正方體在立體幾何中的模型作用

王建軍 郭金紅

(1.山西省陽(yáng)泉市教學(xué)研究室 045000;2.山西省陽(yáng)泉市第二中學(xué)校 045000)

基金項(xiàng)目：山西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度規(guī)劃課題《高中數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的行動(dòng)研究》(編號(hào)GH-18491)(王建軍 賈愛壽 田素明 郭金紅 梁迎花 李海明等)

正方體是完美的對(duì)稱圖形，是立體幾何中的基本模型．正方體中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系是立體幾何的基礎(chǔ)，研究正方體中的立體幾何問(wèn)題可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，達(dá)到快速解題目的．

一、正方體中的平行問(wèn)題

正方體中平行問(wèn)題證明的思路具有一般性，是證明直線與平面平行，平面與平面平行的通性通法．

例1如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN，求證：MN∥平面AA1B1B．

證明如右圖，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F．連結(jié)EF，則EF?平面AA1B1B.

∵BD=B1C，DN=CM，∴B1M=BN．

又ME∥NF，∴MEFN為平行四邊形．∴MN∥EF．

又MN?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B，

∴MN∥平面AA1B1B．

二、正方體中的垂直問(wèn)題

正方體中隱含著線線，線面，面面的垂直關(guān)系，利用三種垂直關(guān)系來(lái)解題是立體幾何垂直問(wèn)題的基礎(chǔ)．

例2如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB=1∶2，MC與BD交于P．

(1)求證：NP⊥平面ABCD；(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成角的正切值．

∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2．又已知D′N∶NB=1∶2，由平行線分線段成比例定理得NP∥DD′.又DD′⊥平面ABCD，∴NP⊥平面ABCD．

(2)∵NP∥DD′∥CC′，∴NP、CC′在同一平面內(nèi)，CC′為平面NPC與平面CC′D′D所成二面角的棱．

又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，∴∠MCD為該二面角的平面角．

三、正方體中的角問(wèn)題

正方體中的異面直線所成的角、線面角、二面角的求解過(guò)程是解決其他問(wèn)題的基礎(chǔ)．

例3在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP．求直線AP與平面BCC1B1所成的角的正切值．

解連結(jié)BP．∵AB⊥平面BCC1B1，∴AP與平面BCC1B1所成的角就是∠APB.∵CC1=4CP,CC1=4，∴CP=1．

四、正方體中的距離問(wèn)題

立體幾何中的直線到平面的距離、平面到平面的距離最終要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．

例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1,CC1的中點(diǎn)，若正方體棱長(zhǎng)為a，求平面EB1D1與平面FBD間的距離．

解做BB1的中點(diǎn)G，連接EG，C1G，根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得ED1∥GC1，BF∥GC1，∴ED1∥BF， ∵ED1?平面FBD，BF?平面FBD，∴ED1∥平面FBD．同樣，B1D1∥BD, ∵B1D1?平面FBD，BD?平面FBD，∴B1D1∥平面FBD．

又ED1∩B1D1=D1，∴平面EB1D1∥平面FBD．

連結(jié)AC，A1C1，由AC⊥BD，AA1⊥BD，可得BD⊥平面ACC1A1，又BD?平面FBD，∴ 平面FBD⊥平面ACC1A1，平面EB1D1⊥平面ACC1A1，連接O1O，O1E，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥O1E，則OM⊥平面EB1D1，OM即為平面EB1D1與平面FBD