壓電驅動微動平臺結構的設計優化和仿真分析

李東明，柴長忠，沈文強，王彥琪，崔云先

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)

0 引言

壓電驅動的柔性鉸鏈微動平臺因響應快,結構緊湊,分辨率高等優點而被廣泛使用，如微機電系統(MEMS)的加工制造,細胞注射,原子力學顯微鏡(AFM)精度的提高等，均占有極其重要的地位[1]。近年來，Mikio Muraoka等利用位移放大機構設計的二維精密定位平臺，定位精度可達10 nm，行程可達400 μm[2]；南洋理工大學[3]設計了一種三向大行程操作平臺，其具有較大的剛度，各向定位精度在20 nm內；朱軍輝設計的剛度為2.21 N/μm二維納米定位平臺，其固有頻率為556.02 Hz、559.42 Hz，重復定位精度為±33 nm[4]；上海交通大學設計了一種新型的垂直運動精密微定位平臺，行程可達112.9 μm，剛度為3.167 N/μm，固有頻率為636 Hz[5]；南京航空航天大學提出的新型二維壓電工作臺x、y向剛度分別為4.923 N/μm、5.931 N/μm，兩方向行程分別為41.6 μm、42.9 μm，其位移分辨率為50 nm[6]。由此可見，驅動位移和剛度是相互矛盾的物理量，人們希望在滿足位移要求時，獲得盡量大的剛度和高的定位精度。

本文設計了一種雙平行柔性鉸鏈結構的二維微動平臺，在滿足不低于5 μm的位移條件下，獲得了剛度高于5 N/μm的微動平臺。對其進行仿真分析表明，微動平臺具有良好的靜、動態特性。

1 二維微動平臺的結構設計

設計的二維微動平臺結構如圖1所示。平臺整體布局采用串聯式結構，以雙平行柔性鉸鏈結構作傳動機構，柔性鉸鏈為雙圓弧形，平臺可實現在輸出位移方向直線運動，無附加位移，輸出結果精確。平臺由壓電陶瓷執行器驅動，其定位精確，分辨率高；x向壓電陶瓷驅動平臺做左右運動，y向壓電陶瓷驅動平臺做上下運動，且x、y向的柔性鉸鏈布置方向垂直，平臺x向運動時，y向柔性鉸鏈結構相對為剛性結構，反之亦然，即x、y向運動位移無耦合。

圖1 二維微動平臺結構示意圖

2 微動平臺結構優化

為了平臺能獲得更好的靜、動態特性，需要對平臺作主要傳動機構的雙平行柔性鉸鏈結構進行結構優化，使平臺在給定位移的情況下，剛度達到最大，定位精度和固有頻率最高。

2.1 設計變量的確定

根據圖1所示的結構可知，本文使用的是半圓弧柔性鉸鏈，其剛度主要由半徑r、厚度t決定。由于采用雙平行柔性鉸鏈結構作為傳動機構，因此，選取r、t和同側兩柔性鉸鏈半圓弧圓心距l作為設計變量，即X=[x1,x2,x3]T=[r，t,l]T。

2.2 目標函數的建立

2.2.1x(y)向剛度

因x、y向結構一致，故兩個方向的剛度也一致，只需要計算一個方向的剛度即可。圖2為雙平行柔性鉸鏈結構的等效力學模型，圖3為單個雙圓弧柔性鉸鏈模型。

圖2 雙平行柔性鉸鏈結構等效力學模型

圖3 單個雙圓弧柔性鉸鏈模型

根據功能原理可知，運動過程中微動平臺所積蓄的彈性勢能為

(1)

式中：Fx為平臺所受的驅動力；Δx為平臺的輸出位移；Kα為圖3中柔性鉸鏈繞z軸的轉角剛度；α為柔性鉸鏈繞z軸的轉角。

圖3中，在繞z向彎矩Mz作用下，根據單軸雙圓弧柔性鉸鏈的理論計算式[7]可知：

(2)

式中：E=196.5×109Pa為所用材料的彈性模量，本文所用材料為65Mn；b為柔性鉸鏈z向的長度。

因此，平臺x(y)方向的剛度Kx理論計算式為

(3)

2.2.2z向剛度

微動平臺在z向剛度的計算方法與x向一致。圖3中，在繞y向彎矩My作用下，根據單軸雙圓弧柔性鉸鏈的理論計算式[8]可知：

(4)

(5)

式中：Kβ為圖3中柔性鉸鏈繞y軸的轉角剛度；s=r/t。因此，平臺z向剛度為

(6)

2.2.3 平臺結構優化多目標函數的建立

在給定的位移條件下，本文要求各方向上剛度最大，此為多目標優化問題。本文采用線性加權法建立綜合考慮平臺各方向剛度的統一目標函數，因為x(y)方向和z方向剛度同等重要，因此，兩個方向的權重值(w1,w2)都取為1，即w1=w2=1。本文目標函數為

