單值Neutrosophic sets環境下基于參照系數的VIKOR方法

范建平，劉勝男，吳美琴

(山西大學經濟與管理學院，山西 太原 030006)

1 引言

多屬性決策方法是指用定性或定量指標對有限個方案進行決策的方法，在現實生活中的應用極為廣泛。VIKOR(VlseKriterijumska Optimizacija IKompromisno Resenje)是一種常用的多屬性決策方法，由Opricovic[1]提出，屬于多屬性決策中最佳妥協解方法，同時可以使得群體效用最大，個體遺憾最小。VIKOR方法自提出后被用來解決一系列實際問題，如方案評估、產業發展等[2-4]。許多學者把VIKOR拓展到模糊環境下，提出一系列的模糊VIKOR方法，并廣泛應用到醫療、供應商選擇、風險管理等多個領域[5-9]。由于VIKOR涉及減法公式，精確數環境下可以直接利用VIKOR方法。在模糊環境下，Liao Huchang和Xu Zeshui[10]提到猶豫模糊集的減法公式，但公式使用不方便，因此在模糊環境下使用VIKOR方法一般不采用直接做差。現存文獻對模糊VIKOR方法的處理有以下幾種：(1)通過去模糊化的方式把模糊數轉化為精確數[11-12]，但會造成信息不能被完全利用；(2)和其他方法如Choquet積分算子、AHP、模糊集的集結算子等結合消除不便之處[13-16]，但計算過程較為復雜；(3)將距離公式引入VIKOR方法[17-19]，應用較為廣泛；(4)其他的方法[20-21]。

模糊環境下的VIKOR方法雖然能解決大部分的決策問題，但仍有不適用的范圍，尤其是當信息不確定和不一致時。例如當邀請一個專家判斷某一表述的準確性時，他可能會說這句話真實的程度是0.5，錯誤的程度是0.6，不確定的程度是0.2。這一情況就超出模糊集及其拓展集合的適用范圍。

Smarandache[22]提出的中智集(neutrosophic sets, NS)可以很好的解決上述提到的問題，已經與多種傳統多屬性決策方法結合并被廣泛應用到醫療保健、投資等多個領域[23-28]。單值中智集(single-valued neutrosophic sets, SVNS)是中智集的一類，由于表達形式簡便，更易被應用到現實中。Wang Haibin等[29]首次提出單值中智集思想，Ye Jun[30-31]把單值中智集的思想概念化，并提出一些運算及相似度公式。但Peng Juanjuan等[32-33]舉例指出，Ye Jun[31]的簡單中智集的運算法則等有與理論違背的地方，對此進行了改進。為對兩個單值中智數的大小進行比較，Peng Juanjuan等[33]根據直覺模糊數的記分函數、精確函數提出了簡單中智數的記分函數、精確函數和確定函數，并據此比較兩個單值中智數的大小。Majumdar和Samanta[34]根據模糊集的歐式距離公式，給出了單值中智集的標準歐式距離公式。

本文用單值中智集的正確值、不確定值和謬誤值表示不同的坐標軸，構建三維空間，并把傳統VIKOR方法拓展到該環境下。傳統VIKOR方法根據方案與正理想解的貼近度進行妥協排序，在一維空間中是合理的。但在一維以上空間中，僅考慮方案與正理想解的貼近度而忽略方案與負理想解的貼近度會造成信息的缺失，得到的評價結果不合理。因此，為綜合考慮正、負理想解對方法的影響，本文通過設置“參照系數”把方案與負理想解的貼近度引入到VIKOR方法中，使得決策者可以通過改變參數的大小選擇不同的參照標準。另外，本文建立最大化“相對距離”模型求解權重值，使得在該權重下每個方法的相對實力都最好。

2 單值中智集

現實生活的不確定性使得不是所有的屬性值都可以用精確數表示，尤其是定性指標。更多情況下會用不精確數或語言變量對屬性進行描述。Zadeh[35]于1965年首次提出模糊集的概念，用以表示不確定信息。為使模糊集進一步完善，Atanassov[36]于1986年提出了直覺模糊集，比模糊集的適用范圍更廣。之后，又出現區間模糊集[37]、區間直覺模糊集[38]、猶豫模糊集[39]等拓展集合，為決策帶來更大的空間。但是仍有局限性，例如無法解決信息的不連續和不一致情況。中智集的提出解決了這一問題。以下給出中智集、單值中智集的定義，單值中智集的運算及相關性質。

定義1[22]令X是一個對象(點)集，X中的元素記為x。X上的中智集A由事物的真實值TA(x)，不確定值IA(x)，謬誤值FA(x)組成，是[0-,1+]中的非標準子集，即TA(x):X→[0-,1+]，IA(x):X→[0-,1+]，FA(x):X→[0-,1+]。由于TA(x)、IA(x)、FA(x)的和沒有限制，因此滿足關系0-≤supTA(x) + supIA(x)+supFA(x)≤3+。

