幾個代數不等式猜想的證明

廣東廣雅中學 (510160)

楊志明

文[1]提出4個不等式猜想，其中猜想3是：

筆者在文[2]中證明了此猜想,最后提出了與之相關的4個猜想:

文[3]試圖采用正切代換給出(1)和(4)的一種證明，可惜，作者犯了一個低級錯誤．由于(1)和(4)式均是關于a,b,c的輪換對稱不等式，所以只能指定a,b,c的最大值或最小值，而不能指定a,b,c的大小順序．因此，文[3]中的所有結論均未證明成功．

事實上，文[3]除了試圖證明(1)和(4)式外，還給出了如下幾個結論：

事實上，定理1-3均成立，而且可以統一推廣為：

故原不等式等價于ap(x-1)+bp(y-1)+cp(z-1)≥0．

不妨設a=max{a,b,c}，則x≥1．

當a≥b≥c≥0時，ap≥bp≥cp≥0，y≥1,z≤1．

由x+y+z≥3知，z≥3-(x+y)．

ap(x-1)+bp(y-1)+cp(z-1)≥ap(x-1)+bp(y-1)+cp[3-(x+y)-1]=ap(x-1)+bp(y-1)+cp[(1-x)+(1-y)]=(ap-cp)(x-1)+(bp-cp)(y-1)≥0．

當a≥c≥b≥0時，ap≥cp≥bp≥0，y≤1,z≤1．

由x+y+z≥3知，z≥3-(x+y)．

ap(x-1)+bp(y-1)+cp(z-1)≥ap(x-1)+ap(y-1)+ap(z-1)=ap[(x-1)+(y-1)+(z-1)]=ap[(x+y+z)-3]≥0．

綜上可知，ap(x-1)+bp(y-1)+cp(z-1)≥0．

故不等式成立．

當p=1,k=1,m=1,n=1時，即得定理3．

至此，文[3]中的定理1-3已經全部證明了，剩下定理4沒有解決，這留給有興趣的讀者．

事實上，我們還可以給出定理3的另一種推廣．

證明：不妨設c=min {a,b,c}，a=c+x,b=c+y(x,y≥0)，則原不等式等價于f(c)=2(k+1)(x2-xy+y2)c2+[(x2-xy+y2)k2+[(x3+y3+2x2y-xy2)+4(x2-xy+y2)]k+(x3+y3+2xy2-x2y)+3(x2-xy+y2)]c+(x2y+x2-xy+y2)k2[(x3y+x3+y3+xy2+2(x2-xy+y2)]k+xy3+(x3+y3+xy2-x2y)+(x2-xy+y2)≥0．

由均值不等式知，x2+y2≥2xy，即x2-xy+y2≥xy≥0，x3+xy2≥2x2y，故x3+xy2-x2y≥x2y≥0，從而x3+y3+2xy2-x2y≥0，因此，關于f(c)的每項系數均為非負，命題得證．

特別地，當k=0，由命題2即得定理3．

需要特別說明的是，對本文中的命題1和2中的各個變量進行賦值，可以生產出成千上萬的三元不等式，有興趣的讀者不妨一試．