整合教學(xué)資源 探尋圓的生成

福建省龍巖市高級中學(xué) (364000)

謝盛富

1.引言

教材中的例習(xí)題是高考命題的重要題源，往年高考真題是高考復(fù)習(xí)的風(fēng)向標(biāo)，它們都是師生進(jìn)行有效教與學(xué)的重要載體，因此在教學(xué)中吃透例習(xí)題，研磨真題，從中整合教學(xué)資源，構(gòu)建知識與方法的新網(wǎng)絡(luò)，是提高課堂實(shí)效的一種途徑.

圓是一個(gè)看似簡單卻又十分奇妙的圖形.我們平時(shí)只關(guān)注現(xiàn)行教材[1]對圓下的定義，而很少關(guān)注圓的其它生成方式.事實(shí)上，在教材、高考題中還可探尋滿足一定條件得到點(diǎn)的軌跡是圓，從而豐富了圓的內(nèi)涵與外延.筆者以此進(jìn)行探尋，并作為公開課的教學(xué)內(nèi)容，得到同行們的認(rèn)可.下面整理成文，與大家分享.

2.課堂簡錄

環(huán)節(jié)1提出問題

師：大家還記得圓的定義嗎？敘述一下.

生：平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓.其中，定點(diǎn)就是圓心，定長就是半徑.

師：對，只要確定了圓心的位置與其半徑，也就確定了該圓.那么圓的方程有幾種形式？

生：四種形式，分別是標(biāo)準(zhǔn)形式、一般式、直徑式和參數(shù)方程.

師：很好！我們要恰當(dāng)使用方程的各種形式.看這道題，有想法嗎？

生：(異口同聲)該題是解三角形問題，以前做過.

師：對，沒有別的想法了？

生：(一臉茫然)沒有.

環(huán)節(jié)2揭示本質(zhì)：圓的生成方式之一——距離之比為定值

師：我們發(fā)現(xiàn)(作圖)，AB=2是個(gè)定值，AC與BC的長度有倍數(shù)關(guān)系，似乎感覺到跟橢圓、雙曲線的定義有點(diǎn)類似，能否從中得到啟發(fā)？

生：(驚喜)仿照定義，把點(diǎn)C看成動點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，試圖去推導(dǎo)動點(diǎn)C的軌跡方程.

師：有道理，大家嘗試推導(dǎo).

生：老師，推導(dǎo)出來了，動點(diǎn)C的軌跡方程是(x-3)2+y2=8.

生：老師，我也化簡出來了，但是要注意隱含條件“三角形”，所以y≠0.

師：很好！做得漂亮！點(diǎn)C的軌跡方程是(x-3)2+y2=8(y≠0)，因此“求ΔABC的面積的最大值”轉(zhuǎn)化為“求圓上的動點(diǎn)C到AB距離的最大值”.請思考，本題能進(jìn)行一般推廣嗎？

通過學(xué)生的努力，最后指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)其中的規(guī)律：一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為非零常數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓叫做阿波羅尼斯圓.

圖1

師：這一類型在高考中還出現(xiàn)過，如：(2013年江蘇卷第17題)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l:y=2x-4．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．

(Ⅰ)略；

(Ⅱ)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

環(huán)節(jié)3探尋圓的生成方式之二——垂直關(guān)系

師：我們知道“直徑所對的圓周角是直角”，即有垂直關(guān)系.那么垂直關(guān)系在適當(dāng)?shù)臈l件下能生成圓嗎？

生：應(yīng)該可以，直角三角形有外接圓，直徑就是斜邊.

師：有道理！先作探究.

問題 長為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

新教師需求為工科新教師培訓(xùn)目標(biāo)之基石。學(xué)校培訓(xùn)總目標(biāo)與學(xué)校培訓(xùn)分目標(biāo)均以新教師需求為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合學(xué)校與國家之要求，高于新教師之需求，成為新教師參加培訓(xùn)的指揮棒、力量發(fā)動機(jī)、效率生發(fā)器。

通過探究，由“垂直”有直角三角形，再利用性質(zhì)“斜邊上的中線等于斜邊的一半”轉(zhuǎn)化為圓的教材定義，學(xué)生們一致得到結(jié)論：中點(diǎn)M的軌跡是圓.

推導(dǎo)：O(0,0)為原點(diǎn)，設(shè)M(x,y).

