三個角度探討“正難則反”

顧俊

反證法是一種常用的間接證明的方法.法國數學家阿達瑪（Hadamard）對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾.”

用反證法解題的過程包括反設、歸謬、存真三個步驟，即假設命題的結論不成立（假定原結論的反面為真）;從反設和已知條件出發，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果;由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立.其中“矛盾”包括了推出的結果與已知定義、公理、定理、公式矛盾或與已知條件、臨時假定矛盾，以及自相矛盾等各種情形.

使用反證法時要注意適用范圍、表達步驟，下面我們分三個層次，分別從反證法中的表達形式（是什么）、歸謬方向（怎么做）、方法原理（為什么）這三個角度對反證法做些探討.

一、證法之初體驗——表達形式

王戎七歲，嘗與諸小兒游，看道邊李樹多子折枝，諸兒競走取之，惟戎不動.人問之，答.日：“樹在道邊而多子，此必苦李.”取之信然.

同學們，你們知道王戎的聰明之處在哪嗎？

王戎的聰明之處在于用了反證法的思維看待這個問題：

已知：道旁李樹多子折枝.求證：李子是苦的.

證明：（反證法）假設李子不是苦的，那么一定早被小孩摘光了，但現在樹上仍有這么多李子，矛盾.所以道旁的李子是苦的.

不摘李子，而想要直接說明李子是苦的這個事實，我們是不能輕易找到一個簡明的敘述方法的.數學語言必須簡潔明確，采用反證法的敘述思路，條理清晰，一目了然.在王戎論證的過程中，依據了一個事實：李子不苦的話，就一定被小孩子們摘光了.而在數學中，我們必須從假設出發，用正確的邏輯推理，得出矛盾結果.

下面我們來看看幾個數學中的例子：

例1已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求證：a+b≥0.

證明假設a+b<0，則a<-b，b<-a，由于函數f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，從而f（a）

例2已知：兩個不同的平面a和β，在平面a內有兩條相交直線a，b（交點為P）和平面β平行，求證：平面a//平面β.

證明假設平面a與平面β不平行，則平面a與平面β相交，記交線為l.

因為a平行于平面β，a在平面a內，平面a與平面β相交于l，所以a//l.同理b//l.則過l外一點有兩條相交直線與l平行，這與公理“過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行”矛盾，所以平面a//平面β.

以上的數學例子，直接證明比較困難，而借助反證法得以順利解決.由于條件與結論相對簡單，根據反證法的步驟，同學們能.輕松從反設導出矛盾.那么在處理一些比較復雜的問題時，該如何從反設出發，導出矛盾呢？我們繼續往下看：

二、證法之細思量——歸謬方向

古希臘思想家亞里士多德曾經斷言：物體從高空落下的快慢同物體的重量成正比，重者下落快，輕者下落慢.1800多年來，人們都把這個表面上看起來確實“正確”的論斷當作真理而信守不移.直到16世紀，伽利略發現了這一理論在邏輯，上的矛盾，并通過“比薩斜塔試驗”用事實進行了證明.同學們，你們知道伽利略發現的邏輯上的矛盾是什么嗎？

邏輯上的矛盾：假定較重的物體下落較快.不妨設甲物體比乙物體重，我們把二者捆在一起，讓它們自由下落，一方面，根據假定，因為它們比甲物體更重，所以應比甲物體單獨下落快;另一方面，兩個重、輕不同物體捆在一-起下落，重的要快，輕的要慢，快的被慢的拖拽，故它們下落速度比甲物體單獨下落慢.前后矛盾，可見假定較重的物體下落較快是錯誤的.

在使用反證法時，要從反設出發，導出矛盾，不一定要面面俱到，只要能經過正確的邏輯推理，得到一處矛盾即可判定反設不正確.同學們來找找伽利略發現的邏輯上的矛盾還可能是什么，并說一說“物體從高空落下，輕者下落快，重者下落慢”這句話邏輯上的矛盾.

例3求證：函數y=sinx的正周期不小于2π.

證明一假設T是函數y=sinx的周期，且0

sin（x+T）=sinx成立.令x=0得sinT=0，即T=kπ，k∈Z.

又因為0

所以，函數y=sinx的正周期不小于2π.

證明二假設T是函數y=sinx的周期，且0

例4設f（x）=x2+ax+b，求證：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于1/2.

證明假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于1/2，即|f（1）|<1/2，|f（2）|<1/2，|f（3）|<1/2，

有-1/2<1+a+b<1/2…①，-1/2<4+2a+b<1/2…②，-1/2<9+3a+b<1/2…③.

由①X（-1）+②可得-1<3+a<1，所以-4

由②X（-1）+③可得-1<5+a<1，所以-6

所以|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于1/2.

命題結論中含有“否定形式”“最大（最小）”“至多（至少）”時，常用反證法.歸謬方向可以是由反設推出的結論與反設本身矛盾（如例3證明二），也可以是導出的結論間自相矛盾（如例3證明一、例4），因此，在學習過程中，同學們要細分析、多體悟，方能掌握反證法的精髓.

最后讓我們來了解一下反證法能成功的秘密所在.

三、證法之深探究——方法原理

古代有一個迷信神的國家，死囚在正式處決之前還有一個由神來決定生死的程序.辦法是：由專職獄吏在兩張小紙條上分別寫上“活”“死”兩字，密封后交專人保管.第二天，由死囚抽取一張，若抽到活字，即可免死.有一次，一個死囚的仇人買通了寫紙條的獄吏，在兩張紙條上都寫上死字.湊巧這死囚預先從一位朋友那里得到了這一消息，他心中大喜.第二天，他抽紙條后，死罪赦免，終于得救了.這是怎么回事呢？

分析真相原來是這樣的：主持抽簽獄吏宣布抽簽辦法后，死囚飛快抽了一張紙條，立即塞進嘴里嚼爛吞人腹中，獄吏慌忙斥問死囚：“你抽得的紙條.上，寫的是死字還是活字？快說！”死囚答道：“紙條我吞了，表示是死是活我都認了.究竟神要我死還是要我活，您看看剩下的紙條上寫的什么字就清楚了.”在場的見證人急于知道結果，齊聲說：“對”！因剩下的紙條，上寫的是死字，證明死囚抽的是活字，死囚獲赦了.巧用矛盾律和排中律，活了一條命.

反證法的依據是邏輯思維規律中的矛盾律和排中律.矛盾律：在同一個思維過程中，兩個互相矛盾（包括互相否定）的命題不能同時都是真的，其中必有一個是假的;排中律：兩個互相否定的命題不能同時都是假的，其中必有一個是真的.

牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一.”一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“無限”形式出現的命題;或者直接證明時思路難尋、表達晦澀，而否定結論則更明顯（即為正難則反）.

同學們在學習中勤思考、多總結，方能領悟反證法的精妙所在，使用起來才更得心應手.