基于半功率帶寬法的行波超聲電機諧響應分析

劉 軍，朱 華，牛子杰，趙淳生

(1.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016；2.西北農林科技大學 機械與電子工程學院，陜西 西安 712100)

0 引言

超聲電機(USM)是一種新型微特電機，其工作原理是利用壓電材料的逆壓電效應激發彈性體(定子)在超聲頻段內的微幅振動，并通過定、轉子(動子)之間的摩擦作用將振動轉換成轉子(動子)的旋轉(直線)運動，輸出功率，驅動負載。其中，行波型旋轉超聲電機(TRUM)是目前最具代表性且實際應用最多的一類超聲電機。而作為驅動行波超聲電機工作的關鍵部件，定子組件(粘貼有壓電陶瓷的彈性體，以下簡稱定子)的設計情況對電機的輸出性能有著重要影響[1]。

近年來，主要利用有限元方法對行波電機定子的振動特性進行模態分析和諧響應分析，從而獲得定子彈性體的振動模態參數。由于求解計算均在成熟的計算機軟件中進行，故節省了大量人工用時，并提供了較可靠的計算結果。然而，有限元仿真結果的準確性是建立在模型材料固有屬性設置的準確性之上，尤其是在諧響應分析時，結構阻尼比、激勵等條件會對定子響應振幅產生很大影響，以致于干擾了研究人員的設計選擇。因此，定子的有限元模型參數越準確，計算結果越逼近實際的振動效果。但是，大多研究者僅使用模態分析來得到定子的各階固有頻率和振型，進而選取符合預期的工作模態來設計定子，接著用樣機進行實驗來確認與仿真結果的一致性[2-3]；部分研究者在模態分析后進行諧響應分析，得到了響應振幅的仿真結果，但并未進行實際測試，只能看作設計結果的參考，不具有準確性[4]；此外，對諧響應仿真結果影響較大的模態阻尼比，部分文獻只提到進行了人為設置，并未給出參數設計依據[5-7]；還有文獻利用半解析法算出定子的模態頻率、振型及振幅，并通過激光測振系統進行實驗驗證，結果較吻合[8]，但解析法不夠直觀，計算工作量大，且不利于定子參數化快速設計與優化。

本文以所在單位研制的一種中空行波超聲電機TRUM-70H為研究對象，通過激光測振系統獲得了電機定子振動模態頻率和響應振幅，利用半功率帶寬法求出定子工作模態的阻尼比，建立了有限元模型并進行諧響應分析，得到工作模態及其前后兩階模態的頻率、振幅，對比激光測振結果發現仿真結果基本吻合。為了進一步驗證該有限元模型諧響應分析的準確性，本文將對定子振動特性影響較大的齒特征(齒高和齒距)做參數化處理，并用有限元變量分析法仿真了齒特征參數變化對定子模態頻率和振幅的影響。從中選取一組能降低電機轉速，提高輸出扭矩的齒特征參數替換原來的幾何參數，再次進行諧響應分析并加工制造出新樣機TRUM-70HA。同樣地，對新樣機定子進行激光測振分析，測振結果與諧響應仿真結果吻合，驗證了有限元諧響應分析的準確性。最后分別對70H和70HA電機做了機械特性測試，結果說明新樣機的空載轉速更低，堵轉扭矩更大，符合預期設計。

1 定子工作模態阻尼比的測定

1.1 半功率帶寬法測定阻尼比原理

中空行波超聲電機的定子沿周向展開可以近似看作一個梁，因此，其振動特點可采用梁的受迫振動理論進行分析，而梁的強迫響應是各階模態響應的疊加，對于梁上某一點，其位移就是各階模態響應在該點位移分量的矢量和[9]。對于70H電機而言，其壓電陶瓷的極化分區是按照B011振型設計的，故其定子理想的工作模態是由各低階模態疊加產生的B011“純”模態。進一步用單自由度系統受迫振動響應的一階模態做理論分析。單自由度系統在簡諧激振力的作用下，其運動微分方程可寫為

(1)

式中：M，C，K分別為單自由度系統的質量、阻尼和剛度系數；F0為激振力幅值；ω為激勵頻率。由微分方程理論解得穩態位移響應為

(2)

對式(2)進行傅里葉變換，得到系統幅頻特性方程為

(3)

(4)

求解得：

(5)

從而求得阻尼比：

(6)

行波超聲電機正常工作時驅動頻率不能小于工作模態共振頻率，否則電機無法工作，也無法通過測振得到頻率小于ωn的幅頻曲線。因此，對于超聲電機定子模態阻尼比，式(6)可改寫為

(7)

1.2 定子振動模態及阻尼比的測試實驗

本文利用德國Polytec公司生產的PSV-300掃描式多普勒激光測振系統對TRUM-70H超聲電機定子進行模態測試。該系統最大工作頻帶為1.5 MHz，位移分辨率為100 nm。將電機定子(內圈固支在電機底座上)固定在測試臺上，接入電壓峰-峰值100 V的正弦激勵信號。先進行振動模態測試，再對各個模態共振頻率點進行振幅測試，最后在TRUM-70H的工作模態B011共振頻率點附近(大于共振頻率點)測得定子振幅的頻率響應曲線。整個實驗環境如圖1所示。

圖1 PSV-300多普勒激光測振系統

模態掃頻測試范圍為20～50 kHz，結果顯示定子激發出3個較明顯的振動模態，分別是B010、B011和B012。對這3個模態進行振幅測試，其結果分別為1.6m、2.0m和1.0m，如圖2所示(振幅以B011模態為例)。