環(huán)節(jié)4探尋圓的生成方式之三——距離的平方之和為定值

師：由前面可知，“垂直”可以產(chǎn)生圓，勾股定理又隱含了“垂直”，若題中暗藏勾股定理，是否也能生成圓呢？

生：肯定可以，它們是等價(jià)命題.

思考：已知兩個(gè)定點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26，試求點(diǎn)M的軌跡方程.

探究：建系，設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)為A(-3,0),B(3,0)，動點(diǎn)M(x,y).

由|MA|2+|MB|2=26整理得x2+y2=4.

師：通過探究知道點(diǎn)M的軌跡是圓，驗(yàn)證了同學(xué)們的猜想是正確的.此題的背景是勾股定理，也就是距離的平方之和為定值，因此該動點(diǎn)的軌跡必然是圓.

環(huán)節(jié)5探尋圓的生成方式之四——伸縮變換生成圓

師：課本《選修4—4》[2]第7頁旁白處標(biāo)注了兩句話，(多媒體投影)“伸縮變換把圓變成圓或橢圓”，“由于伸縮變換是可逆的，其逆變換也是伸縮變換，所以伸縮變換把橢圓變成圓或橢圓”.盡管教材中沒有舉出實(shí)例呈現(xiàn)給同學(xué)們，但是已經(jīng)出現(xiàn)在全國新課標(biāo)卷了.

(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程；(Ⅱ)略.

簡解:設(shè)動點(diǎn)P(x,y)，M(x0,y0)，則N(x0,0).

生：這是高三復(fù)習(xí)應(yīng)“回歸課本”的最好佐證.

師：是的！老師也一直要求同學(xué)們要注重課本的例習(xí)題，就是這個(gè)道理，課本是高考命題的重要素材.本題通過伸縮變換，把橢圓變換成圓.

環(huán)節(jié)6探尋圓的生成方式之五——相關(guān)點(diǎn)代入法嫁接生成圓

師：繼續(xù)探尋圓的其它生成方式.上題通過伸縮變換生成圓，解題中用了什么方法？

生：相關(guān)點(diǎn)代入法.

師：對！“相關(guān)點(diǎn)代入法”第一次出現(xiàn)在課本必修2，當(dāng)時(shí)是由圓生成新圓，現(xiàn)在回顧一下.

例題 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

簡解:設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)，中點(diǎn)M(x,y).由

師：借助相關(guān)點(diǎn)代入法由圓生成新圓，題中的“動點(diǎn)”是線段的中點(diǎn)，請思考，“動點(diǎn)”可以為其它分點(diǎn)嗎？

生：可以！因?yàn)橄嚓P(guān)點(diǎn)代入法適合任意等分點(diǎn).

師：沒錯(cuò)！

環(huán)節(jié)7探尋圓的生成方式之六——參數(shù)方程衍變生成圓

師：《選修4—4》第35頁旁白處提到，“圓也是一種圓錐曲線，是一個(gè)正圓錐表面與水平截面截得的圓錐曲線，是一種特殊的橢圓(長短軸等長者)”，但教材中也沒有舉例說明，這里，借助兩個(gè)具有特殊關(guān)系的橢圓，利用參數(shù)方程進(jìn)行衍變生成圓，開闊大家的視野.

簡解:設(shè)A(acosθ,bsinθ)，則B(mcosθ,asinθ).

3.結(jié)束語

我們知道，教而不研則淺，研而不教則空.本節(jié)課重溫了圓的定義與方程，探尋了其它生成圓的方式，打開了思維，開闊了視野.文中的題目絕大部分來自于教材，它們零散地分布在例習(xí)題中，通過圓的生成方式將它們歸類串在一起，系統(tǒng)化并整合提升，概括提煉求動點(diǎn)軌跡方程的思路與策略，滲透數(shù)學(xué)文化，充分體現(xiàn)教學(xué)“源于教材，服務(wù)高考”，整合有效教學(xué)資源，為我所用，為生服務(wù)，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，享受數(shù)學(xué)帶來的樂趣.因而課前準(zhǔn)備必須花十二分功夫，做到研讀課標(biāo)，鉆研教材，研磨真題，了解學(xué)情，才能精心設(shè)計(jì)合適的教學(xué)預(yù)案，才能抓住要領(lǐng)駕馭課堂，實(shí)施有效教學(xué)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的樂趣，收獲成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心，提升能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).