為使中智集的思想更好的用到現實生活中，Ye Jun[30-31]提出簡單中智集的概念及一些運算。

定義2[30]令X是一個對象(點)集，X中的元素記為x。當TA(x)、IA(x)、FA(x)退化成[0,1]中的標準子集時，即TA(x):X→[0,1]，IA(x):X→[0,1]，FA(x):X→[0,1]，其和滿足0≤TA(x)+IA(x)+FA(x)≤3，稱為簡單中智集。記為A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}。

簡單中智集可簡寫為A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉。當TA(x),IA(x),FA(x)，均為[0,1]之間的子區間時，簡單中智集退化成區間中智集(interval neutrosophic sets, INS)；當TA(x)，IA(x)，FA(x)均為[0,1]之間的一個精確數時，簡單中智集退化成單值中智集(single-valued neutrosophic sets, SVNS)。特別的，當X中僅有一個元素時，A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉是一個單值中智數，記為A=〈TA,IA,FA〉。本文用單值中智數表示多屬性決策問題的屬性值。

定義3[32-33]對單值中智集A=〈TA(x),IA(x),FA(x)〉,B=〈TB(x),IB(x),FB(x)〉，有：

(1)A⊕B=〈TA(x)+TB(x)-TA(x)TB(x),IA(x)IB(x),FA(x)FB(x)〉；

(2)A?B=〈TA(x)TB(x),IA(x)+IB(x)-IA(x)IB(x),FA(x)+FB(x)-FA(x)FB(x)〉；

定理1[32-33]對單值中智集A,B,C，性質如下：

(1)A⊕B=B⊕A

(2)A?B=B?A

(3)λ(A⊕B)=λA⊕λB,λ>0

(5)λ1A⊕λ2A=(λ1+λ2)A,λ1>0,λ2>0

(6)Aλ1?Aλ2=A(λ1+λ2),λ1>0,λ2>0

定義4[33]對單值中智數A=〈TA,IA,FA〉，其記分函數s(A)、精確函數a(A)和確定函數c(A)定義如下：

(1)s(A)=(TA+1-IA+1-FA)/3

(2)a(A)=TA-FA

(3)c(A)=TA

定理2[33]A，B為兩個單值中智數：

(1)若s(A)>s(B)，那么A比B大，即A>B；

(2)若s(A)=s(B),a(A)>a(B)，那么A比B大，即A>B；

(3)若s(A)=s(B),a(A)=a(B),c(A)>c(B)，

那么A比B大，即A>B；

(4)若s(A)=s(B),a(A)=a(B),c(A)=c(B)，那么A等于B，即A=B。

定義5[34]令A={〈TA(x1),IA(x1),FA(x1)〉〈TA(x2),IA(x2),FA(x2)〉,…,〈TA(xn),IA(xn),FA(xn)〉},B={〈TB(x1),IB(x1),FB(x1)〉，〈TB(x2),IB(x1),FB(x2)〉,…,〈TB(xn),IB(xn),FB(xn)〉為兩個簡單中智集，那么A，B之間的標準歐式距離為：

3 單值中智集環境下的VIKOR方法

VIKOR方法根據準則函數進行評估，根據方案與正理想解的貼近度進行妥協排序，妥協排序的多準則測量是從Lp測度發展來的，是妥協方法的集結函數：

在精確數環境下，方案的屬性值由精確數表示。該情況可以看成是由一系列精確數形成的一維空間。一維空間下，若方案與正理想解的距離越小，那么與負理想解的距離就越大。此時，僅考慮方案與正理想解的貼近度得到的最佳妥協解就可以滿足距離正理想解最近同時距離負理想解距離最遠，如圖1所示。

圖1 精確數空間

在模糊環境下，方案的屬性值由模糊數表示。Yang Yingjie和Chiclana[40]用隸屬度、非隸屬度及猶豫度建立坐標系，在二維及三維空間中考慮模糊數的性質。在該情況下，方案與正理想解的距離越小，不代表其與負理想解的距離越大。如圖2所示，A,B為兩個備選方案，屬性值由直覺模糊數表示。此時，得到的最佳妥協解不滿足與正理想解的距離最小同時與負理想解的距離最大。

圖2 直覺模糊集空間

3.1 最大化“相對距離”的權重獲取模型

Cao Qingwei等[41]以最大化每個方案與負理想解的加權距離為目標函數建立模型，得到每個指標的權重，使得在該權重下每個方案與負理想解的距離都最大。本文提出“相對距離”的概念，即把每個方案與負理想解、正理想解距離的差值最大化作為目標函數，通過線性模型求解得到權重，可以使得在該權重下每個方案的相對實力是最好的。

