對2018年全國I卷理科21題的研究*

四川省成都市大邑縣師大三中 (611331)

李小強 鄧文俊

四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641100)

劉成龍

2018年數學全國Ⅰ卷理科21題是全卷的壓軸題.試題考查了函數、不等式、導數等主干知識，蘊含豐富的數學背景，同時在解答方法上具有創新型和開放性，具有較強的選拔功能.因此，該試題是一道優秀的試題，值得我們研究.下文著重從命題背景、試題解法、試題變式對試題進行分析.

一、試題呈現

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

二、命題背景

命題背景指命題時選取素材中含有的知識、模型、問題、文化、思想和方法等.(1)研究試題命題背景，有利于把握試題的本質、拓寬試題的解法、加強試題的變式．常見的試題命題背景有教材背景、現實背景、高考背景、競賽背景、高等數學背景、數學文化背景等等.(2)21題含有豐富的背景，比如：高考背景、競賽背景和高等數學背景.

背景一 高考背景

21題命題取材于高考真題：

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個極值點x1,x2，記過A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k=a-2？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

可以發現，21題和例1有驚人的相似度：構成f(x)的基本函數一致；第(Ⅰ)問問題一致；第(Ⅱ)問條件幾乎一樣；解答方法完全一致.因此，21題可以說是例1的翻版.

背景二 競賽背景

21題含有對數—平均值不等式(ALG不等式)的背景：

對數平均值不等式高于教材，但時常成為命題的熱點素材，值得關注！

背景三 拉格朗日中值定理背景

圖1

拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理條件的曲線y=f(x)上至少存在一點P(x0,f(x0))，該曲線在點P處的切線平行于曲線兩端點的連線AB.(如圖1所示)

三、解法探究

下面給出21題第(Ⅱ)問的兩種正確解法和兩種錯誤的解法.

1.正確解法

2.錯解探究

圖2

0(※)，只需證明g(x)=f(x)-(a-2)x為單調遞減(*).(過程略)

評注:求導發現g(x)在定義域上既有增又有減，證明g(x)=f(x)-(a-2)x為單調遞減不能實現.錯誤的原因是問題中的x1,x2不是任意的x，因此※與*不等價.

四、試題變式

變式是指相對于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質屬性時隱時現，而事物的本質屬性保持不變的變化方式.變式能有效扼制題海戰術、能完善學生認知，幫助學生形成良好的認知結構.下面給出試題的變式：

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

上述三個變式的解答讀者自行給出.

文中從四個方面對21題作出了研究，權作拋磚引玉，希望讀者繼續探討.