也談幾類(lèi)賽題的三角換元法

湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) (430061)

彭 景

廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué) (519090)

王恒亮

三角換元法是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法，合理利用此方法不僅能降低思維難度還能簡(jiǎn)化相關(guān)運(yùn)算，它是高中生必須熟練掌握的幾種方法之一.高中階段的各級(jí)各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都不乏有三角換元的影子，合理利用此法有時(shí)候可以給我們帶來(lái)意想不到的效果，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際談?wù)剮最?lèi)賽題中的三角換元，希望對(duì)讀者有所幫助.

類(lèi)型1x2+y2=A2>0,(x=Acosθ,y=Asinθ).

類(lèi)型2x2+y2+z2=A>0,(x=Acosθcosφ,y=Acosθsinφ,z=Asinθ).

例3 (2010年湖北省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

例4 (2009年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

注：具備三角代換意識(shí)，對(duì)于條件a+b+c=1的快速轉(zhuǎn)換將有助于分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，本題的證法有多種，但用三角代換證法是其中比較簡(jiǎn)單的.

類(lèi)型4x,y,z∈R+,x+y+z=xyz,(x=tanA,y=tanB,z=tanC).

在ΔABC中，有恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，于是當(dāng)遇到條件“x+y+z=xyz”時(shí)可以作作三角代換：x=tanA,y=tanB,z=tanC.

注：一般地，遇到條件a,b,c∈R+,a+b+c=abc,我們往往首選三角代換a=tanA,b=tanB,c=tanC,這種代換往往可以給我們帶來(lái)很多意想不到的效果！

類(lèi)型5x,y,z∈R+,xy+yz+zx=1,(x=cotA,y=cotB,z=cotC).

x=cotA,y=cotB,z=cotC.