平面向量中的最值問(wèn)題及求解策略

廣東省深圳市南頭中學(xué) (518052)

田彥武

最值問(wèn)題，因?yàn)槠漕}型的多樣性，解決方法的靈活性和題目難度的綜合性而受到高考的青睞，是高考考察的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題．平面向量是高中數(shù)學(xué)教材中的新增內(nèi)容，它的引入，不僅給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了無(wú)限生機(jī)，而且給高考數(shù)學(xué)命題注入了新的活力，這是因?yàn)橄蛄烤哂写鷶?shù)與幾何形式的雙重身份，它能將數(shù)學(xué)的很多知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，成為數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)．本文主要探討平面向量中的最值問(wèn)題，和大家共享．

1.向量模的最值問(wèn)題

點(diǎn)評(píng):本題利用向量模的定義及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)來(lái)求模的最小值．

點(diǎn)評(píng):本題的本質(zhì)和例1類似，也轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解，但比例1稍微復(fù)雜一些而已，萬(wàn)變不離其宗！

2.向量數(shù)量積的最值問(wèn)題

圖1

解法2:以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)|AB|=c，

點(diǎn)評(píng):本題兩種解法各有千秋，方法1是利用向量的加減法運(yùn)算法則將兩向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為向量夾角的三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性解決最值；方法2是建立坐標(biāo)系后將向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式，后面和方法1一致．兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，故數(shù)量積的最值最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決．

3.向量中參數(shù)的最值問(wèn)題

解：設(shè)∠AOC=α，

點(diǎn)評(píng):本題根據(jù)平面向量基本定理，充分利用向量數(shù)量積的意義，將參數(shù)表示成向量夾角的三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值．

綜上所述，平面向量中的最值，基本都可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)參數(shù)的函數(shù)，然后利用解決函數(shù)最值的方法來(lái)求相應(yīng)的最值．