基于響應(yīng)面法的永磁電機(jī)轉(zhuǎn)矩多目標(biāo)優(yōu)化

杜曉彬，黃開勝，譚耿銳，黃 信

(廣東工業(yè)大學(xué)，廣州 510006)

0 引 言

注塑機(jī)作為塑膠制品的主要加工設(shè)備，近年來不斷發(fā)展，并由傳統(tǒng)的以異步電動機(jī)拖動的機(jī)型逐步過渡到以永磁同步電動機(jī)(以下簡稱PMSM)來拖動[1-2]。相較于異步電動機(jī)，PMSM損耗較小，功率因數(shù)和效率較高，且控制性能良好。然而，在工業(yè)生產(chǎn)中，若注塑機(jī)存在較大的轉(zhuǎn)矩波動，則會影響到生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，導(dǎo)致產(chǎn)品合格率的下降；而在制成各種形狀的塑料制品中，常常要求注塑機(jī)有較大的轉(zhuǎn)矩輸出。故對于注塑機(jī)用PMSM進(jìn)行轉(zhuǎn)矩優(yōu)化很有必要。

當(dāng)前電機(jī)設(shè)計(jì)中，主要從電機(jī)控制和電機(jī)本體設(shè)計(jì)兩個(gè)方面對電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]從優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)、溫度場分析、機(jī)械應(yīng)力分析方面入手，分析了槽口寬度、極槽配合、磁鋼參數(shù)對轉(zhuǎn)矩波動的影響。文獻(xiàn)[4]采用有限元法，分析了極槽配合和磁鋼參數(shù)對于紋波轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，結(jié)果表明，選擇合適的磁鋼參數(shù)和極槽配合能有效地降低齒槽轉(zhuǎn)矩，抑制轉(zhuǎn)矩紋波。文獻(xiàn)[5]針對一款風(fēng)機(jī)用PMSM轉(zhuǎn)矩波動比較大的特點(diǎn)，采用不等磁鋼厚度的方法，降低了轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)，使電機(jī)性能得到優(yōu)化。文獻(xiàn)[6] 提出一種通過將有限狀態(tài)模型預(yù)測控制運(yùn)用于無位置傳感器的無刷直流電動機(jī)方法來抑制換相轉(zhuǎn)矩脈動。

本文以一臺36槽8極表貼式PMSM為對象，通過有限元仿真軟件建立模型，為優(yōu)化電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，以磁鋼厚度、偏心距、極弧系數(shù)為優(yōu)化參數(shù)，對電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩的3個(gè)參數(shù)，即轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)、起動轉(zhuǎn)矩值、輸出轉(zhuǎn)矩均值進(jìn)行優(yōu)化。采用了響應(yīng)面法(以下簡稱RSM)中心組合設(shè)計(jì)(以下簡稱CCD)模型構(gòu)建了樣本數(shù)據(jù)組，并采用多元二次模型將實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，并求得其最優(yōu)參數(shù)結(jié)果。通過有限元仿真軟件檢驗(yàn)該結(jié)果，證明了利用RSM能有效優(yōu)化電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩。

1 RSM實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程

1.1 RSM數(shù)學(xué)模型

RSM是根據(jù)合理設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)方法，組成不同水平實(shí)驗(yàn)參數(shù)的配對組合進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過多元二維乃至多元高維的擬合回歸方程對實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合回歸，并根據(jù)方差分析的方法對擬合結(jié)果進(jìn)行評價(jià)，以達(dá)到求得最優(yōu)解的結(jié)果[7]。常用的RSM有Box-Behnken設(shè)計(jì)(以下簡稱BBD)、CCD與均勻外殼設(shè)計(jì)(以下簡稱USU)3種方法。相對于其他兩種方法，CCD能將各因素的高水平安排在同一個(gè)組內(nèi)，對因素和水平的組合具有廣泛的適用性[8-9]，故本文采用CCD來進(jìn)行優(yōu)化。

