三角形的最小覆蓋圓一定是其外接圓嗎

謝維勇

(四川省眉山中學校 620010)

在平面幾何中，我們將能完全覆蓋某平面圖形且面積最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.例如，線段AB的最小覆蓋圓就是以AB為直徑的圓.能完全覆蓋住三角形的最小圓，叫做三角形的最小覆蓋圓.

在學習完圓的方程后，經常遇見如下問題：

若一個三角形三邊所在直線方程分別為x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0，求能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程.

對于這類問題，多數同學通過簡單的分析，會認為三角形的外接圓就是所求圓，然后給出如下解法.

解直線x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0的交點為A(1,2),B(2,2),C(3,1),能夠覆蓋三角形ABC且面積最小的圓是△ABC的外接圓

設△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0

將點A(1,2),B(2,2),C(3,1)分別代入方程得：

辨析所求圓要覆蓋△ABC，則三個頂點均在圓上或圓內.若三個頂點都在圓內，則圓肯定不是面積最小的；若只有一個頂點在圓上，則圓面積一定可繼續減小；若恰好有兩個點在圓上，則這兩點連線必然是圓的弦，欲使圓面積最小，則這兩點連線恰好是圓的直徑，且剩下的頂點需在圓內；若三個頂點都在圓上，則所求圓即為三角形的外接圓.

此題中，顯然以AB,BC為直徑的圓均不能包含剩下的頂點，以AC為直徑的圓的方程為

那么，△ABC的最小覆蓋圓就不可能是三角形的外接圓嗎？如果不是，什么情況下才是三角形的外接圓呢？

根據上例的分析，只需考慮恰好有兩點在圓上，剩余點在圓內和三點都在圓上兩種情況.

如圖是以AB為直徑的圓O，若點C在圓O內，則連接BC并延長交圓O于點D,連接AD,則∠BCA>∠BDA=90°

若點C在圓O上，連接BC，AC,則∠BCA=90°;

若點C在圓O外，連接BC交圓O于點D,連接AD,則∠BCA<∠BDA=90°.

由上討論可知：

當△ABC為銳角三角形時，任意邊為直徑的圓均不能覆蓋整個三角形；

當△ABC為直角三角形時，只有以斜邊為直徑的圓剛好覆蓋整個三角形，此圓即為三角形的外接圓；

當△ABC為鈍角三角形時， 鈍角所對邊為直徑的圓可以覆蓋整個三角形，此圓的面積比三角形外接圓的面積小.

證明：設任意覆蓋△ABC的⊙O的直徑為d.

(1)當△ABC為直角或鈍角三角形時,設△ABC最長的邊為AC,線段AC為⊙O的弦或在圓及其內部,故d≥AC,而以AC為直徑的圓一定覆蓋了△ABC,因此以AC為直徑的圓就是△ABC的最小覆蓋圓.

(2)當△ABC為銳角三角形時, 如圖,設直線AB與⊙O交于點D,E,直線EC與⊙O交于點E,F,不妨假定CF≤DA,過F作FG∥AC交直線AB于點G，則FG≥AC.

而∠DGF=∠DAC=180°-∠BAC>90°.

DF≥FG≥AC,又0°<∠AEC≤∠ABC<90°,

sin∠AEC≤sin∠ABC.

顯然△ABC的外接圓覆蓋了△ABC.

因此，△ABC的外接圓就是△ABC的最小覆蓋圓.

綜上，當△ABC為銳角或直角三角形時，能夠覆蓋三角形且面積最小的圓是三角形的外接圓；當△ABC為鈍角三角形時，能夠覆蓋三角形且面積最小的圓是以最長邊為直徑的圓.