關于現代火箭幾個問題的物理學分析

文/西安交通大學 張文龍

1 緒論

（一）課題研究背景及目的

在人類進入太空的歷程中，火箭發射技術目前已經非常成熟，由最早的V2火箭發展到今天，已有較著名的長征系列（中國）、質子系列（前蘇聯）、德爾塔系列（美國）、阿麗亞娜系列（歐洲）等等。探究火箭發射技術的原理及相關問題，將有機會節省成本，還能大幅提高運載能力、運載效率。從而探索未來發展方向，幫助人們早日走向深空。

（二）研究方法

建立合理模型，利用物理學中動量定理（密舍爾斯基方程）、能量定理、狹義相對論下的速度質量變換及數學技巧進行求解。

（三）研究內容

火箭原理、火箭級數的取舍、實際火箭的分析、火箭效率問題。

2 火箭原理分析

我們將通過合理的建模和公式的推導來進行分析。

為簡化運算，在中學能力范圍內進行研究，特進行以下運算,解決此問題需要運用動量的有關知識。設在t時刻主體質量為m，速度為v，質量變化為dm（數值為負值），速度為u，系統動量為mv+dmu，在dt后有主體質量m+dm，速度為v+dv，系統合外力F，根據動量定理有：

（m+dm）（v+dv）-（mv+dmu）=Fdt

設一只簡單火箭總質量為m總,空火箭m空，為噴出氣體相對火箭的速度，即上式中的-(u-v)，不受外力，經歷的時間為t。

此式只涉及到火箭本身的物理量，最早推導出此公式的是俄國天才的物理學家、航天領域的先驅和火箭理論專家康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基，所以它又叫齊奧爾科夫斯基公式。

下面考慮重力場的影響，有：

觀察這個式子，發現要想提高噴射性火箭的末速度，一是要減少在引力場中被減速的時間(并非在引力場中的時間，如衛星一直存在于引力場中，但重力只能改變它的方向而不是大小，不會對其減速)，即更短的發射時間；二是增大噴氣速度，對應的是比沖；三是增大燃料比值，減少不必要的重量。

可能有的同學要較真，這是牛頓力學體系下推導出的公式，在高速條件下不正確，那索性也推導一下相對論下的火箭方程。

以上的計算直接從基本的變換出發，簡潔明了，而許多書籍中采取了小量求和的方法，繁瑣復雜而且讓人難以理解，還是本文給出的解答比較明白曉暢。

可以看出，火箭速度不可能超過光速，這是與相對論體系相容的。

那如果v遠遠小于c：

利用ln（x+1）≈ x

可見在速度較小的情況下，結果與非相對論下的結果是相同的。

3 火箭級數的取舍分析

如果采用一級火箭飛入太空，即上世紀60年代興起過得所謂的單級入軌，假設有噴射速度到達3km/s的發動機（已經很高了），讓每級火箭燃料和其它質量的比值達到5:1設計兩級火箭，比值為10且不計空氣阻力及重力。

設第一段火箭本身的質量為m，第一級火箭有5 m的燃料，總質量6m，下一級火箭質量10m，燃料質量50m，載荷（上一級總質量）6m，總質量66m。

可以計算出速度V1為9626.5 m/s，已遠超過第一宇宙速度。

假設一只裝有55m燃料，本身重11m的火箭，這支火箭的總質量與燃料與上一只一樣，但只有一級，相當于不拋去10m的箭體：

速度為5375.3m/s，還不到第一宇宙速度。

由此可見單級入軌方案的運載能力還是太差，事實上，所有的單級入軌方案都僅僅停留在了概念圖和PPT層面。

多級入軌也存在問題，由于各級分離的過程是火箭故障多發過程，如果每一次分離都是一次獨立事件，一次分離成功率90%，那二級火箭不在分離時失誤的概率為90%，三級火箭81%，而四級火箭為72.9%，差距很大。

事實上故障發生還不僅是獨立事件，因為級數越多越復雜，導致每級故障的概率也會變大（如上文四級火箭每級故障率會大于10%），太多級數的火箭會變得很不可靠。質子火箭設計時加到四級然而在絕大多數的發射中還是采用了三級，較新設計的火箭如Falcon 9、長征五號等都采用了兩級設計或所謂的一級半設計，在可預見一段時間里，兼顧運載能力和可靠性的二級火箭都會是運載火箭的主流設計。

4 火箭運載能力實例分析

下面的研究將以SpaceX的當家花旦，最近航天界很火爆的Falcon 9為例。

現假設一支Falcon 9火箭（一種兩級火箭）發射質量為M0，第一級火箭的質量為M1，燃料質量為m1，第二級火箭質量（包括整流罩m）為M2，燃料質量為m2，衛星質量m0。將衛星送上LEO軌道，t1是一級火箭工作的時間。

由于Falcon 9經過多次改進，有很多不同時期的數據，這里選取較近期比較全面且可靠的一組數據，以下數據轉引自表中大部分參數來自“Falcon 9 Overview, Launch Cost ” 與“Space Launch Report:SpaceX Falcon Data Sheet ”（http://zhidao.baidu.com/question/691280372416559604.html）。