圖1CCD布點(diǎn)示意圖

采用磁鋼厚度、偏心距、極弧系數(shù)3個(gè)試驗(yàn)變量作為響應(yīng)面的輸入變量，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)、起動轉(zhuǎn)矩幅值、轉(zhuǎn)矩均值為響應(yīng)量，當(dāng)輸入變量在小范圍內(nèi)變化時(shí)，可以采用多元二維模型進(jìn)行擬合，并且考慮變量交互作用，則擬合模型：

(1)

式中:β0為模型截距;β1i,β2i,β3i為模型系數(shù);ε為模型誤差;xi代表輸入變量;f為響應(yīng)量。

1.2 響應(yīng)面最優(yōu)解求解

通過最小二乘法對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，則擬合結(jié)果：

(2)

在響應(yīng)面中，當(dāng)逼近最優(yōu)解時(shí)，響應(yīng)面的曲率與實(shí)際模型的曲率誤差很小，則模型中存在最優(yōu)解的必要條件為響應(yīng)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)為零。即：

(3)

則響應(yīng)面的最優(yōu)解：

(4)

2 PMSM模型建立以及響應(yīng)面優(yōu)化

2.1 PMSM初始模型建立及分析

本文采用36槽8極表貼式PMSM模型，相關(guān)初始參數(shù)如表1所示。利用ANSYS Maxwell 2D軟件建立模型，仿真得到轉(zhuǎn)矩波形，如圖2所示。

表1 PMSM初始模型相關(guān)參數(shù)

圖2初始模型輸出轉(zhuǎn)矩波形

由圖2可知，起動轉(zhuǎn)矩幅值Tm為808.24N·m，輸出轉(zhuǎn)矩均值Tavg為558.80 N·m，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)按照如下公式計(jì)算：

(5)

式中:Tmax,Tmin為穩(wěn)定下的最大、最小瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩。經(jīng)計(jì)算，初始模型轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)為1.94%。

2.2 表貼式磁鋼參數(shù)變化對PMSM性能的影響

相對于內(nèi)置式磁鋼，表貼式磁鋼在PMSM中應(yīng)用更為廣泛，其優(yōu)點(diǎn)是能使得氣隙磁密更加正弦化，提高電機(jī)的性能[10]。在進(jìn)行電機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)，磁鋼厚度、偏心距和極弧系數(shù)是磁鋼結(jié)構(gòu)的主要設(shè)計(jì)變量。

對于磁鋼厚度來說，磁鋼厚度過小會造成加工難度，且在極限工況下會造成磁鋼的不可逆退磁，也會影響著起動轉(zhuǎn)矩幅值和輸出轉(zhuǎn)矩效率[11-12]；若是采用過厚的磁鋼，則會造成材料的浪費(fèi)。故本文選取的磁鋼厚度在4.1～4.5 mm之間。

對于偏心距和極弧系數(shù)來說，選擇恰當(dāng)?shù)钠木嗪蜆O弧系數(shù)，能有效地降低齒槽轉(zhuǎn)矩；同時(shí)使得氣隙磁密擁有較大的正弦化，降低氣隙磁密的諧波畸變率，對于轉(zhuǎn)矩波動有抑制作用。故本文選取偏心距在18～22 mm范圍內(nèi)，極弧系數(shù)在0.6～0.85范圍內(nèi)。

2.3 RSM模型擬合回歸及模型評價(jià)

根據(jù)CCD模型理論，選取各個(gè)因素變量的水平表如表2所示，實(shí)驗(yàn)組合安排以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

表2 實(shí)驗(yàn)因素水平表

表3 CCD實(shí)驗(yàn)安排及有限元仿真結(jié)果

采用有限元軟件按照表3實(shí)驗(yàn)組進(jìn)行仿真，由于在有限元軟件ANSYS Maxwell 2D計(jì)算過程中采用自適應(yīng)剖分，即在計(jì)算過程中不斷根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步自動剖分，導(dǎo)致同樣參數(shù)的PMSM模型剖分與計(jì)算結(jié)果有細(xì)微的差別，所以，實(shí)驗(yàn)組15～19結(jié)果會有細(xì)微不同。

