固有頻率ωd和衰減指數n以后，用公式（17）可以計算得到整個阻尼信號的幅值和初相位，進行信號重構。現進行同樣的對比，一種是使用傅里葉變換識別的固有頻率用于識別阻尼進而得到重構信號，另一種是采用本文方法求解的固有頻率用于識別阻尼進而得到重構信號。

選取阻尼比為0.01 的衰減信號為算例，信號幅值A=2.0，初始相位φ=0.3 rad，信號無阻尼固有頻率fn=201.36 Hz。采用傅里葉變換識別固有頻率進而計算得到的信號幅值和初相位分別為：A1=2.095，φ1=0.381 rad。采用本文方法求解固有頻率進而計算得到的信號幅值和初相位分別為：A2=2.011，φ2=0.294 rad。可見由于本文方法得到了更準確的信號固有頻率和衰減系數，幅值和相位的求解也更加準確。為了考察整個阻尼信號提取的效果，使用原真實信號減去重構信號并作頻譜分析，兩種方法得到的剩余頻譜如圖1所示。

從圖1可以看出，使用傅里葉變換識別固有頻率并進行阻尼識別后得到的重構信號存在一定誤差，消減后的剩余信號頻譜中尚有約15個單位的剩余幅值，信號提取不夠完全。而使用本文方法改進頻率識別后得到的重構信號比較準確，剩余頻譜峰值幾乎為零。說明本文方法求解出準確的固有頻率有意義，阻尼識別精度提高，進而在信號的提取分析方面也更為準確，優勢更明顯。

表2 阻尼識別結果對比

圖1 原信號頻譜與兩種方法消減后的剩余信號頻譜

3 齒輪室蓋阻尼識別試驗

齒輪室蓋是發動機上的主要薄壁件[11]，工作過程中易產生振動和輻射噪聲。準確識別齒輪室蓋模態阻尼可以為控制發動機的振動噪聲提供依據，常有這方面的工程應用研究[12-13]。本文針對某型號發動機齒輪室蓋進行了阻尼識別。實驗過程如下：用橡皮繩將齒輪室蓋水平吊置于實驗臺架上，使用型號為B＆K 8848 的銅質力錘豎直敲擊齒輪室蓋中部，通過安裝于齒輪室蓋上型號為B＆K 4321 的加速度傳感器記錄齒輪室蓋振動信號，實驗現場照片如圖2所示。

圖2 齒輪室蓋阻尼實驗照片

試驗中的采樣頻率為2 000 Hz，齒輪室蓋響應信號頻譜如圖3所示。

從圖3的齒輪室蓋信號頻域圖中可清晰看出，響應信號具有4 階模態。第1 階模態在200 Hz 附近，以此為例，采用3種方法對其進行固有頻率和阻尼比的識別，識別結果見表3。

運用公式（17）分別計算出信號幅值與相位，重構出第1 階模態信號，然后將其從整個振動衰減信號中減去，得到剩余信號頻譜，結果如圖4所示。

綜合表3和圖4可以看出，由于傳統的半功率帶

圖3 齒輪室蓋信號頻域圖

表3 第1階模態識別結果

寬法和傅里葉變換識別固有頻率的分段積分法識別固有頻率不準確，導致阻尼識別有偏差，在此基礎上進行信號提取誤差結果明顯，從圖4(a)、圖4(b)可以看出，兩種方法提取第1 階模態信號后仍有較大剩余幅值。而采用本文方法識別固有頻率的分段積分法提取第1 階模態信號后，如圖4(c)所示，幾乎沒有剩余頻譜。說明本文方法計算出的信號固有頻率和阻尼比更為準確有效，在信號提取方面更顯優勢。

運用本文方法識別其余各階模態的固有頻率和阻尼比，識別結果如表4所示。

由以上的識別結果可以看出，齒輪室蓋振動信號的其它3 階模態分別在363.920 Hz、636.650 Hz和940.545 Hz 處，對應的阻尼比分別為0.004 516、0.001 905和0.001 601。

圖4 減去第1階模態后剩余信號頻譜

表4 齒輪室蓋阻尼識別結果

進一步考察識別的準確性，同樣運用公式（17）計算出各階模態幅值與相位角，據此重構各階模態信號，將各階模態從振動信號中減去，觀察剩余信號頻譜，如圖5所示。

圖5 減去4階模態后剩余信號頻譜

由圖5可以看出，減去相應的模態信號后，剩余信號頻譜中已無明顯對應峰值，表明本文方法對2、3、4階模態信號的識別結果也是準確的。

4 結語

本文提出一種準確求解振動衰減信號有阻尼固有頻率的方法，將準確求得的固有頻率用于分段積分法進行阻尼識別。其特點有：

（1）識別精度高，在大、小阻尼情況下均能夠準確識別阻尼比；由于固有頻率和阻尼比的準確識別，整個阻尼衰減信號的識別和提取精度也相應提高。

（2）固有頻率和阻尼均是在傅里葉變換后通過相應的關系公式計算得到，不需要優化搜索，計算速度快，工程實用性好。

將本方法運用于發動機齒輪室蓋的阻尼識別，結果表明，此方法準確識別出了齒輪室蓋的固有頻率和阻尼。