例談一個不等式的應用
2019-07-08 10:45:12安徽省樅陽縣第三中學246700
中學數學研究(江西) 2019年6期
安徽省樅陽縣第三中學 (246700)
胡周霞
這是2018年第1期《數學通訊》(上半月)問題征解的第331題，試題小巧輕靈，結構均勻優美，看到問題中分式結構中的高次冪，首先想到的是降冪處理.
由證明的過程，我們可以看到解決問題的本質是不等式：x4+y4≥x3y+xy3的運用，而這個不等式是來自高中數學教材選修4—5的一個例題.進一步，可以得到：
設x,y>0且有m∈N*,l∈N*,m≥l,則有xm+ym≥xm-lyl+xlym-l.
本文主要談談該不等式在解題中的應用.有了這個不等式，我們首先得到問題331的幾個推論，證明過程留給讀者.
證明：∵a5+b5≥a3b2+a2b3=a2b2(a+b),
下面式子的證明和例3的證明方法完全相同，讀者不妨嘗試一下.
例4的一個直接推論就是《數學通報》2367號問題.
下面兩個式子的證明和例4的證明方法完全相同，讀者不妨嘗試一下.
我們看到不等式xm+ym≥xm-lyl+xlym-l看似簡單，實則銳利.靈活地加以運用，可以又快又好的解決一些看似高不可攀的數學難題.它的本質就是排序不等式的初級形式，解題中有時也走了一點彎路，比如例4中a8+b8+c8≥abc(a5+b5+c5)的證明用xm+ym≥xm-lyl+xlym-l來證有點繁瑣，而在排序不等式中它是一個顯然的事實.
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