仿真結(jié)果利用Design-Expert進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算，采用多元二維的模型對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，并剔除不顯著的變量后修正模型，則轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)Km，起動轉(zhuǎn)矩幅值Tm，輸出轉(zhuǎn)矩均值Tavg，關(guān)于3個(gè)優(yōu)化參數(shù)的最優(yōu)模型：

Km=1.86+0.019x1-0.13x2-0.50x3+

(6)

Tm=823.31+20.17x1-7.65x2+45.35x3+

0.25x1x2+1.28x1x3-2.67x2x3+

(7)

Tavg=571.13+14.59x1-6.57x2+45.13x3+

0.14x1x2+1.13x1x3-2.72x2x3+

(8)

為評價(jià)模型的擬合程度，采用方差分析的方法對3個(gè)擬合模型進(jìn)行評價(jià)，各項(xiàng)的顯著性由P值判定。從表4、表5、表6可以看出，對于轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)Km，起動轉(zhuǎn)矩幅值Tm和轉(zhuǎn)矩均值Tavg的擬合模型P值皆小于0.05，說明模型擬合結(jié)果良好，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。3個(gè)模型擬失值的P值均大于0.05，說明擬合結(jié)果的誤差較小，誤差不顯著。回歸方程的校正決定系數(shù)可以在考慮自變量個(gè)數(shù)的影響下對模型的優(yōu)劣進(jìn)行評價(jià)，并且判定實(shí)驗(yàn)因素與響應(yīng)之間關(guān)系是否顯著。由Design-Expert統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示Km，Tm，Tavg的校正決定系數(shù)分別為0.973 9，0.996 0，0.998 2，均大于0.9，實(shí)驗(yàn)因素與響應(yīng)之間關(guān)系顯著，模型充分表示實(shí)驗(yàn)因素與響應(yīng)之間的關(guān)系。

表4 Km擬合模型方差分析

表5 Tm擬合模型方差分析

表6 Tavg擬合模型方差分析

由Design-Expert軟件進(jìn)行分析計(jì)算，可以得到模型的最優(yōu)解：磁鋼厚度4.5 mm，偏心距21.87 mm，極弧系數(shù)0.84。得到的PMSM最優(yōu)結(jié)果：轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)Km為1.59%，Tm為874.08 N·m，Tavg為613.94 N·m。

3 有限元仿真分析

為了驗(yàn)證RSM分析得到的最優(yōu)參數(shù)解，利用有限元軟件ANSYS Maxwell 2D建立新模型，模型參數(shù)按照分析結(jié)果設(shè)置，考慮到實(shí)際工藝情況，磁鋼厚度取值為4.5 mm，偏心距取值21.9 mm，極弧系數(shù)取值0.84。仿真結(jié)果如圖3所示，可以看出，輸出轉(zhuǎn)矩波動明顯減小了，為1.54%，且起動轉(zhuǎn)矩的幅值增大，為873.08 N·m，輸出轉(zhuǎn)矩均值也有了一定的提高，為612.63 N·m。

圖3優(yōu)化前后模型轉(zhuǎn)矩波形對比

4 結(jié) 語

本文研究了一種優(yōu)化PMSM輸出轉(zhuǎn)矩的方法。針對影響電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩的參數(shù)變量，即磁鋼厚度、偏心距、極弧系數(shù)，采用RSM與有限元相結(jié)合的方法，利用CCD模型，安排了實(shí)驗(yàn)水平的組合搭配，通過有限元仿真實(shí)驗(yàn)得到輸出轉(zhuǎn)矩的3個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)矩波動系數(shù)、起動轉(zhuǎn)矩幅值和輸出轉(zhuǎn)矩均值作為響應(yīng)量，構(gòu)建變量與響應(yīng)量的響應(yīng)函數(shù)。通過方差分析對響應(yīng)函數(shù)的合理性進(jìn)行了評價(jià)，利用Design-Expert軟件進(jìn)行分析計(jì)算，得到最優(yōu)解。結(jié)果表明，采用RSM與有限元相結(jié)合的方法能有效地優(yōu)化PMSM的輸出轉(zhuǎn)矩，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性與可行性。