圖2 TRUM-70H電機定子掃頻和B011模態參數

通過圖2可以發現，工作模態B011處的頻率為36 914 Hz，調節激勵信號頻率進行采樣振幅測試，得到“激振頻率-齒面振幅”數據曲線。利用半功率帶寬法計算得到ξ為0.802%，如圖3所示。

圖3 響應振幅和激振頻率曲線

2 基于阻尼比的有限元模型驗證

2.1 參數化建模及諧響應分析

TRUM-70H電機定子彈性體采用的是磷青銅材料(QSn6.5)，壓電陶瓷片材料為PZT-8。確定好材料參數后，在有限元軟件ANSYS15.0中進行幾何建模和網格劃分。網格以六面體單元為主，該模型總共包含4 597個單元和33 773個節點，網格單元平均質量系數為0.75。在幾何建模時，將齒高h和齒距w做了參數化處理，以便研究齒特征尺寸參數的變化對定子模態的影響。該定子的齒特征初始參數h=1.5 mm，w=0.8 mm。整體模型如圖4所示。

圖4 TRUM-70H定子有限元模型

將定子模型內圈固支，設置壓電陶瓷電壓峰-峰值為100 V，頻率為20～50 kHz，阻尼比為0.802%，進行諧響應仿真分析，得到齒面響應振幅(y向)曲線和B011振型如圖5所示。假如忽略阻尼比，仿真結果偏差會很大，如表1所示。通過對比發現代入阻尼比時，仿真振幅與實測振幅基本吻合；忽略阻尼比時，仿真振幅比實測振幅高3～4個數量級，結果不可靠。由此可知,雖然定子阻尼比很小，但不可忽略。

圖5 定子諧響應仿真分析的幅頻曲線(上)和B011振型(下)

表1 TRUM-70H定子的模態頻率及振幅

2.2 齒特征優化及諧響應分析

齒的特征對定子振動模態影響較大，本文希望通過改變齒的尺寸參數，獲得一款更低轉速、更高輸出扭矩的中空行波電機。因此，以w、h作為設計參數，以工作模態B011的頻率和齒面振幅為目標參數，進行了輸入變量與輸出變量的相關性分析[10]，研究w和h對目標模態的影響。結果顯示，w對模態頻率幾乎無影響，h與模態頻率近乎成線性關系，h越大，模態頻率越低；w和h對振幅均有影響，w越大，h越大，振幅就越大，其中h對振幅的影響比w大，如圖6所示。

要使電機獲得低轉速和大扭矩，轉速因子(模態頻率與振幅乘積)不能太大，而在定子厚度不變的情況下，齒高對振幅的影響更明顯，即對電機轉速影響更明顯。同樣的輸出功率下，轉速越高，扭矩越小，因此，為了降低轉速，新定子的振幅可以略微減小，但振幅不能過低，否則無法驅動轉子；要使輸出扭矩增大，就要使定子齒與轉子的接觸面積增大，齒距減小，但考慮到現實加工技術，齒距也不能過小。綜合考慮后，取新定子的w=0.5 mm，h=1 mm，并重新進行建模和諧響應分析，得到振幅與頻率響應仿真曲線。

3 實物驗證

為了驗證齒特征參數改變后有限元模型的準確性，本文加工了新定子實物，并組裝成新電機TRUM-70HA，如圖7所示。新定子的仿真幅頻曲線與實物激光掃頻結果如圖8所示。測振裝置的激勵電壓設置為100 V(峰-峰值)，實際振幅測試數據如表2所示。由表2所見，齒特征參數改變后，定子模態改變，仿真預測的模態頻率及振幅與實測結果仍較吻合。對TRUM-70H和TRUM-70HA電機進行了“扭矩-轉速”測試實驗，測試裝置如圖9所示。實驗結果表明，前者最高空載轉速為90 r/min，堵轉扭矩為1.0 N·m;后者最高空載轉速為63 r/min，堵轉扭矩為1.2 N·m。二者的機械特性曲線如圖10所示。這說明TRUM-70HA電機符合低速大扭矩的設計目標，定子的有限元模型諧響應分析及齒特征參數的變量關系分析準確地預測了定子振動模態變化，指導了設計參數的選取。

圖7 TRUM-70H定子(左)和TRUM-70HA定子(右)

圖8 TRUM-70HA定子仿真幅頻曲線和激光掃頻實測曲線

表2 TRUM-70HA定子的模態頻率及振幅

圖9 TRUM70系列電機負載特性測試裝置

圖10 不同電機的機械特性曲線

4 結束語

本文以TRUM70H中空行波電機定子為研究對象，建立了有限元模型并進行諧響應分析，結果發現定子模態阻尼比對模型仿真結果準確性有著重要影響。通過對定子實物的多普勒激光測振分析，利用半功率帶寬法測定了B011模態阻尼比，代入模型后得到的定子工作模態B011仿真頻率與實測頻率誤差為1.66%，仿真振幅與實測振幅誤差為4.61%，前后兩階模態也基本吻合。通過分析輸入與輸出參數變量的關系，重新設計了定子齒特征參數，再次進行諧響應分析后加工了定子實物并測振分析，新定子的工作模態B011仿真頻率與實測頻率誤差為0.62%，仿真振幅與實測振幅誤差為1.94%，前后兩階模態仍然基本吻合。設計的新定子電機轉速降低，堵轉扭矩提升，符合預期。結果表明,在準確的阻尼比參數設置下，諧響應仿真分析結果較可靠，有助于提高超聲電機定子設計和加工制造結果的可靠性，減少電機設計的主觀經驗性。