對一個三點共線問題的進一步探究

湖南省瀏陽市教育科學研究所 (410300)

朱保倉

湖南省瀏陽市長郡瀏陽實驗學校 (410300)

李剖華

文[1]對圓錐曲線中三點共線問題的解題策略進行了研究，讀后受益非淺，特別是其中的例2引起了筆者的思考與探究，現將筆者的心得體會與大家交流分享．

圖1

引例(文[1]例2)如圖1,已知曲線C:x2+2y2=8，設曲線C與y軸的交點為點A、B(點A位于點B的上方)，直線y=kx+4與曲線C交于不同兩點M、N，直線y=1與直線BM交于點G，求證：A、G、N三點共線．

問題題目中的結論是特定橢圓的特有性質嗎？一般橢圓是否都有類似的性質呢？

圖2

將①代入②知②成立,所以A、G、N三點共線．即猜想成立．

圖3

圖4

將①式代入易得③式成立,所以A、G、N三點共線．

探究3 將A、B換成長軸上的兩點，是否會有類擬的結論呢？

通過探究，可以得到如下結論：

圖5 圖6

證明過程與猜想2的證明過程類似，在此不再贅述．