0≤ωj≤1,j=1,2,…,n

(1)

模型(1)是一個條件約束問題，可以通過構造Lagrange函數求解。設λ為Lagrange乘數，那么Lagrange函數為：

(2)

等式(2)對ω和λ求導得：

(3)

等式(3)是關于ωj(j=1,2,…,n)和λ的方程，聯立方程得到權重值，并對權重值進行標準化處理。

3.2 基于“參照系數”的VIKOR方法

用單值中智集的正確值、不確定值和繆誤值建立做坐標系，把單值中智集投影到三維空間中圖3所示。在該環境下，B,C,D表示3個備選方案，隨著備選方案與正理想解的距離縮小的同時，其與負理想解的距離也在縮小。因此，以正理想解為參照對象得到的最佳妥協解與以負理想解為參照對象得到的最佳妥協解也是不同的。故在單值中智集環境下僅考慮方案與正理想解的貼近度不能全面的反映方案的優劣。

本文的基本思想是：分別以方案與正理想解的貼近度和方案與負理想解的貼近度為參照對象，得到方案的群體效用S正,S負和個體遺憾R正,R負。通過在S正和S負，R正和R負之間引入參照系數得到最終的群體效用值和個體遺憾值。需

圖3 單值中智集空間

要注意的是，以方案與正理想解的貼近度為參照對象時，結果越小越好；以方案與負理想解的貼近度為參照對象時，結果則越大越好。因此，為保持排序的同步性，采用S負和R負的倒數進行整合。框架如圖4所示。

假設方案i在指標j下的屬性值由單值中智數表示，指標的權重根據模型(1)得到。具體步驟如下：

步驟2. 分別以正、負理想解為參照對象計算方案i的S和R；

(4)

(5)

圖4 基于參照系數的VIKOR方法框架圖

Step 3. 計算方案i的S值和R值；

(6)

其中，λ∈[0,1]為參照系數，代表決策者更注重方案與正理想解的貼近度還是方案與負理想解的貼近度，參照系數不同則參照標準不同。λ>0.5表示決策者更注重方案與正理想解的貼近度；λ<0.5表示決策者更注重方案與負理想解的貼近度；λ=0.5表示決策者態度居中。

步驟4. 計算方案i的Q值；

(7)

其中S+=maxSi,S-=minSi,R+=maxRi,R-=minRi。根據S、R、Q值確定排序結果。v可以被認為是一個權重，v>0.5表示決策者更注重群體效用，即滿足大多數人的意見；v<0.5表示決策者更注重個體遺憾，即這里折中取v=0.5。

步驟5. 根據Q的升序對結果排序。

步驟6. 對妥協解進行檢驗，假設A為妥協

解，那么Q的值應滿足以下兩個條件：

條件2：決策過程中可接受的穩定性，即根據S或(和)R的值，A也是最好的方案。

4 對比分析

為驗證對原始VIKOR方法修正的有效性，用本文提出的基于參照系數的VIKOR方法對Zhang Nian和Wei Guiwu[42]中的算例進行求解。文獻[42]通過猶豫模糊集的距離公式把VIKOR和TOPSIS拓展到猶豫模糊環境下，并對兩個結果進行對比。具體結果如下所示，表1給出分別以正、負理想解為參照對象時方案的S和R。不同參照系數取值下的結果如表2所示。

表2 不同取值下的結果

不同參照系數下的排序結果及妥協解如表3和圖5所示。表3最后一列為λ=1時，即原始VIKOR方法，文獻[42]的結果。從結果可以看出，當λ=1，即僅考慮方案與正理想解的貼近度時，排序結果為A1>A4>A2>A3，最佳妥協解為A1和A4；當λ=0，即僅考慮方案與負理想解的貼近度時，排序結果為A2>A4>A1>A3，最佳妥協解為A2和A4。即參照標準不同，得到的排序和最佳妥協解完全不同。而當0.1≤λ≤0.9，即決策者同時考慮正、負理想解對方案的影響時，排序結果均為A4>A2>A1>A3，最佳妥協解為A2和A4。這說明，在單值中智集構成的三維空間中，正、負理想解對最佳妥協解的產生都有影響，且決策者的偏好不同，得到的最佳妥協解也不一樣。因此，在VIKOR方法中同時考慮方案與正、負理想解的貼近度得到的最佳妥協解更為合理，即引入參照系數是有效的。決策者可以根據自身偏好改變參照系數的大小，從而得到滿意的最佳妥協解。圖5能更直觀的反映這一變化。