一級火箭海平面比沖255 sec(2.6 kN/kg)，真空比沖304 sec(3.0 kN/kg)，取平均值換算為噴射速度：2739.1m/s。

二級火箭比沖342 sec（3.45 kN/kg）換算噴射速度：3351.6m/s。

火箭發射質量M0500噸。

第一級火箭空重M126噸。

芯一級燃料質量為m1380噸 燃燒時間170s。

第二級火箭空重（包括整流罩m5.5噸）M210噸。

芯二級燃料質量m270噸。

衛星質量m0最大13噸（LEO近地軌道）。

為簡化運算，可以先算出：

一級燃燒完后有120噸(一、二級未分離)。

二級燃燒完后有23噸，減去整流罩有17.5噸（二級和載荷未分離）。

根據SpaceX公布的以往的發射時間軸，第二級火箭在第二級點火41s后拋去整流罩，整個二級燃燒時間349s，認為均勻消耗燃料：

計算出mx=8.22噸。

考慮到空氣阻力的影響，這和許多因素都有關系，不同高度下的阻力也不相同，在底層大氣中飛行時空氣阻力甚至能達到數倍自身的重力，平流層以上又很小，處理起來很不方便，但可以把空氣阻力近似成它自身重力，并持續作用到二級火箭點火，此后過少的空氣阻力就不再考慮。

下面一級一級進行計算

經過一段時間，拋去整流罩,此時應有:

考慮到卡納維拉爾角（SpaceX的租下的火箭發射場、美國航天圣地）的緯度為28.3°，可以算出初始速度：

Falcon 9的LEO軌道是指火箭在卡角往正東方向發射，發射傾角在28度，軌道高度為185km，這是美國LEO軌道的標準軌道高度。

由機械能守恒求軌道上的速度：

誤差大約僅有0.0156%，這說明假設十分合理，進行的簡化計算沒有理論性的問題。

在最近SpaceX公布的數據中Falcon 9的LEO運載能力達到了驚人的22.8噸，這已經接近重型運載火箭的能力了，但SpaceX官網并沒有給出改進后關鍵的其他參數，就不再討論了。

綜上所述可以看到，得出的結論和SpaceX給出的數據符合的十分得完美。利用已經得到的公式對于一款真實型號的火箭進行計算并且得出的數據與官方數據符合的很好，這說明之前得到的關于火箭發射利用到的公式是完全正確的。

5 火箭效率問題

下面來研究火箭的效率問題。

由于化學燃料燃燒時不是都轉化了動能而是有部分變為光能等其他能量，效率問題涉及到很多領域，如推進劑性能的提高依靠化學工業技術的提高，還受化學反應焓變的制約；霍爾推力器中電子的完全非彈性碰撞會產生能量損失；噴管形狀可以直接影響比沖從而影響效率；甚至不同的發射傾角都會產生影響。而這里要研究的是不再考慮其他能量的影響，從機械能的角度出發，考慮的是高度理想化的理論層面的效率問題。

為了得到更普遍的結論，下面的推導將不再考慮重力和其他外力的影響。

設火箭主體質量為M0，攜帶的燃料質量M0，總質量M0，單位時間里燃料燃燒的質量為m0，噴射速度為u。

先求總功率，運動的火箭求解比較麻煩，可以利用一個巧妙的辦法求解。

一個設備的功率或者說它的做功能力是它本身的性質。只要這個設備的工作狀態是一定的，如噴氣的發動機性能是不變的，那么它的功率就應該不變。同樣兩支火箭，一只固定，一只自由運動，盡管兩個的運動狀態不一樣，但具有同樣的發動機，做功的能力應該是一樣的，即功率是一樣的。

這里研究一支固定火箭的功率以代替運動火箭的功率。

取一小段時間，有

也可以在運動的火箭中研究，來驗證其正確性。

在一個小的時間段里，總質量由M變為了M+dM和-dM兩項，總的動能增量為

忽略掉二級小量

由于動量守恒可得Mdv+udM=0

得到的結論完全一樣，說明等效的方法是正確的，而且相比于在運動的火箭中或是換參考系的方法求解，十分的簡便。

飛船獲得的最終動能為

燃料釋放的動能為

這是一個超越方程，得到它的近似解為μ=4.92155

對應的最大效率為64.761%

這是一個非常有趣的結論，可以看出噴射型火箭存在著它效率的極限！而且這是理論的極限，無論怎樣改進推進劑或是結構，效率不是更接近于100%而是不會超過64.761%，此時總質量為箭身質量的特定倍數。

再來看看Falcon 9的質量比：

火箭發射質量M0500噸，芯一級燃料質量為m1380噸。

第二級火箭空重（包括整流罩m5.5噸）M210噸。

芯二級燃料質量m270噸，衛星質量m0最大13噸（LEO軌道）。

第一級比值，對應效率64.3%；第二級比值，對應極限效率63.9%。可見工程師在設計時的總體控制能力很好。