(7)

2.3 約束條件的建立

2.3.1x(y)向最大位移至少5 μm

本文要求x(y)向的最大位移Δx≥5 μm，根據選用的壓電陶瓷驅動器可得平臺所受最大驅動力Fmax=264 N。由此可得

(8)

2.3.2z向最大位移不超過1 μm

本文要求微動平臺在Fz=70 N的作用力下z向位移不超過1 μm，即

(9)

2.3.3x(y)向最大應力不超過許用應力

(10)

2.3.4z向最大應力不超過許用應力

微動平臺在z向的最大應力計算和x向一樣，得出z向最大應力σ2應滿足如下條件：

(11)

2.3.5 保持雙平行柔性鉸鏈結構形狀基本不變

為保證優化后的雙柔性鉸鏈結構的形狀不發生較大的變化，根據初始值，應滿足如下要求：

4r-l≤0

(12)

2.4 平臺多目標結構優化的求解

本文以x(y)和z向的結構剛度為優化目標，是多目標優化問題，同時又有約束條件，也是一個有約束非線性規劃問題。由于序列二次規劃算法在求解有約束非線性規劃問題中具有收斂性好,計算效率高,邊界搜索能力強的優點，因此，本文采用該算法對平臺結構優化數學模型進行求解。

在MATLAB軟件中已含有基于序列二次規劃算法的優化求解程序，即在MATLAB軟件中調用fmincon優化程序便可對有約束非線性規劃問題進行求解。因此，使用初始值和上述統一目標函數以及約束條件，在MATLAB軟件中進行編程，對結構優化的數學模型進行求解。求解后的微動平臺柔性鉸鏈的r、t、l分別為1.01 mm、0.34 mm、4.05 mm。根據優化后的數據可計算出平臺剛度的理論值：平臺x(y)方向剛度理論值Kx=5.46 N/μm，位移理論值Δx=6.89 μm，z向剛度理論值Kz=70 N/μm。

3 微動平臺的有限元仿真

3.1 平臺靜態性能仿真

本文采用ANSYS軟件本身的三維建模模塊對平臺進行三維建模，并進行靜態仿真。對平臺進行自動網格劃分，劃分后平臺有878 113個網格單元和1 323 634個節點，對平臺添加固定約束和驅動力，而后求解平臺的最大輸出位移和應力云圖。圖4、5分別為平臺x、y向的仿真應力云圖。

圖4 平臺x向應力云圖

圖5 平臺y向應力云圖

由圖4、5可知，兩方向的最大應力均遠小于材料的許用應力，滿足應力約束條件。由仿真結果可知，x向位移為7.01 μm，y向位移為6.76 μm，x向剛度為5.36 N/μm，y向剛度為5.56 N/μm，均滿足要求。對比位移理論值Δx=6.89 μm、剛度理論值Kx=5.46 N/μm，x向位移誤差為1.7%，y向位移誤差為1.9%，x、y向剛度誤差均為1.8%。根據誤差大小可知優化結果可靠。

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誤差產生的原因主要有:

1)理論計算忽略了鉸鏈的伸縮變形。

2)理論計算忽略了材料變形帶來的反作用力。

3)理論計算的簡化力學模型與仿真模型有差異。

4)仿真中網格劃分的精密程度影響仿真結果。

5)仿真計算求解存在一定的近似計算。

3.2 平臺動態性能分析

對上述建立的三維模型進行前6階的模態仿真，即在分析樹處添加要求解的前6階總變形命令，而后進行求解。觀看仿真后的模態振型圖，其仿真振型圖如圖6所示。

圖6 微動平臺模態振型圖

由圖6可知，平臺x向固有頻率為1.363 kHz，y向固有頻率為1.027 kHz，兩者均大于1 kHz，具有良好的動態特性。

4 結論

1)本文采用雙平行柔性鉸鏈結構設計了一種二維串聯式微動平臺，并用二次序列規劃算法對其進行了結構優化，優化結果為：r=1.01 mm，t=0.34 mm，l=4.05 mm。

2)微動平臺x(y)向位移理論值為6.89 μm、剛度理論值Kx=5.46 N/μm，滿足x(y)向剛度高于5 N/μm，位移不小于5 μm的設計要求。對平臺進行動、靜態仿真分析，x、y向位移結果分別為7.01 mm、6.76 μm，x、y向剛度分別為5.36 N/μm、5.56 N/μm。與位移理論值相比，x、y向位移誤差分別為1.7%、1.9%；與剛度理論值相比，x、y向剛度誤差為1.8%，表明優化結果可靠。

3)根據模態分析可知，x、y向固有頻率分別為1.363 kHz、1.027 kHz，均大于1 kHz，即微動平臺具有良好的抗震性和動態特性。