圖5 Q值波動圖

5 實例

考慮企業選擇合作伙伴的問題，現有一個企業，要從4家公司中選擇其中一個作為自己的合作伙伴。記A1,A2,A3,A4，從C1創新能力，C2管理能力，C3服務水平和C4發展潛力4個方面對4家公司進行評價。通過專家賦值的方式給出4家公司在每個指標下的指標值，結果由單值中智數表示。如表4。

表3 不同參照系數下的排序結果

表4 單值中智集環境下的決策矩陣

根據定義4和定理2得到正、負理想解為：

A+=〈(0.8 0.3 0.40), (0.60 0.10 0.1), (0.4 0.5 0.25), (0.60 0.20 0.10)〉;

A-=〈(0.60 0.2 0.4), (0.50 0 0.50), (0.2 0.50 0.20), (0.50 0.20 0.20)〉

根據定義5得到方案與正、負理想解的距離及相對距離，如表5。將相對距離帶入模型(1)，根據(2)和(3)得到指標的權重值為：ω1=0.3008,ω2=0.2064,ω3=0.2451,ω4=0.2477。根據(4)和(5)得到分別以正、負理想解為參照標準時方案的S和R，如表6所示。選取不同的參照系數值，根據(6)和(7)得到S,R和Q值，如表7所示。根據Q值對方案進行排序，結果如表8和圖6所示。

表5 方案的相對距離

表6 分別以正理想解和負理想解為參照對象的結果

表7 不同參照系數取值下的結果

表8 不同參照系數取值下的排序及妥協解

圖6 Q值波動圖

從表8可以看出，參照系數的改變會引起排序結果改變。當參照系數λ≤0.7時，排序結果A2>A3>A1>A4，最佳妥協解為A2和A3，公司2和公司3均為最佳合作伙伴；當參照系數λ增大為0.8、0.9時，排序結果為A3>A2>A1>A4，最佳妥協解仍為A2和A3；當參照系數λ=1時，排序結果為A1>A3>A2>A4，最佳妥協解為A1和A3，即公司1和公司3均為最佳合作伙伴。因此，決策者選擇不同的參照標準，選擇的合作伙伴是不一樣的，同時考慮正、負理想解對方案的影響得到的結果更能滿足決策者的偏好。但公司3在整個過程中均為最佳妥協解，因此該公司可以僅選擇公司3為合作伙伴。

從圖6可以看出，方案4的Q值在整個參照系數λ的變化過程中始終處于較高水平，即排名始終處于最后一位；方案1的Q值在參照系數λ的變化過程中有緩慢降低的趨勢，在λ取1時，達到最低點。這意味著，若決策者僅考慮方案與正理想解的貼近度，方案1會排在第一位。反之則排名靠后；方案3的Q值在前期緩慢下降，最后明顯上升。但在整個過程中，方案3始終處于前兩位；方案2在λ<1時，Q值較小，但λ取1時迅速上升。這說明，若決策者僅考慮方案與正理想解的貼近度，方案2僅排在第3位。反之，則方案2排在第一位。

6 結語

單值中智集作為中智集中一種特殊的集合，已經被逐漸應用到決策的各個領域。本文根據單值中智集的相關性質，提出基于“相對距離”獲得權重的方法，并把VIKOR方法拓展到單值中智集環境下的。同時通過設置參照系數把方案與負理想解的貼近度引入VIKOR方法。經對比分析，決策者以方案與正理想解的貼近度為基準得到的排序及最佳妥協解，和決策者以方案與負理想解的貼近度為基準得到的排序及最佳妥協解是不同的。而當決策者同時考慮方案與正、負理想解的貼近度時，決策者的偏好不同，方案的最終得分也不一樣，得到的排序結果和最佳妥協解也可能會發生變化。實例分析部分也表明，決策者綜合考慮不同偏好水平下的排序結果及妥協解得到的最佳妥協解更為合理。

本文具有以下創新點：(1)把傳統VIKOR方法拓展到單值中智集環境下，比傳統VIKOR和模糊VIKOR的適用范圍更廣，尤其是當信息不連續和不一致時；(2)建立最大化“相對距離”的權重獲取模型，使得在該權重下每個方案的相對實力都是最好的；(3)通過設置參照系數把方案與負理想解的貼近度引入到傳統的VIKOR方法中，使得決策者可以通過改變參照系數的取值選取不同的參照標準。

本文所選的對比分析案例及實例的排序結果的波動都不是很大，且均有一個方案始終屬于妥協解。這種情況下，決策者可以通過該方法得到的結果明確的選取一個方案做為最佳妥協解。但當決策者選取的參照標準不同，排序結果波動較大且妥協解的變動很大時，也會造成決策者的迷茫。因此，進一步研究可以考慮如何把方案與正、負理想解的貼近度整合為一個確定的公式，從而得到一個“相對的”最佳妥協解，消除由于偏好不同所造成的決策迷茫問題。