淺析極限定義的語言模型

摘要：極限概念是高等數學的一個教學難點，如果學生能夠從極限定義的語言模型來認識極限，那么就可以突破這個教學難點，并對今后的學習打下堅實基礎。

關鍵詞：極限;語言模型;描述性語言;不等式語言;幾何語言;等式語言

極限概念是高等數學的一個教學難點，許多學生在學習極限概念遇到困難的主要原因就在于沒有建立極限的幾種等價語言模型。因此，在教學中梳理清楚極限的幾種等價語言模型是有必要的。如果學生能夠從極限定義的語言模型來認識極限，那么對突破極限這個教學難點，并為今后的學習打下堅實基礎是有益的。

極限的等價語言模型大致可以分為以下四種：1. 描述性語言模型;2. 不等式語言模型;3. 幾何語言模型;4. 等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關系模型）。

下面分別論述四種模型的作用。

一、 描述性語言模型

定義1：對于給定的數列xn，如果當n無限增大（n→∞）時，對應的xn無限接近于一個確定的常數A，則稱A為數列xn的極限，記作limn→∞xn=A或xn→A（n→∞）。

上述定義只是一種描述性的說明，“xn無限接近于一個確定的常數A”這段描述只是定性，沒有定量。因此人們在利用這個定義去判斷極限的存在性或對，或不對。例如，當n無限增大（n→∞）時，1n無限的接近于0，所以我們認為limn→∞1n=0。不過用這種觀察的方法是不是有可能讓人覺得1n+1n+…+1nn-6個也是無限的接近于0呀？其實，后者的極限是1。由此可見，定義1的優點和缺點是一樣突出的。

我們利用定義1可以直觀觀察數列或函數的極限值，但是不能確定結果正確與否。

二、 不等式語言模型

定義2：設有數列{xn}，A為一常數，如果對于任意給定的正數ε（不論它多么小），總存在著正整數N，使得對于n>N時的一切xn，不等式|xn-A|<ε都成立，則稱常數A是數列xn的極限，或稱數列xn收斂于A，記作limn→∞xn=A或xn→A（n→∞）。

定義2解決了定義1的不足之處，即從不等式語言的角度量化描述極限的本質，它可以用來證明極限的存在性。例如：

【例1】證明limn→∞13n=0。

證：由數列極限的ε-N定義知|xn-A|=13n-0=13n，

對于任意給定的正數ε，要使|xn-A|<ε，即13n<ε，3n>1ε，只要n>log31ε即可，故可取正整數N=log31ε。

這即是說，對于任意的正數ε，只要當n>N時，就有：13n-0<ε，即：limn→∞13n=0。

定義2的優點中也蘊藏著缺點，就是ε-N這兩個量的確定方法不是每次都很方便，這就需要一定的補充，幾何語言就是一種較好的補充方式。

三、 幾何語言模型

在幾何上，常數A和數列{xn}的各項都可用數軸上的對應點表示。因為|xn-A|<ε相當于A-ε

圖1

上述幾何解釋也可以說成：數列{xn}收斂于A，就是對于任意給定的正數ε，總存在正整數N，從xN+1開始，后面所有的點都落在A的ε鄰域內。

這種語言模型的直觀性很好，用它去做一些分析和判斷，可以幫助我們利用不等式語言去證明一些極限問題，例如下述定理的證明中取ε=b-a2的依據是從哪里來的？

定理1：收斂數列{xn}的極限是唯一的。

證：設xn→a，xn→b，且a

根據極限定義，對任意ε>0，存在N1，N2，當n>N1，n>N2時，|xn-a|<ε且|xn-b|<ε，即a-εN時，上述兩不等式同時成立。但這是矛盾的，因此得證。

其實，利用幾何語言模型和圖1，可以知道取ε≤b-a2都是可以的。這樣就可以突破問題的難點。

四、 等式語言模型（或稱為極限與無窮小的關系模型）

人們對等式的感知度是超過不等式的，往往用等式語言揭示極限本質更容易讓人理解。

定理2：在自變量的同一變化過程中，limf（x）=Af（x）=A+α，其中α→0。

這種等式語言模型巧妙地把極限的本質描述成一個等式是否成立，如此，在證明極限的存在性時它就可以派上用場了，往往這會比不等式語言優越。例如：

定理3：設limf（x）=A、limg（x）=B，則有如下運算法則：

lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B。

證：因limf（x）=A，limg（x）=B，由無窮小和收斂函數的關系（定理2），應有

f（x）=A+α，g（x）=B+β，

其中，α和β是和f（x）、g（x）同一變化過程中的無窮小。相應地有

f（x）±g（x）=（A+α）±（B+β）=（A±B）+（α±β），

因為α±β是無窮，故得

lim[f（x）±g（x）]=A±B=limf（x）±limg（x）。

可見等式語言比不等式語言真有方便之時。

綜上所述，極限的四中語言模型是各有所長的，如果能夠在任何時候都選取一套適合的語言解決極限問題，那么我們就能更好地解決極限問題了。

參考文獻：

[1]楊鳳安.極限定義的剖析[J].黔東南民族職業技術學院學報（綜合版），2009（2）.

作者簡介：

胡旭東，四川省成都市，四川成都大學信息科學與工程學院。